2020数学（理）二轮教师用书：第2部分专题1第1讲　三角函数的图象与性质




第1讲　三角函数的图象与性质

[做小题——激活思维]
1．函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　)
A．4π　　　　 B．2π
C．π D．
C　[函数f(x)＝sin的最小正周期为＝π.故选C.]
2．函数y＝cos 2x图象的一条对称轴方程是(　　)
A．x＝　　　 B．x＝
C．x＝ D．x＝
D　[由题意易知其一条对称轴的方程为x＝，故选D.]
3．函数g(x)＝sin在上的最小值为________．
－　[因为x∈，所以x－∈.当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.]
4．函数y＝cos的单调递减区间为________．
(k∈Z)　[由y＝cos＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．]
5．函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜的部分图象如图所示，则该函数的解析式为________．
y＝2sin　[由题图易知A＝2，由T＝2×＝π，可知ω＝＝＝2.于是y＝2sin(2x＋φ)，
把代入y＝2sin(2x＋φ)得，
0＝2sin，故＋φ＝kπ(k∈Z)，
又|φ|＜，故φ＝－，
综上可知，该函数的解析式为y＝2sin.]
6．将函数y＝sin的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为________．
y＝sin　[将函数y＝siny＝siny＝sinx＋.]
[扣要点——查缺补漏]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)表达式的确定
A由最值确定；ω由周期确定T＝；φ由五点中的零点或最值点作为解题突破口，列方程确定即ωxi＋φ＝0，，π，，2π，如T5.
2．三种图象变换：平移、伸缩、对称
注意：由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需向左或向右平移个单位，如T6.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，A＞0)的性质
研究三角函数的性质，关键是将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的形式，利用正、余弦函数与复合函数的性质求解．
(1)T＝，如T1.
(2)类比y＝sin x的性质，将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看作一个整体t，可求得函数的对称轴、对称中心、单调性、最值．
①y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．
②y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，对称中心可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得．注意对称中心必须写成点坐标．如T2.
③y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，对称中心可由ωx＋φ＝(k∈Z)求得．
④单调性、最值，如T3，T4.

　三角函数的值域、最值问题(5年3考)

[高考解读]　高考对该点的考查常与三角恒等变换交汇命题，求最值时，一般化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式或化f(x)为二次函数形式，难度中等.预测2020年会依旧延续该命题风格.
1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
－4　[∵f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.]
2．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
1　[f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－＋1.
∵x∈，∴cos x∈[0,1]，
∴当cos x＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.]
3．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sin x＋sin 2x，则f(x)的最小值是________．
－　[因为f(x)＝2sin x＋sin 2x，
所以f′(x)＝2cos x＋2cos 2x＝4cos2x＋2cos x－2＝4(cos x＋1)，
由f′(x)≥0得≤cos x≤1，即2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z，
由f′(x)≤0得－1≤cos x≤，2kπ＋≤x≤2kπ＋π或2kπ－π≤x≤2kπ－，k∈Z，
所以当x＝2kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最小值，
且f(x)min＝f＝2sin＋sin 2＝－.]
[教师备选题]
1．(2013·全国卷Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.
－　[y＝sin x－2cos x＝，
设＝cos α，＝sin α，
则y＝(sin xcos α－cos xsin α)＝sin(x－α)．
∵x∈R∴x－α∈R，∴ymax＝.
又∵x＝θ时，f(x)取得最大值，
∴f(θ)＝sin θ－2cos θ＝.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
∴即cos θ＝－.]
2．(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φ·cos(x＋φ)的最大值为________．
1　[∵f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)
＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ＋cos(x＋φ)sin φ－2sin φcos(x＋φ)
＝sin(x＋φ)cos φ－cos(x＋φ)sin φ
＝sin[(x＋φ)－φ]＝sin x，
∴f(x)的最大值为1.]

