2020数学（文）二轮教师用书：第2部分专题1第2讲　三角恒等变换与解三角形


第2讲　三角恒等变换与解三角形

[做小题——激活思维]
1．若cos θ＝，θ为第四象限角，则cos的值为(　　)
A.　　 B.
C. D.
B　[因为cos θ＝，θ为第四象限角，则sin θ＝－，故cos＝cos θ－sin θ＝×＝，故选B.]
2．[一题多解]已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝，则cos 2α＝(　　)
A．－ B．－
C. D.
A　[法一：∵sin α＋cos α＝，∴sin 2α＝－，又α为第二象限角且sin α＋cos α＝＞0，∴2kπ＋＜α＜2kπ＋(k∈Z)，∴4kπ＋π＜2α＜4kπ＋(k∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－＝－.
法二：∵sin α＋cos α＝，∴sin 2α＝－，∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＝＝＝＝，由解得
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－.]
3．在△ABC中，若AB＝，A＝45°，C＝75°，则BC等于(　　)
A．3－ B.
C．2 D．3＋
[答案]　A
4．在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，BC＝7，则sin A等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
[答案]　B
5．在钝角三角形ABC中，已知AB＝，AC＝1，B＝，则△ABC的面积为(　　)
A.　　　　B. C.　　　　D.
[答案]　C
[扣要点——查缺补漏]
1．和差公式及辅助角公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.如T1.
(3)tan(α±β)＝.
(4)sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，tan 2α＝.如T2.
(5)辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝.
2．正弦定理和余弦定理
(1)＝＝＝2R.如T3.
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C，cos A＝，cos B＝，cos C＝.如T4.
3．三角形的面积公式
(1)S＝aha＝bhb＝chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B．如T5.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆的半径)．


　三角恒等变换(5年5考)

[高考解读]　三角恒等变换是三角变换的工具，在高考中主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值.可单独考查，也可以与三角函数的性质综合考查.
1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　　)
A．－2－　 B．－2＋
C．2－ D．2＋
D　[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.
故选D.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)
A. B.
C. D.
切入点：2sin 2α＝cos 2α＋1．
关键点：正确应用倍角公式及平方关系，注意α的范围．
B　[由2sin 2α＝cos 2α＋1，
得4sin αcos α＝2cos2α.
∵α∈，∴2sin α＝cos α.
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝.
又α∈，∴sin α＝.
故选B.]
3．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)已知tanα－＝，则tan α＝________.
切入点：①tan ＝；
②两角差的正切公式．
关键点：解关于tan α的方程．
　[法一：因为tan α－＝，
所以＝，即＝，
解得tan α＝.
法二：因为tanα－＝，
所以tan α＝tanα－＋
＝＝＝.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.
切入点：①tan α＝；
②两角差的余弦公式．
关键点：利用同角三角函数基本关系式，求出sin α和cos α的值．
　[因为α∈，且tan α＝＝2，所以sin α＝2cos α，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin α＝，cos α＝，则cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.]
[教师备选题]
1．(2016·全国卷Ⅰ)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.
－　[将θ－转化为－.
由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝＝.
tan＝tan＝－
＝－＝－＝－.]
2．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解]　(1)因为tan α＝，tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－.
因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝＝－.


1．三角函数式的化简要遵循的“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”．
2．求值的基本类型
(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角求解；
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值，解题关键在于“变角”，使角相同或具有某种关系；
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一三角函数值，再求角的范围，确定角的度数．

1．(给角求值)＝(　　)
A．－　　　　B．－1　　　　C.　　　　 D．1
D　[原式＝2×
＝2×＝2sin 30°＝1.
故选D.]
2．(给值求值)已知cos＝，则cos x＋cos＝(　　)
A．－1 B．1 C. D.
B　[cos x＋cos＝cos x＋cos xcos ＋sin xsin ＝cos x＋sin x＝＝cos＝×＝1，故选B.]
3．(给值求角)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)
A. B.
C.或 D.或
A　[因为α∈，所以2α∈，又sin 2α＝，所以2α∈，α∈，所以cos 2α＝－.又β∈，所以β－α∈，故cos(β－α)＝－，所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos 2α·cos(β－α)－sin 2αsin(β－α)＝－×－×＝，又α＋β∈，故α＋β＝，故选A.]
　利用正、余弦定理解三角形(5年12考)

