课时作业(三十二) 数列求和 练习

课时作业(三十二)　数列求和

一、选择题

1．(2017·重庆第一次适应性测试)在数列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，则{an}的前4项和为(　　)

A．9　　　　B．22

C．24       D．32

解析：依题意得，数列{an}是公差为2的等差数列，a1＝a2－2＝3，因此数列{an}的前4项和等于4×3＋×2＝24，选C.

答案：C

2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为(　　)

A.或5  B.或5

C.      D.

解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得＝，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为＝.

答案：C

3．(2017·长沙二模)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)

A．15     B．12

C．－12   D．－15

解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.

答案：A

4．数列{1＋2n－1}的前n项和为(　　)

A．1＋2n     B．2＋2n

C．n＋2n－1  D．n＋2＋2n

解析：由题意得an＝1＋2n－1，

所以Sn＝n＋＝n＋2n－1.

答案：C

5．(2017·武汉武昌调研)设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a3＝－，则数列的前n项和Tn＝(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：设{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d＝2a1＋＝a1－，S4＝3a3＋a1＝a1－，

因为S1，S2，S4成等比数列，

所以2＝a1，

整理，得4a＋12a1＋5＝0，所以a1＝－或a1＝－.

当a1＝－时，公差d＝0不符合题意，舍去；

当a1＝－时，公差d＝＝－1，

所以an＝－＋(n－1)×(－1)＝－n＋＝－(2n－1)，

所以＝－

＝－，

所以其前n项和

Tn＝－

＝－＝－，故选C.

答案：C

6．(2017·河北“五个一名校联盟”质检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则过点P(n，an)和Q(n＋2，an＋2)(n∈N*)的直线的斜率是(　　)

A．4  B．3

C．2  D．1

解析：设等差数列{an}的公差为d，因为S2＝2a1＋d＝10，S5＝(a1＋a5)＝5(a1＋2d)＝55，所以d＝4，所以kPQ＝＝＝d＝4，故选A.

答案：A

二、填空题

7．(2017·江西南昌一模)数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为__________．

解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.

答案：－1

8．(2017·重庆第一次适应性测试)在数列{an}中，若a1＝2，且对任意正整数m，k，总有am＋k＝am＋ak，则{an}的前n项和Sn＝________.

解析：依题意得an＋1＝an＋a1，即有an＋1－an＝a1＝2，所以数列{an}是以2为首项、2为公差的等差数列，an＝2＋2(n－1)＝2n，Sn＝＝n(n＋1)．

答案：n(n＋1)

9．(2017·广西高三适应性测试)已知数列{}的前n项和Sn＝n2，则数列的前n项和Tn＝________.

解析：∵＝＝

∴＝2n－1.

∴＝＝，

∴Tn＝

＝＝.

答案：

三、解答题

10．(2017·兰州市实战考试)在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.

解析：(1)设等差数列{an}的公差是d.

∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，

∴d＝－3，

∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，

∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.

(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，

∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，

∴bn＝3n－2＋qn－1.

∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)，

故当q＝1时，Sn＝＋n＝；

当q≠1时，Sn＝＋.

11．(2017·河南郑州模拟)已知a2，a5是方程x2－12x＋27＝0的两根，数列{an}是递增的等差数列，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝1－bn(n∈N*)．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)记cn＝an·bn，求数列{cn}的前n项和Tn.

解析：(1)由题意得，a2＝3，a5＝9，

公差d＝＝2.

所以an＝a2＋(n－2)d＝2n－1.

由Sn＝1－bn得，当n＝1时，b1＝，

当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝bn－1－bn，

得bn＝bn－1，

所以{bn}是以为首项，为公比的等比数列，

所以bn＝.

(2)cn＝an·bn＝，

Tn＝＋＋＋…＋＋，

3Tn＝＋＋＋…＋＋.

两式相减得2Tn＝2＋＋＋…＋－＝4－，所以Tn＝2－.

12．(2017·山东淄博模拟)已知数列{an}是等差数列，Sn为{an}的前n项和，且a10＝19，S10＝100；数列{bn}对任意n∈N*，总有b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝an＋2成立．

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)记cn＝(－1)n，求数列{cn}的前n项和Tn.

解析：(1)设{an}的公差为d，则a10＝a1＋9d＝19，S10＝10a1＋×d＝100.

解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1.

所以b1·b2·b3·…·bn－1·bn＝2n＋1，①

当n＝1时，b1＝3，当n≥2时，b1·b2·b3·…·bn－1＝2n－1.②

①②两式相除得bn＝(n≥2)．

因为当n＝1时，b1＝3适合上式，所以bn＝(n∈N*)．

(2)由已知cn＝(－1)n，

得cn＝(－1)n

＝(－1)n，

则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn

＝－＋－＋…＋(－1)n，

当n为偶数时，

Tn＝－＋－＋…＋(－1)n·

＝＋＋＋…＋

＝－1＋＝－；

当n为奇数时，

Tn＝－＋－＋…＋(－1)n·

＝＋＋＋…＋

＝－1－＝－.

综上，Tn＝