2020数学（理）二轮教师用书：第2部分专题7第1讲　选修4－4　坐标系与参数方程



第1讲　选修4－4　坐标系与参数方程

　极坐标与曲线的极坐标方程(5年5考)

[高考解读]　以极坐标系下两曲线的位置关系为载体，考查极坐标的表示、极径的几何意义，极坐标与直角坐标的互化等问题，考查学生的等价转化能力、逻辑推理及数学运算的素养.
1．(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极坐标．
[解](1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，M2的极坐标方程为ρ＝2sin θ，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ.
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知
若0≤θ≤，则2cos θ＝，解得θ＝；
若≤θ≤，则2sin θ＝，解得θ＝或θ＝；
若≤θ≤π，则－2cos θ＝，解得θ＝.
综上，P的极坐标为或或或.
2．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
[解](1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，当θ0＝时，
ρ0＝4sin ＝2.
由已知得|OP|＝|OA|cos ＝2.
设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．连接OQ，
在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2.
经检验，点P在曲线ρcos＝2上．
所以，l的极坐标方程为ρcos＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范围是.
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈.
[教师备选题]
1．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
[解](1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.
故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.
由于C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
2．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
[解](1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cos α·
＝2≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.

1．极径的几何意义及其应用
(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M到极点O的距离．
(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．
2．极坐标化直角坐标的常用技巧
(1)通常要用ρ去乘方程的两边，使之出现ρ2，ρcos θ，ρsin θ的形式．
(2)含关于tan θ的方程用公式tan θ＝.

1．(极坐标的表示)(2019·兰州模拟)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1：ρcos θ＝3，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设点Q在C2上，＝，求动点P的极坐标方程．
[解](1)联立
因为0≤θ≤，θ＝，ρ＝2，
所以所求交点的极坐标为.
(2)设P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)且ρ0＝4cos θ0，θ0∈，
由已知＝，得
所以ρ＝4cos θ，点P的极坐标方程为ρ＝10cos θ，θ∈.
2．(极坐标同直角坐标的互化)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
[解](1)由ρ＝2，知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4，
因为ρ2－2ρcos＝2，
所以ρ2－2ρ＝2，
所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，
得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1，
化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，
即ρsin＝.
3．(极坐标的应用)(2019·郑州模拟)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为曲线C2.
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线θ＝(ρ＞0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4,0)，求△MPQ的面积．
[解](1)曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，把代入可得，曲线C1的极坐标方程为ρ＝6sin θ.
设B(ρ，θ)，则A，
则ρ＝6sin＝－6cos θ.
所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ.
(2)M到直线θ＝的距离为d＝4sin ＝2，
射线θ＝与曲线C1的交点P，
射线θ＝与曲线C2的交点Q，
所以|PQ|＝3－3，
故△MPQ的面积S＝×|PQ|×d＝3－3.
　曲线的参数方程(5年4考)

[高考解读]　以直线、圆及圆锥曲线的参数方程为载体，考查参数方程同普通方程的互化，参数的几何意义，以及解析几何中的最值、范围、位置关系等问题，考查数学运算及等价转化的数学素养.
(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
[解](1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝时，l与⊙O交于两点．
当α≠时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－.l与⊙O交于两点当且仅当＜1，解得k＜－1或k＞1，即α∈或α∈.
综上，α的取值范围是.
(2)l的参数方程为t为参数，＜α＜.
设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsin α＋1＝0.
于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α.
又点P的坐标(x，y)满足
所以点P的轨迹的参数方程是
α为参数，＜α＜.
[教师备选题]
(2014·全国卷Ⅰ)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
[解](1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|.
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

1．直线方程中参数t的几何意义的应用
经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．若A，B为直线l上的两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
(1)t0＝；
(2)|PM|＝|t0|＝；
(3)|AB|＝|t2－t1|；
(4)|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
2．求椭圆、双曲线等曲线上的点到直线的距离的最值时，往往通过参数方程引入三角函数，再借助三角函数的性质进行求解．掌握参数方程与普通方程互化的规律是求解此类问题的关键．
3．不能忽视所给直线方程是不是直线的标准参数方程，非标准的直线参数方程中的t不具有几何意义．

1．(参数的几何意义的应用)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2＋y2＝4，直线l的参数方程为(t为参数)，若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线C2.
(1)写出曲线C2的参数方程；
(2)设点P(－2,3)，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求＋的值．
[解](1)若将曲线C1上的点的纵坐标变为原来的倍，则曲线C2的直角坐标方程为x2＋＝4，
整理得＋＝1，∴曲线C2的参数方程为(θ为参数)．
(2)将直线l的参数方程化为标准形式为
(t′为参数)，
将参数方程代入＋＝1，得＋＝1，
整理得(t′)2＋18t′＋36＝0.
|PA|＋|PB|＝|t1′＋t2′|＝，
|PA||PB|＝t1′t2′＝.
∴＋＝＝＝.
2．(参数方程的应用)(2019·贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos.
(1)判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)设M(x，y)为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．
[解](1)由消去t得y＝x＋4，
由ρ＝2cos得ρ＝cos θ－sin θ，
由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2得
＋＝1，即C是以为圆心，1为半径的圆，
圆心到直线y＝x＋4的距离d＝＝5＞1，
所以直线l与曲线C相离．
(2)圆的参数方程为
(θ为参数)，
则x＋y＝sin θ＋cos θ＝sin，
又由θ∈R可得－1≤sin≤1，
则－≤x＋y≤，
所以x＋y的取值范围为[－，].
　极坐标方程与参数方程的综合应用(5年4考)

[高考解读]　主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标系方程之间的互化，考查利用三角函数求最值，考查利用极径的几何意义及参数的几何意义解决问题的能力.
(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)求C上的点到l距离的最小值．
[解](1)因为－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．
l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.
(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π)．
C上的点到l的距离为
＝.
当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.
[教师备选题]
1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
[解](1)C1的普通方程为＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝
＝，
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
[解](1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；
消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2)．
设P(x，y)，由题设得
消去k得x2－y2＝4(y≠0)．
所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0