初中数学苏科版九年级上册2.4 圆周角第3课时学案及答案

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2.4 第3课时 圆的内接四边形


知识点 圆内接四边形的性质


1．如图2－4－30所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BCD＝110°，则∠BAD的度数为( )


A．140° B．110° C．90° D．70°





图2－4－30





图2－4－31


2．如图2－4－31，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )


A．115° B．105° C．100° D．95°


3．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D的度数是( )


A．60° B．90° C．120° D．30°


4．如图2－4－32，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为( )


A．45° B．50° C．60° D．75°





图2－4－32





图2－4－33








.如图2－4－33，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且∠D＝130°，则∠BAC＝________°.


6．如图2－4－34，四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD＝130°，则∠DCE＝________°.





图2－4－34


7．如图2－4－35，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P＝30°，∠ABC＝100°，则∠C＝________°.





图2－4－35





图2－4－36








8．如图2－4－36，△ABC为⊙O的内接等边三角形，D为⊙O上一点，则∠ADB＝________°.


9．如图2－4－37，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．





图2－4－37

















10．已知：如图2－4－38，四边形ABCD是圆的内接四边形，延长AD，BC相交于点E，F是BD延长线上的点，且DE平分∠CDF.求证：AB＝AC.





图2－4－38














11．[2016·淮安清河区二模] 如图2－4－39，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，∠AED＝115°，则∠B的度数是( )


A．50° B．75° C．80° D．100°





图2－4－39





图2－4－40








12．如图2－4－40，⊙O是钝角三角形ABC的外接圆，连接OC.已知∠BAC＝y°，∠BCO＝x°，则y与x之间的函数表达式为______________(不必写出自变量的取值范围)．


13．教材练习第3题变式如图2－4－41，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝________．


14. [2016·南京高淳区一模] 四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为________．





图2－4－41





图2－4－42








15．[2016·南京溧水区一模] 如图2－4－42，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°.点E在eq \(AD,\s\up8(︵))上，则∠E＝________°.


16．如图2－4－43，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，F为BC上的点．


(1)求证：DB＝DC；


(2)请你再补充一个条件使直线DF一定经过圆心，并说明理由．





图2－4－43








17．如图2－4－44，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F.


(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；


(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；


(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．





图2－4－44





详解详析


1．D [解析] ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，


∴∠BCD＋∠BAD＝180°(圆内接四边形的对角互补)．


又∵∠BCD＝110°，


∴∠BAD＝70°.故选D.


2．B [解析] ∵四边形ABCD是圆内接四边形，


∴∠BAD＋∠BCD＝180°，


而∠BCD＋∠DCE＝180°，


∴∠DCE＝∠BAD.


而∠BAD＝105°，


∴∠DCE＝105°.


故选B.


3．B [解析] ∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，


∴设∠A＝2x，则∠B＝3x，∠C＝4x.


∵四边形ABCD为圆内接四边形，


∴∠A＋∠C＝180°，


即2x＋4x＝180°，解得x＝30°，


∴∠B＝3x＝90°，


∴∠D＝180°－∠B＝180°－90°＝90°.故选B.


4． C


5．40 [解析] ∵AB是⊙O的直径，


∴∠ACB＝90°.


∵∠B＝180°－∠D＝50°，


∴∠BAC＝90°－∠B＝40°.


6．65 [解析] ∵∠BOD＝130°，


∴∠A＝eq \f(1,2)∠BOD＝65°.


∵∠A＋∠BCD＝180°，∠DCE＋∠BCD＝180°，


∴∠DCE＝∠A＝65°.


7．70 [解析] ∵∠ABC＝100°，∠P＝30°，


∴∠PAB＝∠ABC－∠P＝70°.


∵四边形ABCD为圆的内接四边形，


∴∠C＋∠BAD＝180°.


∵∠BAD＋∠PAB＝180°，


∴∠C＝∠PAB＝70°.


8．120.


9．证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，


∴四边形ABCD是⊙O的内接四边形，


∴∠A＋∠DCB＝180°.


又∵∠BCE＋∠DCB＝180°，


∴∠A＝∠BCE.


∵BC＝BE，


∴∠BCE＝∠E，∴∠A＝∠E，


∴AD＝DE，即△ADE是等腰三角形．


10．证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，


∴∠ABC＋∠ADC＝180°.


∵∠ADC＋∠CDE＝180°，


∴∠ABC＝∠CDE.


∵∠FDE＝∠ADB＝∠ACB，∠CDE＝∠FDE，∴∠ABC＝∠ACB，


∴AB＝AC.


11．D [解析] ∵四边形ACDE是圆内接四边形，


∴∠AED＋∠ACD＝180°.


∵∠AED＝115°，


∴∠ACD＝65°.


∵∠CAD＝35°，


∴∠ADC＝80°.


∵四边形ABCD是圆内接四边形，


∴∠B＋∠ADC＝180°，


∴∠B＝100°，故选D.


12．y＝x＋90


13．140°


14． 130°或50°


15．125


16． (1)证明：∵∠DCB＋∠BAD＝180°，∠BAD＋∠DAE＝180°，


∴∠DCB＝∠DAE.


∵∠DBC＝∠CAD，∠CAD＝∠DAE，


∴∠DBC＝∠CAD＝∠DAE＝∠DCB，


∴DB＝DC.


(2)答案不唯一，如：


若F为BC的中点，则DF经过圆心．


理由：∵△DBC是等腰三角形，F是BC的中点，


∴DF是底边BC的垂直平分线．


∵圆内接三角形的圆心是三边垂直平分线的交点，


∴DF必过圆心．


17． (1)证明：∵∠E＝∠F，∠ECD＝∠FCB，


∴∠E＋∠ECD＝∠F＋∠FCB，


即∠ADC＝∠ABC.


(2)∵∠A＋∠BCD＝180°，∠ECD＋∠BCD＝180°，


∴∠A＝∠ECD.


∵∠EDC＝∠A＋∠F，


∠EDC＋∠E＋∠ECD＝180°，


∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°.


又∵∠E＝∠F＝42°，∴∠A＝48°.


(3)由(2)中的结论可知2∠A＋∠E＋∠F＝180°，


∴2∠A＋α＋β＝180°，解得∠A＝90°－eq \f(1,2)(α＋β)．