[高考解读]　高考对该部分内容的考查重点是正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，且常和三角恒等变换相结合，考查形式为边、角、面积的计算.
角度一：三角形的边、角计算
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　　　　B．5　　　　C．4　　　　 D．3
切入点：由asin A－bsin B＝4csin C，利用正弦定理得出a，b，c的关系．
关键点：利用cos A＝－得出b，c的关系．
A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，
∴由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.
由余弦定理得cos A＝＝＝＝－，∴＝6.
故选A.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A. B. C. D.
切入点：化简sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0.
关键点：正确运用公式，由条件sin B＋sin A(sin C－cos C)，求得A的某一三角函数值，进而求A，再求C.
B　[因为a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sin A＝sin C.
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C
＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C
＝(sin A＋cos A)sin C
＝0.
又C为△ABC的内角，
故sin C≠0，
则sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
从而sin C＝sin A＝×＝.
由A＝知C为锐角，故C＝.
故选B.]
角度二：三角形的面积、周长的计算
3．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　)
A. B. C. D.
切入点：①S△ABC＝；
②S△ABC＝absin C.
关键点：利用上述①②求C的一个三角函数值．
C　[因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C．由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，得2abcos C＝2absin C，即cos C＝sin C，所以tan C＝1.又因为C∈(0，π)，所以在△ABC中，C＝.故选C.]
4．(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
切入点：①利用正弦定理化简bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，求得sin A；
②利用余弦定理及b2＋c2－a2＝8求△ABC的面积．
关键点：正确利用正弦定理将“边”转化为“角”，求出sin A是解决本题的关键．
　[由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.因为b2＋c2－a2＝8，cos A＝，所以bc＝，所以S△ABC＝bcsin A＝××＝.]
5．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．
切入点：①S△ABC＝＝acsin B，然后把边转化为角可求sin Bsin C.
②利用①中的结论和6cos Bcos C＝1求B＋C，进而求出A，然后利用三角形的面积公式和a的值求bc的值，最后利用余弦定理求b＋c.
关键点：正确利用S△ABC＝，求sin Bsin C以及利用6cos Bcos C＝1建立边b和c的关系式．
[解]　(1)由题设得acsin B＝，即csin B＝.
由正弦定理得sin Csin B＝.
故sin Bsin C＝.
(2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，
即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.
由题设得bcsin A＝，a＝3，所以bc＝8.
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9.由bc＝8，得b＋c＝.
故△ABC的周长为3＋.
[教师备选题]
1．(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________.
75°　[如图，由正弦定理，得＝，∴sin B＝.
又∵c>b，∴B＝45°，
∴A＝180°－60°－45°＝75°.]
2．[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcos B＝acos C＋ccos A，则B＝________.
　[法一：由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，
得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A.
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.
∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B.
又sin B≠0，∴cos B＝.∴B＝.
法二：∵在△ABC中，acos C＋ccos A＝b，
∴条件等式变为2bcos B＝b，∴cos B＝.
又0＜B＜π，∴B＝.]
3．(2016·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.
　[在△ABC中，∵cos A＝，cos C＝，
∴sin A＝，sin C＝，∴sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝.
又∵＝，∴b＝＝＝.]


1．正、余弦定理的适用条件
(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．
(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．
2．三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．
(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．

1．(求边)[一题多解]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C．2　　　　D．3
D　[法一：(应用余弦定理)由余弦定理得5＝22＋b2－2×2bcos A，∵cos A＝，∴3b2－8b－3＝0，∴b＝3.故选D.
法二：(应用正弦定理)由cos A＝得sin A＝，根据＝得sin C＝，所以A与C互余，故△ABC为直角三角形，因此b＝＝3.]
2．(求角)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝a，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A. B. C. D.
D　[由b＝a，得sin B＝sin A .因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin Asin C(sin C≠0)，cos A＝sin A，所以tan A＝.因为0＜A＜π，所以A＝.由正弦定理＝，得sin C＝.因为0＜C＜，所以C＝.故选D.]
3．(求周长)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为4，且2bcos A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为(　　)
A．10 B．12 C．8＋ D．8＋2
B　[因为△ABC的面积为4，所以acsin B＝4.因为2bcos A＋a＝2c，所以由正弦定理得2sin Bcos A＋sin A＝2sin C，又A＋B＋C＝π，所以2sin Bcos A＋sin A＝2sin Acos B＋2cos Asin B，所以sin A＝2cos Bsin A．因为sin A≠0，所以cos B＝.因为0＜B＜π，所以B＝，所以ac＝16，又a＋c＝8，所以a＝c＝4，所以△ABC为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.]
4．(综合应用)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为accos B，且sin A＝3sin C.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，AC的中点为D，求BD的长．
[解]　(1)∵S△ABC＝acsin B＝accos B，
∴tan B＝.
又0＜B＜π，∴B＝.
(2)∵sin A＝3sin C，由正弦定理得，a＝3c，∴a＝6.
由余弦定理得，b2＝62＋22－2×2×6×cos 60°＝28，
∴b＝2.
∴cos A＝＝＝－.
∵D是AC的中点，∴AD＝.
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝22＋()2－2×2××＝13.
∴BD＝.
　解三角形的综合问题(5年3考)

