人教版13.4课题学习 最短路径问题第2课时教学设计

这是一份人教版13.4课题学习 最短路径问题第2课时教学设计，共4页。教案主要包含了教学目标，重点难点，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
第2课时 课题学习 最短路径问题(2)








┃教学过程设计┃











【教学目标】


1.理解并掌握如何选址造桥能使路径最短的问题.


2.能利用轴对称和平移的相关知识解决实际问题中路径最短的问题.


3.在运用轴对称和平移知识解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力.


【重点难点】


重点：利用轴对称和平移将造桥选址问题转化为“两点之间，线段最短”问题.


难点：最短路径问题的解决思路及证明方法.
教学过程
设计意图
一、创设情境，导入新课


如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两镇供气.泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？





问题：(1)此问题转化成数学问题是：________.


(2)如何找到泵站的位置P?


(3)为什么在P点的位置修建泵站，就能使所用的输气管线最短呢？
通过具体问题导入，用问题激起学生探究的兴趣.回顾上节知识的同时，为新课的探究做好铺垫.
二、师生互动，探究新知


问题1：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)





教师提出问题.


学生经过思考，小组内讨论交流不难得出，就是在河两岸分别选两点M，N，使得AM＋MN＋NB的和最小的问题.同时MN与河岸是垂直的.如图所示.





教师紧接着提出：“如何找到M，N这两个点就是我们要研究的问题了？”


为此我们不妨先走一个桥的宽度，沿什么方向呢？学生容易看出沿与河岸垂直的方向，作AA1垂直于直线b并且使得AA1＝MN，然后只要A1，B之间距离最短就可以了.








自己尝试作图后小组内交流，找两名学生黑板上完成，然后师生共同订正.


问题2：你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M1N1，距离是怎样的吗？能证明我们的做法AM＋MN＋NB的和是最短距离吗？试一下.


问题3：还有其他的方法选两点M，N，使得AM＋MN＋NB的和最小吗？试一试.


上面的方法是从A沿与河岸垂直的方向走一个河岸的距离，学生不难想到也可以从B沿与河岸垂直的方向走一个河岸的距离.
从上面的分析与作图来看，通过平移把桥的固定长度巧妙地化解开去，分析出“AM＋BN”最短距离为A1N＋BN(也就是点A1到点B之间的线段最短)，从而实现了问题的求解.体现了化繁为简，转化的数学思想.同时这个问题有着非常好的实际背景，情境贴近生活实际.








让学生在证明中更加确定作图的正确性，也让学生体会到演绎推理的必要性.体会到合情推理和演绎推理是相辅相成的.
三、运用新知，解决问题


如何在四边形ABCD内取一点O，使得点O到四边形四个顶点的距离和最小.


引导学生猜想，要使OA＋OB＋OC＋OD最小，O在哪儿？


易猜到O是线段AC，BD的交点.再尝试另取不同于O的一点P，证明一下.


学生自己独立思考写出证明过程，先找两名学生板演，再师生订正.
通过拓展应用让学生充分地感受在不同条件下解决路径最短问题的多种方法，开阔了学生的思维.
四、课堂小结，提炼观点


1.通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？学到了哪些解决问题的思路.


2.你还有什么疑惑？在小组内提出来共同解决，解决不了的小组提出来全班解决.


3.这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验.
让学生从各个方面总结自己的收获，真正达到了小结的作用.
五、布置作业，巩固提升


把今天的收获写到数学日记上.(包括例题和拓展题目的分析方法和作图的方法、证明方法)
布置作业，让学生养成及时复习的好习惯，让不同层次的学生都能有所发展.
【板书设计】


课题学习 最短路径问题(2)





【教学反思】


造桥问题有着非常好的实际背景，情境贴近生活实际.从上面的求解方法来看，平移只是问题实现转化中的一个重要策略，怎么联想到平移的？其本质还是对“两点之间，线段最短”公理的深刻理解.