苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法第3课时导学案

这是一份苏科版九年级上册第1章 一元二次方程1.2 一元二次方程的解法第3课时导学案，共7页。
1 . 2 第3课时 用配方法解一元二次方程(二次项系数不为1)


知识点 1 用配方法把方程转化为(x＋m)2＝n 的形式


1. 把方程2x2－4x－2＝0的二次项系数化为1，得________＝0.移项，得________．配方，得________，即(________)2＝________．


2．把方程3x2－12x－18＝0配方，化为(x＋m)2＝n的形式应为( )


A．(x－4)2＝6 B．(x－2)2＝4


C．(x－2)2＝10 D．(x－2)2＝0


3．将一元二次方程2x2＋4 eq \r(2)x＋1＝0的左边配方成(x＋m)2的形式之后，右边的常数应该是( )


A．1 B.eq \f(3,2) C.eq \r(2) D.eq \r(3)


4．用配方法解下列方程时，配方有误的是( )


A．x2－2x－98＝0化为(x－1)2＝99


B．x2－6x＋4＝0化为(x－3)2＝5


C．4x2＋6x＋1＝0化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(5,16)


D．3x2－4x－2＝0化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,3)


5．代数式2x2＋8x－7配方后得____________．


6．用配方法解一元二次方程2x2＋3x＋1＝0，变形为(x＋h)2＝k，则h＝________，k＝________．


知识点 2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程


7．用配方法解方程：2x2＋4x－12＝0.


解：二次项系数化为1，得________________．


移项，得______________．


配方，得______________，


即______________．


开方，得______________．


所以原方程的解为__________________．


8．一元二次方程3x2＋10x－8＝0的解为________．


9．用配方法解下列方程：


(1)2x2－7x＋6＝0; (2)6x2－x－12＝0；














(3)4x2＋12x＋9＝0;

















(4)[2016·仪征二模] 2x2－4x－1＝0；




















(5)2x(x－3)＝1; (6)－eq \f(1,6)x2－eq \f(1,3)＝eq \f(1,2)x.











10．不论x取何值，二次三项式2x2－2x＋1的值都( )


A．大于或等于eq \f(1,2) B．小于或等于－eq \f(1,2)


C．有最大值eq \f(1,2) D．恒小于0


11．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数3a2－4b＋6.若将实数(x，－2x)放入其中，得到1，则x＝________．








12．已知方程5x2＋kx－10＝0的一个根是－5，求它的另一个根及k的值．























13．当x为何值时，代数式2x2＋7x－1的值与x2－19的值互为相反数？





























14．大家知道在用配方法解一般形式的一元二次方程时，都要先把二次项系数化为1，再进行配方．请你阅读如下方程的解答过程．


解方程：2x2－2 eq \r(2)x－3＝0.


解：2x2－2 eq \r(2)x＝3，


(eq \r(2)x)2－2 eq \r(2)x＋1＝3＋1，(eq \r(2)x－1)2＝4，


eq \r(2)x－1＝±2，解得x1＝－eq \f(\r(2),2)，x2＝eq \f(3 \r(2),2).


按照上述解法解方程：5x2－2eq \r(15)x＝2.








15．配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题，如求式子的最值：因为3a2≥0，所以3a2＋1就有最小值1，即3a2＋1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为－3a2≤0，所以－3a2＋1有最大值1，即－3a2＋1≤1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最大值1.


(1)当x＝________时，代数式－2(x－1)2＋3有最________(填“大”或“小”)值为________．


(2)当x＝________时，代数式－2x2＋4x＋3有最________(填“大”或“小”)值为________，


分析：－2x2＋4x＋3＝－2(x2－2x＋________)＋________＝－2(x－1)2＋________．


(3)如图1－2－1，已知矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度是16 m，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？(假设墙足够长)





图1－2－1





详解详析


1．x2－2x－1 x2－2x＝1 x2－2x＋1＝2x－1 2


2．C [解析] 3x2－12x－18＝0.


二次项系数化为1，得x2－4x－6＝0.


移项，得x2－4x＝6.


配方，得x2－4x＋4＝10，即(x－2)2＝10.


3．B


4．D [解析] 用配方法解方程时，配方这一步是方程两边同时加上一次项系数一半的平方．


5．2(x＋2)2－15


6.eq \f(3,4) eq \f(1,16)


7．x2＋2x－6＝0 x2＋2x＝6 x2＋2x＋1＝6＋1 (x＋1)2＝7 x＋1＝±eq \r(7) x1＝eq \r(7)－1，x2＝－eq \r(7)－1


8．x1＝eq \f(2,3)，x2＝－4


9．[解析] 先将二次项系数化为1，然后用配方法求解．


解：(1)方程两边同除以2，得x2－eq \f(7,2)x＋3＝0.