[高考解读]　高考对该内容的考查主要有2种方式
(1)以平面几何知识为载体，考查正、余弦定理及面积公式的应用，解决此类问题多需要添加辅助线转化.
(2)同三角函数或基本不等式相结合，考查最值或范围问题，难度偏大，但文科考查频率较小.
角度一：与平面几何的综合问题
(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝2，求BC.
切入点：四边形ABCD的已知边和角．
关键点：①利用正弦定理求∠ADB的正弦值，然后求余弦值；
②利用余弦定理求边长．
[解]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.
由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.
由题设知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.
(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.
在△BCD中，由余弦定理得
BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC
＝25＋8－2×5×2×
＝25.
所以BC＝5.
角度二：最值或范围问题
(2014·全国卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
切入点：化简等式(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C.
关键点：根据条件借助正、余弦定理和基本不等式，求出bc的范围．
　[∵＝＝＝2R，a＝2，
又(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C可化为
(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，
∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.
∴＝＝＝cos A，∴A＝60°.
∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，
∴S△ABC＝·bc·sin A≤×4×＝.]
[教师备选题]
1．(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD＝2DC.
(1)求；
(2)若∠BAC＝60°，求∠B.
[解]　(1)由正弦定理，得
＝，＝.
因为AD平分∠BAC，BD＝2DC，
所以＝＝.
(2)因为∠C＝180°－(∠BAC＋∠B)，∠BAC＝60°，
所以sin C＝sin(∠BAC＋∠B)＝cos B＋sin B.
由(1)知2sin B＝sin C，所以tan B＝，
所以∠B＝30°.
2．(2014·全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.
(1)求C和BD；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解]　(1)由题设及余弦定理得
BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos C＝13－12cos C，①
BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcos A＝5＋4cos C．②
由①②得cos C＝，故C＝60°，BD＝.
(2)四边形ABCD的面积
S＝AB·DAsin A＋BC·CDsin C
＝sin 60°
＝2.


解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.

1．(求值)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
D　[如图，过点A作AD⊥BC于点D.
设BC＝a，由题意知AD＝BC＝a，
B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝＝a.
同理，在Rt△ACD中，AC＝＝a.
∵S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD，
∴×a×a·sin∠BAC＝a·a，
∴sin∠BAC＝＝.]
2．(最值、范围问题)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＝sin2A＋sin2C－sin Asin C.
(1)求B的大小；
(2)求sin A＋cos C的取值范围．
[解]　(1)锐角三角形ABC中，sin2B＝sin2A＋sin2C－sin Asin C，
故b2＝a2＋c2－ac，
cos B＝＝，又B∈，
所以B＝.
(2)由(1)知，C＝－A，
故sin A＋cos C＝sin A＋cos＝sin A－cos A＝sin.
又A∈，C＝－A∈，
所以A∈，
A－∈，sin∈，
故sin A＋cos C的取值范围为.
3．(与三角函数的综合问题)已知函数f(x)＝2cos2x＋(sin x＋cos x)2－2.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x的集合；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(A)＝1，若AC边上的高等于b，求cos C的值．
[解]　(1)由题意知f(x)＝2cos2x＋1＋2sin xcos x－2＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝sin.
∴f(x)max＝，此时2x＋＝2kπ＋，k∈Z，∴x＝kπ＋，k∈Z.
∴f(x)取得最大值时x的集合为xk∈Z.
(2)∵f(A)＝sin＝1，∴sin＝.
又A∈(0，π)，∴2A＋∈，
∴2A＋＝，解得A＝.
设AC边上的高为BD，则BD＝b.
∵A＝，∴BD＝AD＝b，CD＝b，
∴BC＝b，

∴cos C＝＝.