课时作业(三十七) 基本不等式 练习

课时作业(三十七)　基本不等式

一、选择题

1．下列不等式一定成立的是(　　)

A．lg(x2＋)>lg x(x>0)

B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)

C．x2＋1≥2|x|(x∈R)

D.>1(x∈R)

解析：当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，

所以lg(x2＋)≥lg x(x>0)，

故选项A不正确；

运用基本不等式时需保证“一正”“二定”“三相等”，

而当x≠kx，k∈Z时，sin x的正负不定，

故选项B不正确；

由基本不等式可知，选项C正确；

当x＝0时，有＝1，故选项D不正确．

答案：C

2．(2017·青岛模拟)设a，b∈R，已知命题p：a2＋b2≤2ab；命题q：2≤，则p是q成立的(　　)

A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当p成立的时候，q一定成立，但当q成立的时候，p不一定成立，所以p是q的充分不必要条件．

答案：B

3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　)

A.　　　　　　　　B．4

C.  D．5

解析：依题意，得 ＋＝(＋)·(a＋b)

＝[5＋(＋)]≥(5＋2)＝，

当且仅当即a＝，b＝时取等号，

即＋的最小值是.

答案：C

4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　)

A．[0,2]  B．[－2,0]

C．[－2，＋∞)  D．(－∞，－2]

解析：∵2x＋2y≥2＝2(当且仅当2x＝2y时等号成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.

答案：D

5．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－1,4)

B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)

C．(－4,1)

D．(－∞，0)∪(3，＋∞)

解析：∵不等式x＋<m2－3m有解，∴(x＋)min<m2－3m，∵x>0，y>0，且＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，∴(x＋)min＝4，故m2－3m>4，解得m<－1或m>4，∴实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)，故选B.

答案：B

6．(2017·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{an}的公差是d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是(　　)

A.  B.

C．2＋  D．2－

解析：an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，

∴＝＝

≥＝，当且仅当n＝4时取等号．

∴的最小值是，故选A.

答案：A

二、填空题

7．已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为________．

解析：由已知得＝1，则＝＋＝＝≥(10＋2)＝9，当且仅当x＝，y＝时取等号．

答案：9

8．若∀x∈(0，＋∞)，≤a恒成立，求a的取值范围________．

解析：设f(x)＝＝

∵x>0，∴x＋≥2＝4

∴f(x)max＝，∴a≥

答案：[，＋∞)

9．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．

解析：设底面矩形的一条边长是x m，总造价是y元，由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．

答案：160

三、解答题

10．已知x>0，y>0，z>0.

求证：≥8.

证明：因为x>0，y>0，z>0，

所以＋≥>0，＋≥>0，

＋≥>0，

所以

≥＝8.

当且仅当x＝y＝z时等号成立．

11．(1)求函数y＝x(a－2x)(x>0，a为大于2x的常数)的最大值；

(2)已知x>0，y>0，lg x＋lg y＝1，求z＝＋的最小值．

解析：(1)∵x>0，a>2x，

∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×2＝，

当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为 .

(2)由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10，

即＋＝≥＝2，

∴min＝2，

当且仅当2y＝5x，即x＝2，y＝5时等号成立．故z最小值为2.

12．某化工企业2016年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备，则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？

解析：(1)由题意得，

y＝，

即y＝x＋＋1.5(x∈N*)．

(2)由基本不等式得

y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，

当且仅当x＝，即x＝10时取等号．

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．