课时作业(三十一) 等比数列及其前n项和 练习

课时作业(三十一)　等比数列及其前n项和

一、选择题

1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)

A．a1，a3，a9成等比数列　B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列  D．a3，a6，a9成等比数列

解析：由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.

答案：D

2．(2017·海淀二模)在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.

答案：B

3．(2017·石家庄市教学质量检测二)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝(　　)

A．2n＋1  B．2n

C．2n－1  D．2n－2

解析：依题意，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，则an＋1＝2an，令n＝1，则S1＝2a1－4，即a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.

答案：A

4．(2017·安徽安庆二模)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于(　　)

A．1  B．－1

C.    D．2

解析：由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.

答案：D

5．(2017·山西第二次四校联考)已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则＝(　　)

A．1＋    B．1－

C．3＋2   D．3－2

解析：∵a1，a3,2a2成等差数列，∴a3×2＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，∴q2＝1＋2q，解得q＝1＋或q＝1－(舍)，∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.

答案：C

6．(2017·河北三市第二次联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　)

A．7  B．8

C．9  D．10

解析：设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以前n天所织布的尺数为(2n－1)．由(2n－1)≥30，得2n≥187，得n的最小值为8.故选B.

答案：B

二、填空题

7．(2017·河南中原名校联考)已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，则公比q＝________.

解析：因为等比数列{an}为递增数列，且a1＝－2<0，所以公比0<q<1，又因为3(an＋an＋2)＝10an＋1，两边同除以an，得3(1＋q2)＝10q，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝，因为0<q<1，所以q＝.

答案：

8．(2017·福建福州质检)在等比数列{an}中，a3a7＝8，a4＋a6＝6，则a2＋a8＝________.

解析：设等比数列的公比为q，因为a3a7＝8，a4＋a6＝6，所以a4a6＝8，所以或所以q2＝2或q2＝，所以a2＋a8＝＋a6q2＝9.

答案：9

9．(2017·广东肇庆三模)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝________.

解析：由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.

答案：34

三、解答题

10．(2015·北京卷)已知等差数列{an}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.

(1)求{an}的通项公式；

(2)设等比数列{bn}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？

解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a4－a3＝2，所以d＝2.

又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.

所以an＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．

(2)设等比数列{bn}的公比为q.

因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4，

所以b6＝4×26－1＝128.

由128＝2n＋2得n＝63，

所以b6与数列{an}的第63项相等．

11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＋Sn＝n.

(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

解析：(1)证明：∵an＋Sn＝n，①

∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②

②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，

∴2an＋1＝an＋1，

∴2(an＋1－1)＝an－1，

∴＝.

∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，

∴a1＝，c1＝－.

又cn＝an－1，故{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．

(2)由(1)知cn＝－×n－1＝－n

∴an＝1－n.

12．(2017·兰州市诊断考试)在公差不为零的等差数列{an}中，a1＝1，a2、a4、a8成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.

解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则依题意有

，

解得d＝1或d＝0(舍去)，

∴an＝a1＋(n－1)d＝n.

(2)由(1)得an＝n，

∴bn＝2n，

∴＝2，

∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，

∴Tn＝＝2n＋1－2.