【期末复习】2020年八年级数学上册 期末复习专题 等腰三角形解答题 专练（含答案）

【期末复习】2020年八年级数学上册 期末复习专题

等腰三角形解答题 专练

1.已知点A、C、B在同一条直线上，△DAC、△EBC均是等边三角形， AE、BD分别与CD、CE交于点M、N.

求证：（1）AE=BD；（2）△CMN为等边三角形 

2.如图，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF．

（1）求证：BG=CF；

（2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．

3.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．

4.在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，求∠BCE的度数；

（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．

①如图2,当点D在线段BC上移动,则α，β之间有怎样的数量关系?请说明理由；

②当点D在直线BC上移动，则α,β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．

5.如图，点C是线段AB上一点，△ACM与△BCN都是等边三角形．

（1）如图①，AN与BM是否相等？证明你的结论；

（2）如图②，AN与CM交于点E，BM与CN交于点F，试探究△ECF的形状，并证明你的结论．

（3）如图①，设AN、BM交点为D,连接CE,求证:DC平分∠ADB.

6.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=1100,∠BOC=α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转600得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；

（2）当α=1500时，试判断△AOD的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

7.如图,∠BAD=∠CAE=90o,AB=AD,AE=AC,AF⊥CF,垂足为F.

（1）若AC=10,求四边形ABCD的面积；

（2）求证：AC平分∠ECF；

（3）求证：CE=2AF .

8.如图,△ABC中,AB=AC=5,∠BAC=1000,点D在线段BC上运动（不与点B、C重合），连接AD,作∠1=∠C,DE交线段AC于点E．

（1）若∠BAD=200，求∠EDC的度数；

（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE？试说明理由；

（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出此时∠BAD的度数；若不能，请说明理由．

9.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．

（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是      ；

（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；

（3）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．

①求BC的长；

②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．

③如图,若△ABC的面积为24cm2,BC=6cm2,D为BC中点,P在直线MN上为一动点,连接PB,PD,求△PBD周长最小值.

10.如图,已知△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动.设运动时间为t秒。

(1)若点P的速度3厘米/秒，用含t的式子表示第t秒时,BP=       厘米,CP=         厘米.

(2)如果点P的速度是3厘米/秒,t为何值时,△BPD和△CPQ恰好是以点B和C为对应点的全等三角形全等？

(3)如果点P比点Q的运动速度每秒快1厘米,t为何值时,△BPD和△CPQ恰好都是以∠B、∠C为顶角的等腰三角形.

11.如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB.设P点的运动时间为t秒.

（1）若AB∥x轴，求t的值；

（2）当t=3时，坐标平面内有一点M，使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标；

（3）设点A关于x轴的对称点为,连接，在点P运动的过程中，∠的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠的度数，若改变，请说明理由。

12.如图，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点.

(1）求证MN⊥DE．

(2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并写出推理过程．

(3）若将锐角△ABC变为钝角△ABC，如图，上述(1）(2）中的结论是否都成立， 若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

13.如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动.

(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由.

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

14.在△ABC中，AB=AC．

（1）如图1，如果∠BAD=30°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=      

（2）如图2，如果∠BAD=40°，AD是BC上的高，AD=AE，则∠EDC=          

（3）思考：通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：      

（4）如图3，如果AD不是BC上的高，AD=AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并说明理由．

15.在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：

已知：C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边三角形ACE和BCD，联结AD、BE交于点P．

（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD 与BE的数量关系是：    ．

（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请求出∠APE的度数．

（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形△ABF，联结AD、BE和CF交于点P，求证：PB+PC+PA=BE．

参考答案

1.证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形 ∴AC=DC，EC=BC，∠1=∠2=60°

∵∠ACE=∠1+∠3, ∠DCB=∠2+∠3∴∠ACE=∠DCB．

在△ACE和△DCB中，AC=DC，∠ACE=∠DCB， EC=BC 

∴△ACE≌△DCB（SAS） ∴AE=DB.

（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB ∴∠CAE=∠CDB即∠CAM=∠CDN

∵△DAC、△EBC均是等边三角形 ∴AC=DC，∠1=∠2=60°．

又∵点A、C、B在同一条直线上 ∴∠1+∠2+∠3=180°∴∠3=60°∴∠1=∠3

在△ACM和△DCN中，∠CAM=∠CDN，AC=DC，∠1=∠3

∴△ACM≌△DCN（ASA）∴CM=CN

∵∠3=60°∴△CMN为等边三角形        

2.解：（1）∵BG∥AC，∴∠DBG=∠DCF．∵D为BC的中点，∴BD=CD

又∵∠BDG=∠CDF，在△BGD与△CFD中，∵

∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF．

（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD=FD，BG=CF．

又∵DE⊥FG，∴EG=EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．

∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．

3.解：CD=2BE，理由为：延长BE交CA延长线于F，

∵CD平分∠ACB，∴∠FCE=∠BCE，

在△CEF和△CEB中，，∴△CEF≌△CEB（ASA），∴FE=BE，

∵∠DAC=∠CEF=90°，∴∠ACD+∠F=∠ABF+∠F=90°，∴∠ACD=∠ABF，

在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（ASA），

∴CD=BF，∴CD=2BE．

4.

