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数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题说课ppt课件
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这是一份数学八年级上册13.4课题学习 最短路径问题说课ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了饮马问题，造桥选址问题，思维引导，各抒己见，把A平移到岸边，把B平移到岸边，问题解决，线段公理和垂线段最短，牧马人饮马问题，解题方法等内容，欢迎下载使用。
“两点的所有连线中，线段最短”“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连结AB,与直线l相交于一点C.
问题2 如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连结AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求．
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连结AC′、BC′、B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
点拨：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连结CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0）
点拨：作B点关于y轴的对称点B′，连结AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
如图,假定任选位置造桥MN，连结AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度改变了.
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连结A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连结AM１、BN１、A１N１.
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B，
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若桥的位置建在CD处，连结AC、CD、DB、CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
★解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（ ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m 上到A、B距离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m 上到A、B距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ） A．10 B．15 C．20 D．30
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′、EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连结GF,与河岸相交于E ′、D′.作DD′、EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′.同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小.
关键是将固定线段“桥”平移
“两点的所有连线中，线段最短”“连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题. 现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A、B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.
连结AB,与直线l相交于一点C.
问题2 如果点A、B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B′；（2）连结AB′，与直线l 相交于点C． 则点C 即为所求．
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连结AC′、BC′、B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC= AC +B′C = AB′， ∴ AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ ）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定
点拨：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连结CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条件求解.
如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ ）A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（0，0）
点拨：作B点关于y轴的对称点B′，连结AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
如图,假定任选位置造桥MN，连结AM和BN，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度改变了.
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连结A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N１，连结AM１、BN１、A１N１.
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B，
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若桥的位置建在CD处，连结AC、CD、DB、CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
★解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择.
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（ ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m 上到A、B距离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m 上到A、B距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最 短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ） A．10 B．15 C．20 D．30
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是 米.
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′、EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连结GF,与河岸相交于E ′、D′.作DD′、EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，则四边形AFD′D为平行四边形，于是AD=FD′.同理，BE=GE′，由两点之间线段最短可知，GF最小.
关键是将固定线段“桥”平移
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