课时作业(三十八) 合情推理与演绎推理 练习

课时作业(三十八)　合情推理与演绎推理

一、选择题

1．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于(　　)

A．类比推理、归纳推理

B．类比推理、演绎推理

C．归纳推理、类比推理

D．归纳推理、演绎推理

解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.

答案：A

2．(2017·合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理(　　)

A．结论正确　　　　　　　B．大前提不正确

C．小前提不正确  D．全不正确

解析：因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．

答案：C

3．将正整数排列如下图：

1

2　3　4

5　6　7　8　9

10　11　12　13　14　15　16

…

则图中数2 016出现在(　　)

A．第44行第81列  B．第45行第81列

C．第44行第80列  D．第45行第80列

解析：由题意可知第n行有2n－1个数，则前n行的数的个数为1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2，因为442＝1 936，452＝2 025，且1 936<2 016<2 025，所以2 016在第45行，又第45行有2×45－1＝89个数，2 016－1 936＝80，故2 016在第45行第80列，选D.

答案：D

4．已知数列{an}是正项等差数列，若cn＝，则数列{cn}也为等差数列．已知数列{bn}是正项等比数列，类比上述结论可得(　　)

A．若{dn}满足dn＝，则{dn}也是等比数列

B．若{dn}满足dn＝，则{dn}也是等比数列

C．若{dn}满足dn＝(b1·2b2·3b3·…·nbn)，则{dn}也是等比数列

D．若{dn}满足dn＝(b1·b·b·…·b)，则{dn}也是等比数列

解析：设等比数列{bn}的公比为q(q>0)，则b1·b·b·…·b＝b1·(b1q)2·(b1q2)3·…·(b1qn－1)n＝(b1·b·b·…·b)(q1×2·q2×3·…·q(n－1)n)＝b·q1×2＋2×3＋…＋(n－1)n＝b1q12＋1＋22＋2＋…＋(n－1)2＋(n－1)＝b1q，所以dn＝(b1·b·b·…·b)＝b1q，即{dn}也是等比数列．

答案：D

5．(2017·湖南六校联考(一))对于问题“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，解关于x的不等式ax2－bx＋c>0”，给出如下一种解法：

由ax2＋bx＋c>0的解集为(－1,2)，得a(－x)2＋b(－x)＋c>0的解集为(－2,1)，即关于x的不等式ax2－bx＋c>0的解集为(－2,1)．

参考上述解法，若关于x的不等式＋<0的解集为(－1，－)∪(，1)，则关于x的不等式＋<0的解集为(　　)

A．(－3，－1)∪(1,2)  B．(1,2)

C．(－1,2)  D．(－3,2)

解析：由关于x的不等式＋<0的解集为(－1，－)∪(，1)，得＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)，即关于x的不等式＋<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．

答案：A

6．(2016·北京卷)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则(　　)

A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球

B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多

C．乙盒中红球不多于丙盒中红球

D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

解析：解法一　假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.

解法二　设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有(n－k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(k－s)个，丙盒中共有(n－k)个球，其中红球有(n－k－s)个，黑球有(n－k)－(n－k－s)＝s个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.

答案：B

二、填空题

7．(2017·厦门模拟)已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：__________________________.

解析：由等比数列的性质可知

b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，

∴＝.

答案：＝

8．(2017·安徽黄山一模)对正整数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分拆”：

133343……，

依此类推，若m3的“分拆”中含有奇数2 015，则m的值为________．

解析：由题意知，从23到m3，正好用去从3开始的连续奇数共2＋3＋4＋…＋m＝个，

2 015是从3开始的第1 007个奇数，

当m＝44时，从23到443，用去从3开始的连续奇数共＝989个，

当m＝45时，从23到453，用去从3开始的连续奇数共＝1 034个，故m＝45.

答案：45

9．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数N(n,3)＝n2＋n，

正方形数N(n,4)＝n2，

五边形数N(n,5)＝n2－n，

六边形数N(n,6)＝2n2－n，

……

根据上面的表达式可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.

解析：由题中列出的表达式可以推测：N(n，k)＝n2＋n，∴N(10,24)＝×100＋×10＝1 100－100＝1 000.

答案：1 000

三、解答题

10．在锐角三角形ABC中，求证：sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.

证明：∵△ABC为锐角三角形，

∴A＋B>，∴A>－B，

∵y＝sin x在上是增函数，

∴sin A>sin＝cos B，

同理可得sin B>cos C，sin C>cos A，

∴sin A＋sin B＋sin C>cos A＋cos B＋cos C.

11．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的……

请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．

解析：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：

(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；

(2)四面体的体积V＝×底面积×高；

(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.

12．观察下表：

1，

2,3，

4,5,6,7，

8,9,10,11,12,13,14,15，

…

问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？

(2)此表第n行的各个数之和是多少？

(3)2 017是第几行的第几个数？

解析：(1)∵第n＋1行的第1个数是2n，

∴第n行的最后一个数是2n－1.

(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝＝3·22n－3－2n－2.

(3)∵210＝1 024,211＝2 048,1 024<2 017<2 048，

∴2 017在第11行，该行第1个数是210＝1 024，

由2 017－1 024＋1＝994知2 017是第11行的第994个数．