2020数学（理）二轮教师用书：第2部分专题3解密高考③　概率与统计问题重在“辨”——辨析、辨型

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————[技法指津]————

概率与统计问题辨析、辨型的策略

(1)准确弄清问题所涉及的事件有什么特点，事件之间有什么关系，如互斥、对立、相互独立等；

(2)理清事件以什么形式发生，如同时发生、至少有几个发生、至多有几个发生、恰有几个发生等；

(3)明确抽取方式，如放回还是不放回、抽取有无顺序等；

(4)准确选择排列组合的方法来计算基本事件发生数和事件总数，或根据概率计算公式和性质来计算事件的概率；

(5)确定随机变量取值并求其对应的概率，写出分布列后再求期望、方差；

(6)会套用求、K2的公式，再作进一步求值与分析．

[审题指导·发掘条件]

(1)看到求分布列，想到概率模型及概率的求法；(2)看到等比数列的证明，想到递推关系的变形；看到求特定项，想到求通项公式；缺首项p1，借助递推关系补找该条件．

[构建模板·六步解法]　随机变量分布列类问题的求解策略

近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次(单位：十人次)，统计数据如表1所示：

表1

根据以上数据，绘制了如下图所示的散点图．

(1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·dx(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？( 给出判断即可，不必说明理由)；

(2)根据(1)的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；

(3)推广期结束后，车队对乘客的支付方式进行统计，结果如表2所示

表2

已知该线路公交车票价为2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知，使用扫码支付的乘客，享受7折优惠的概率为，享受8 折优惠的概率为，享受9折优惠的概率为.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，估计一名乘客一次乘车的平均费用．

参考数据：

其中vi＝lg yi，＝vi.

参考公式：

对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线＝＋u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：＝，＝－.

[解](1)根据散点图判断，y＝c·dx适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型. 2分

(2)∵y＝c·dx，两边同时取常用对数得：lg y＝lg(c·dx)＝lg c＋lg d·x，               3分

设lg y＝v，∴v＝lg c＋lg d·x.  4分

∵＝4，＝1.54，x＝140，

∴l d＝＝＝＝0.25， 5分

把样本中心点(4,1.54)代入v＝lg c＋lg d·x，得：l c＝0.54，

∴＝0.54＋0.25x，∴l y＝0.54＋0.25x， 6分

∴y关于x的回归方程式：＝100.54＋0.25x＝

100.54×(100.25)x≈3.47×100.25x；  7分

把x＝8代入上式，＝3.47×102＝347;

活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470. 8分

(3)记一名乘客乘车支付的费用为Z，则Z的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4，

P(Z＝2)＝0.1；P(Z＝1.8)＝0.3×＝0.15；

P(Z＝1.6)＝0.6＋0.3×＝0.7；P(Z＝1.4)＝0.3×＝0.05.

分布列为：

  11分

所以，一名乘客一次乘车的平均费用为：

2×0.1＋1.8×0.15＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元). 12分