5.（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，

∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°．

∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB，

在△ACN和△MCB中：AC＝MC，∠ACN＝∠MCB，NC＝BC

∴△ACN≌△MCB（SAS）．∴AN=BM．

（2）∵△ACN≌△MCB，∴∠CAE=∠CMB．

在△ACE和△MCF中：∠CAE＝∠CMF，AC＝MC，∠ACE＝∠FCM

∴△ACE≌△MCF（ASA）．∴CE=CF．

∴△CEF的形状是等边三角形．

6.（1）∵△BCO≌△ACD∴OC=CD又∵∠OCD=60°所以△OCD是等边三角形

（2）∵△OCD是等边三角形∴∠DOC=∠CDO=60°

∵∠AOB+∠α+∠COD+∠AOD=360°且∠AOB=110°,∠α=150°∴∠COD=40°

又∵∠ADC=∠α=150°∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°∴△ADO是直角三角形

（3）∠AOD=360°-∠AOB-∠α-∠COD=360°-110°-∠α-60°=190°-∠α

∠ADO=∠ADC-∠CDO=∠α-60°

∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（∠α-60°）-（190°-∠α）=50°

若∠ADO=∠AOD,即∠α-60°=190°-∠α,则∠α=125°

若∠ADO=∠OAD,则∠α=110°

若∠OAD=∠AOD,则∠α=140°

经验证,三个答案均可.

7.（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD∴∠BAC=∠EAD，

在△ABC和△ADE中，

∴△ABC≌△ADE（SAS），∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，

（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=∠AEC=45°，

由△ABC≌△ADE得：∠ACB=∠AEC=45°，∴∠ACB=∠ACE，∴AC平分∠ECF；

（3）证明：过点A作AG⊥CG，垂足为点G，

∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，∴AF=AG，

又∵AC=AE，∴∠CAG=∠EAG=45°，∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，

∴CG=AG=GE，∴CE=2AG，∴CE=2AF．

8.略

9.略

10.略

11.解：

（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图1所示.

∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB∥x轴，∴四边形ABCO为长方形，∴AO=BC=4.

∵△APB为等腰直角三角形，∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，∴△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP=4.

t=4÷1=4（秒），故t的值为4.

（2）点M的坐标为（4，7）, （6，-4）, （10，-1）, （0，4）

（3）答：∠=45°

∵△APB为等腰直角三角形，∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°.

又∵∠PAO+∠APO=90°，∴∠PAO=∠BPC.

在△PAO和△BPC中，，∴△PAO≌△BPC，∴AO=PC，BC=PO.

∵点A（0，4），点P（t，0）∴PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+ t

∴点B（4+t，t）∴点B在直线y=x﹣4上

又∵点A关于x轴的对称点为（0，-4）也在直线y=x﹣4上,∴∠=45°.

12. (1）连结DM，ME可得2DM=BC，2ME=BC，DM=ME

又N为中点，∴MN⊥DE．

(2）∠DME=180°－2∠A.

(3)结论(1）成立，结论(2）不成立,∠DME=2∠A－180°.

13.解：(1)经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，

∵△ABC中，AB=AC，∴在△BPD和△CQP中，

，∴△BPD≌△CQP(SAS).

(2)设点Q的运动速度为x(x≠3)cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，∵AB=AC，∴∠B=∠C，

根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；

①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；

②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=；

故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等.

14.解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，

∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAD=30°，∴∠BAD=∠CAD=30°，

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠EDC=15°．

 （2）∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC上的高，∴∠BAD=∠CAD，

∵∠BAD=40°，∴∠BAD=∠CAD=40°，

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=70°，∴∠EDC=20°．

 （3）∠BAD=2∠EDC（或∠EDC=0.5∠BAD）

 （4）仍成立，理由如下

∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，

∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=（∠EDC+∠C）+∠EDC=2∠EDC+∠C

又∵AB=AC，∴∠B=∠C∴∠BAD=2∠EDC．

故分别填15°，20°，∠EDC=0.5∠BAD

15.解：（1）∵△ACE、△CBD均为等边三角形，

∴AC=EC，CD=CB，∠ACE=∠BCD，∴∠ACD=∠ECB；

在△ACD与△ECB中，，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴AD=BE，

故答案为AD=BE．

（2）AD=BE成立，∠APE不随着∠ACB的大小发生变化，始终是60°．

证明：∵△ACE和△BCD是等边三角形∴EC=AC，BC=DC，∠ACE=∠BCD=60°，

∴∠ACE+∠ACB=∠BCD+∠ACB，即∠ECB=∠ACD；

在△ECB和△ACD中， ∴△ECB≌△ACD（SAS），∴∠CEB=∠CAD；

设BE与AC交于Q，

又∵∠AQP=∠EQC，∠AQP+∠QAP+∠APQ=∠EQC+∠CEQ+∠ECQ=180°

∴∠APQ=∠ECQ=60°，即∠APE=60°．

（3）由（2）同理可得∠CPE=∠EAC=60°；在PE上截取PH=PC，连接HC，

则△PCH为等边三角形，∴HC=PC，∠CHP=60°，∴∠CHE=120°；

又∵∠APE=∠CPE=60°，∴∠CPA=120°，∴∠CPA=∠CHE；

在△CPA和△CHE中，，∴△CPA≌△CHE（AAS），

∴AP=EH，∴PB+PC+PA=PB+PH+EH=BE．