三角函数值域(最值)的3种求法
(1)直接法：利用sin x，cos x的有界性直接求．
(2)单调性法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，采用整体思想，求出ωx＋φ的范围，根据y＝sin x的单调性求出函数的值域(最值)．
(3)换元法：对于y＝asin2x＋bsin x＋c和y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c型常用到换元法，转化为二次函数在限定区间内的最值问题．

1．(求取得最值时的变量x)当函数y＝sin x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值时，x＝________.
　[∵y＝sin x－cos x＝2＝2sin.
∵0≤x＜2π，∴－≤x－＜.
∴当x－＝，即x＝时，函数取得最大值．]
2．(求参数的范围)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在上有最大值，但没有最小值，则ω的取值范围是________．
　[函数f(x)＝sin(ω＞0)在上有最大值，但没有最小值，所以ω·＋＜＜ω·＋≤⇒ω∈.]
3．(与导数交汇求最值)已知函数f(x)＝2cos x＋sin 2x，则f(x)的最大值为________．
　[∵f′(x)＝－2sin x＋2cos 2x＝2－4sin2x－2sin x＝－2(2sin x－1)(sin x＋1)，
由f′(x)＝0得sin x＝或sin x＝－1.
∴当－1＜sin x＜时，f′(x)＞0，
当＜sin x＜1时，f′(x)＜0.
∴当sin x＝时，f(x)取得极大值．
此时cos x＝－或cos x＝.
经验证可知，当cos x＝时，f(x)有最大值，又f(x)＝2cos x(sin x＋1)，
∴f(x)max＝2××＝.]
　三角函数的图象(5年5考)

[高考解读]　高考对该点的考查主要有两种：一是由图象求解析式；二是图象的平移变换.前者考查图象的识别和信息提取能力，后者考查逻辑推理能力.估计2020年高考会侧重考查三角函数图象变换的应用.
1.(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．y＝2sin
B．y＝2sin
C．y＝2sin
D．y＝2sin
A　[根据图象上点的坐标及函数最值点，确定A，ω与φ的值．由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.]
2．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，
则下面结论正确的是(　　 )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
D　[因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D.]
[教师备选题]
(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
　[因为y＝sin x＋cos x＝2sin，y＝sin x－cos x＝2sin，所以把y＝2sin的图象至少向右平移个单位长度可得y＝2sin的图象．]

求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋Β(Α＞0，ω＞0)解析式的方法
字母
确定途径
说明
A、B
由最值确定
A＝，B＝
ω
由函数的
周期确定
利用图象中最高点、最低点与x轴交点的横坐标确定周期
φ
由图象上的
特殊点确定
代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ
提醒：三角函数图象的平移问题
(1)当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，如T2.
(2)将y＝sin ωx(ω＞0)的图象变换成y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应把ωx＋φ变换成ω，根据确定平移量的大小，根据的符号确定平移的方向．

1.(知图求值)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________．
－1　[由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，将(0,1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin＝－Asin φ＝－1.]
2．(平移变换的应用)将偶函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位长度后，得到的曲线的对称中心为(　　)
A.(k∈Z)　 B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
A　[因为函数f(x)＝sin(3x＋φ)为偶函数且0＜φ＜π，所以φ＝，f(x)的图象向右平移个单位长度后可得g(x)＝sin＝sin的图象，分析选项知(k∈Z)为曲线y＝g(x)的对称中心．故选A.]
3．(与函数的零点交汇)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．[1,2]
C．(0,1] D．(1,2)
A　[画出函数f(x)在[0,2π]上的图象，如图所示：
若函数g(x)＝f(x)－m在[0,2π]内恰有4个不同的零点，即y＝f(x)和y＝m在[0,2π]内恰有4个不同的交点，
结合图象，知0＜m＜1.]
　三角函数的性质及应用(5年7考)