移项、配方，得x2－eq \f(7,2)x＋eq \f(49,16)＝－3＋eq \f(49,16)，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(7,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,16)，所以x－eq \f(7,4)＝±eq \f(1,4)，


所以x1＝2，x2＝eq \f(3,2).





(2)方程两边都除以6，并移项，得x2－eq \f(1,6)x＝2.


配方，得x2－eq \f(1,6)x＋(－eq \f(1,12))2＝2＋(－eq \f(1,12))2，


即(x－eq \f(1,12))2＝eq \f(289,144)＝(eq \f(17,12))2，


所以x－eq \f(1,12)＝eq \f(17,12)或x－eq \f(1,12)＝－eq \f(17,12)，


所以x1＝eq \f(3,2)，x2＝－eq \f(4,3).


(3)移项，得4x2＋12x＝－9.


二次项系数化为1，得x2＋3x＝－eq \f(9,4).


方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得


x2＋3x＋eq \f(9,4)＝－eq \f(9,4)＋eq \f(9,4)，即(x＋eq \f(3,2))2＝0，


解得x1＝x2＝－eq \f(3,2).


(4)方程整理，得x2－2x＝eq \f(1,2).


配方，得x2－2x＋1＝eq \f(3,2)，即(x－1)2＝eq \f(3,2).


开方，得x－1＝±eq \f(\r(6),2).


解得x1＝1＋eq \f(\r(6),2)，x2＝1－eq \f(\r(6),2).


(5)整理，得2x2－6x＝1.


两边同除以2，得x2－3x＝eq \f(1,2).


配方，得x2－3x＋eq \f(9,4)＝eq \f(1,2)＋eq \f(9,4)，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(11,4).


开方，得x－eq \f(3,2)＝±eq \f(\r(11),2)，


所以x1＝eq \f(3,2)＋eq \f(\r(11),2)，x2＝eq \f(3,2)－eq \f(\r(11),2).


(6)移项，得－eq \f(1,6)x2－eq \f(1,2)x＝eq \f(1,3).


两边同除以－eq \f(1,6)，得x2＋3x＝－2.


配方，得x2＋3x＋eq \f(9,4)＝－2＋eq \f(9,4)，


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,4).


开方，得x＋eq \f(3,2)＝±eq \f(1,2)，


所以x1＝－1，x2＝－2.





10. A


11．－eq \f(5,3)或－1 [解析] 根据题意，得3x2－4(－2x)＋6＝1.


整理，得3x2＋8x＝－5.


化简、配方，得(x＋eq \f(4,3))2＝eq \f(1,9).


解得x1＝－eq \f(5,3)，x2＝－1.


故答案为－eq \f(5,3)或－1.


12．解：把x＝－5代入方程，得


5×(－5)2－5k－10＝0，解得k＝23，


∴原方程为5x2＋23x－10＝0.


两边同除以5，得x2＋eq \f(23,5)x－2＝0


配方，得x2＋eq \f(23,5)x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23,10)))eq \s\up12(2)＝2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(23,10)))eq \s\up12(2)


即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(23,10)))eq \s\up12(2)＝eq \f(729,100)，∴x＋eq \f(23,10)＝±eq \f(27,10)，


∴x1＝eq \f(2,5)，x2＝－5.


∴方程的另一个根是eq \f(2,5)，k的值为23.


13．解：因为代数式2x2＋7x－1的值与x2－19的值互为相反数，


所以2x2＋7x－1＋x2－19＝0，


所以3x2＋7x－20＝0，


二次项系数化为1，得


x2＋eq \f(7,3)x－eq \f(20,3)＝0.


配方，得(x＋eq \f(7,6))2＝eq \f(20,3)＋eq \f(49,36)，


即x＋eq \f(7,6)＝±eq \f(17,6)，


所以x＝eq \f(5,3)或x＝－4.


即当x的值为eq \f(5,3)或－4时，代数式2x2＋7x－1的值与x2－19的值互为相反数．


14．解：(eq \r(5)x)2－2 eq \r(5)×eq \r(3)x＝2，


(eq \r(5)x)2－2 eq \r(5)×eq \r(3)x＋3＝5，


(eq \r(5)x)2－2 eq \r(5)×eq \r(3)x＋(eq \r(3))2＝(eq \r(5))2，(eq \r(5)x－eq \r(3))2＝(eq \r(5))2，eq \r(5)x－eq \r(3)＝±eq \r(5)，


x－eq \f(\r(15),5)＝±1，


解得x1＝1＋eq \f(\r(15),5)，x2＝－1＋eq \f(\r(15),5).


15． [解析] 首先要理解题意，根据完全平方式，通过配方求最值．


解：(1)1 大 3


(2)1 大 5 1 5 5


(3)设花园与墙相邻的边长为x m，花园的面积为S m2，


则S＝x(16－2x)＝－2x2＋16x＝－2(x－4)2＋32.


当x＝4时，S取得最大值32.


∴当花园与墙相邻的边长为4 m时，花园的面积最大，最大面积是32 m2.