苏科版九年级上册2.4 圆周角第1课时学案及答案

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2.4 第1课时 圆周角的概念与性质


知识点 1 圆周角的定义


1．下列四个图中，∠x是圆周角的是( )





图2－4－1


知识点 2 圆周角的性质及运用


2．教材练习第2题变式如图2－4－2，A，B，C，D，E是⊙O上的五个点，则eq \(BC,\s\up8(︵))所对的圆周角有________个，分别为________________，它们之间的数量关系是________，eq \(BC,\s\up8(︵))所对的圆心角有________个，为________．若∠BAC＝35°，则∠BDC＝________°，∠BOC＝________°.





图2－4－2





图2－4－3


3．[2017·衡阳] 如图2－4－3，点A，B，C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上．如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度数是( )


A．26° B．30° C．32° D．64°


4．[2017·哈尔滨] 如图2－4－4，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A＝42°，∠APD＝77°，则∠B的大小是( )


A．43° B．35° C．34° D．44°





图2－4－4





图2－4－5





5．[2017·武威] 如图2－4－5，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32，则∠C＝_______.





6．[2017·随州] 如图2－4－6，已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，D是⊙O上一点，且点D与点C位于弦AB的两侧，连接AD，CD，OB.若∠BOC＝70°，则∠ADC＝____.





图2－4－6








图2－4－7








7．[2017·包头] 如图2－4－7，A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝________°.


8．如图2－4－8，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D是eq \(AC,\s\up8(︵))上一点，连接BD，E是BD上一点，且BE＝CD.求证：∠AED＝∠ADE.








图2－4－8














9．如图2－4－9所示，AB，CD是⊙O的直径，DF，BE是弦，且DF＝BE.求证：∠D＝∠B.





图2－4－9














10．如图2－4－10，在⊙O中，直径CD⊥弦AB.若∠C＝25°，则∠ABO的度数是( )


A．25° B．30° C．40° D．50°





图2－4－10





图2－4－11








11．[2016·吴江青云中学二模] 如图2－4－11，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E.若∠C＝15°，AB＝6 cm，则⊙O的半径为________cm.


12．已知：如图2－4－12，AB是⊙O的直径，点C，D为圆上两点，且eq \(CB,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交其延长线于点E.


求证：DE＝BF.





图2－4－12











13．如图2－4－13，在半径为5 cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝50°，∠APD＝80°.


(1)求∠ABD的大小；


(2)求弦BD的长．





图2－4－13








14．如图2－4－14所示，AD是⊙O的直径．





图2－4－14


(1)如图(a)，垂直于AD的两条弦B1C1，B2C2把圆周4等分，则∠B1的度数是________，∠B2的度数是________；


(2)如图(b)，垂直于AD的三条弦B1C1，B2C2，B3C3把圆周6等分，分别求∠B1，∠B2，∠B3的度数；


(3)如图(c)，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…，BnCn把圆周2n等分，请你用含n的代数式表示∠Bn的度数(只需直接写出答案)．





详解详析


1．C


2．3 ∠BAC，∠BEC，∠BDC 相等 1 ∠BOC 35 70


3．C 4.B


5．58 6.35 7.20


8．证明：在△ABE和△ACD中，


∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，


∴△ABE≌△ACD(SAS)，


∴AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE.


9．证明：∵AB，CD是⊙O的直径，


∴∠AOD＝∠COB，


∴eq \(AFD,\s\up8(︵))＝eq \(BEC,\s\up8(︵)).


又∵DF＝BE，∴eq \(DF,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))，


∴eq \(AFD,\s\up8(︵))－eq \(DF,\s\up8(︵))＝eq \(BEC,\s\up8(︵))－eq \(BE,\s\up8(︵))，即eq \(AF,\s\up8(︵))＝eq \(EC,\s\up8(︵))，


∴ eq \(AF,\s\up8(︵))＋eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(EC,\s\up8(︵))＋eq \(AC,\s\up8(︵))，


即eq \(FAC,\s\up8(︵))＝eq \(ACE,\s\up8(︵))，


∴∠D＝∠B.


10．C [解析] ∵在⊙O中，直径CD⊥弦AB，


∴eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BD,\s\up8(︵))，


∴∠DOB＝2∠C＝50°.


∴∠ABO＝90°－∠DOB＝40°.





11．6 [解析] 连接OA，如图所示，则∠AOE＝2∠C＝30°.∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝eq \f(1,2)AB＝3 cm，∴OA＝2AE＝6 cm，即⊙O的半径为6 cm.


12．证明：∵eq \(CB,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，


∴∠BAC＝∠EAC，CB＝CD.


∵CE⊥AE，CF⊥AF，


∴CE＝CF.


在Rt△CED和Rt△CFB中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(CE＝CF，,CD＝CB，))


∴Rt△CED≌Rt△CFB(HL)，


∴DE＝BF.


13．：(1)∵∠APD是△APC的外角，∠CAB＝50°，∠APD＝80°，


∴∠C＝∠APD－∠CAB＝80°－50°＝30°，


∴∠ABD＝∠C＝30°.


(2)过点O作OE⊥BD于点E，则BD＝2BE.


∵∠ABD＝30°，OB＝5 cm，


∴OE＝eq \f(1,2)OB＝eq \f(5,2) cm，


∴BE＝eq \f(5 \r(3),2) cm，


∴BD＝2BE＝5 eq \r(3) cm.


14．(1)22.5° 67.5°


(2)∵圆周被6等分，


∴eq \(B1C1,\s\up8(︵))＝eq \(C1C2,\s\up8(︵))＝eq \(C2C3,\s\up8(︵))，且它们所对的圆心角都为360°÷6＝60°.


∵直径AD⊥B1C1，则eq \(AC1,\s\up8(︵))的度数为30°，


∴∠B1＝15°，


∠B2＝eq \f(1,2)×(30°＋60°)＝45°，


∠B3＝eq \f(1,2)×(30°＋60°＋60°)＝75°.


(3)∠Bn＝eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\f(360°,2n)＋（n－1）×\f(360°,2n)))＝eq \f(（90n－45）°,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或∠Bn＝90°－\f(360°,8n)＝90°－\f(45°,n))).