[高考解读]　高考对该点的考查主要立足两点，一是函数性质的判断(或求解)，二是利用性质求参数的范围(值)，准确理解y＝sin x(y＝cos x)的有关性质是求解此类问题的关键.预测2020年以考查函数性质的应用为主.
1．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)
A．f(x)的一个周期为－2π
B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x＋π)的一个零点为x＝
D．f(x)在单调递减
D　[A项，因为f(x)＝cos的周期为2kπ(k∈Z)，所以f(x)的一个周期为－2π，A项正确．
B项，由f＝cos＝cos 3π＝－1，可知B正确；
C项，由f(x＋π)＝cos＝－cos得f＝－cos ＝0，故C正确．
D项，由f＝cos π＝－1可知，D不正确．]
2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.　　　　　 B.
C. D．π
A　[法一：(直接法)f(x)＝cos x－sin x＝cos，且函数y＝cos x在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x＋≤π，得－≤x≤.因为f(x)在[－a，a]上是减函数，所以解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A.
法二：(单调性法)因为f(x)＝cos x－sin x，所以f′(x)＝－sin x－cos x，则由题意，知f′(x)＝－sin x－cos x≤0在[－a，a]上恒成立，即sin x＋cos x≥0，即sin≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝sin的图象(图略)，可知有解得a≤，所以0＜a≤，所以a的最大值是，故选A.]
3．[重视题][一题多解](2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④　　　　　　 B．②④
C．①④ D．①③
C　[法一：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确；f(x)在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.
法二：∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确，排除B；当＜x＜π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f(x)在单调递减，故②不正确，排除A；∵y＝sin |x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，∴f(x)的最大值为2，故④正确．故选C.
法三：画出函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的图象，由图象可得①④正确，故选C.
]
[教师备选题]
1．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
D　[由图象知，最小正周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－ ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11　　　 B．9
C．7 D．5
B　[先根据函数的零点及图象、对称轴，求出ω，φ满足的关系式，再根据函数f(x)在上单调，则的区间长度不大于函数f(x)周期的，然后结合|φ|≤计算ω的最大值．
因为f(x)＝sin(ωx＋φ)的一个零点为x＝－，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，
所以·k＝(k为奇数)．
又T＝，所以ω＝k(k为奇数)．
又函数f(x)在上单调，
所以≤×，即ω≤12.
若ω＝11，又|φ|≤，则φ＝－，此时，f(x)＝sin，f(x)在上单调递增，在上单调递减，不满足条件．
若ω＝9，又|φ|≤，则φ＝，此时，f(x)＝sin，满足f(x)在上单调的条件．故选B.]

1．求三角函数单调区间的方法
(1)代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A，ω，φ为常数，A≠0，ω＞0)的单调区间时，令ωx＋φ＝z，得y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由复合函数的单调性求得．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间．
2．判断对称中心与对称轴的方法
利用函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f(x0)的值进行判断．
3．求三角函数周期的常用结论
(1)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(2)正弦曲线(余弦曲线)相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个周期．

1．(求单调区间)(2019·武昌调研)已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)的最小正周期为2π，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
B　[因为f(x)＝2sin ωx－cos ωx＝2sinωx－，f(x)的最小正周期为2π，所以ω＝＝1，所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.]
2．(求参数的值)已知函数f(x)＝sin ωx的图象关于点对称，且f(x)在上为增函数，则ω＝(　　)
A. B．3
C. D．6
A　[依题意，f＝sin＝0，
∴ω＝kπ(k∈Z)．
∴ω＝(k∈Z)．
又f(x)＝sin ωx在上为增函数，
∴0＜ω·≤，即0＜ω≤2.
∴k＝1，ω＝，故选A.]
3．(求参数的范围)(2019·攀枝花模拟)已知f(x)＝sin(ω＞0)同时满足下列三个条件：①|f(x1)－f(x2)|＝2时，|x1－x2|的最小值为；②y＝f是奇函数；③f(0)＜f.若f(x)在[0，t)上没有最小值，则实数t的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
D　[由①得周期为π，ω＝2.
由y＝f是奇函数且f(0)＜f，可得其中一个φ＝－，那么f(x)＝sin.
∵x∈[0，t)，∴2x－∈.
因为f(x)在[0，t)上没有最小值，
可得t＞0，且f(0)＝f＝－，
＜2t－≤，
解得＜t≤，故选D.]