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2021年中考数学二轮专题培优 相似三角形50题（含答案）
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2021年中考数学二轮专题培优 相似三角形50题
一 、选择题
如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，
则BE：EC=( )
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4.
则下列结论：①AF：FD=1：2；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）
A.①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
如图，已知D是△ABC（三边互不相等）的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似，则这样的画法有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE=15°，连接BE并延长BE到F，使CF=CB，BF与CD相交于点H，若AB=1.
有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF；③S△DEC=﹣；④=2﹣1．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为( )
A.18 B. C. D.
如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1和S2，比较S1与S2的大小( )
A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.不能确定
如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（ ）
A. B. C. D.
将一副三角尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则PM:CN的值为（ ）
A. B. C. D.
如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段AC,B上的两个动点,则BM+MN最小值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．6
如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（ ）
A.：2：1 B.5：3：1 C.25：12：5 D.51：24：10
如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE：S△COA=1:25,则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
如图所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2，2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．
下列结论：
①OA=BC=2；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；
③在运动过程中，∠CDP是一个定值；
④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(，0)．
其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，已知一张三角形纸片ABC，边AB长为10cm，AB边上的高为15cm，在三角形内从左到右叠放边长为2的正方形小纸片，第一次小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放的正方形的个数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB:S四边形CBFG=1:2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC.
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3.若S1+S3=20，则S2的值为( )．
A．6 B. 8 C. 10 D. 12
如图所示,四边形ABCD，CEFG都是正方形,点G在线段CD上,连接BG，DE，DE 和FG相交于点O．设AB=a，CG=b(a>b).下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；
④．其中结论正确的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
如图,在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°，BC=6﹣2,点P是BC上一动点,PE⊥AB于E,PD⊥AC于D.无论P的位置如何变化,线段DE的最小值为（ ）
A.3﹣3 B. C.4﹣6 D.2
在矩形ABCD中,AD =2AB= 4,E为AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶点与E重合,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点M、N,设∠AEM =α（0°<α < 90°），给出四个结论：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN－AM=2；
④ .上述结论中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二 、填空题
如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，
则S△BDE：S四边形DECA的值为 .
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点(不与点B、C重合)，过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE.
下列结论：
①若BF=CF，则CE2+AD2=DE2；
②若∠BDE=∠BAC，AB=4，则CE=；
③△ABD和△CBE一定相似；
④若∠A=30°，∠BCE=90°，则DE=．
其中正确的是 ．(填写所有正确结论的序号)
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 ．
如图，直角三角形纸片 ABC，AC 边长为 10cm，现从下往上依次裁剪宽为 4cm 的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么 BC 的长度是 cm．
经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则=________.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=________.
如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1:，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________.
△ABC是边长为18的正三角形,点D、E分别在边AB、BC上,且BD=BE.若四边形DEFG是边长为6的正方形时，则点F到AC的距离等于__________.
如图，正方形ABCD的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为 ．
墙壁D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等都为1.6m，小明向墙壁走1m到B处发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= m．（保留三位有效数字）
在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= ．（结果保留根号）
如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 ．
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 ．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．
如图，□ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：
①E为AB的中点；
②FC=4DF；
③S△ECF=；
④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．其中一定正确的是 ．
如图，已知正方形ABCD、CEFG，边长分别为a、b(a>b)，B、C、E共线，连接AC、AF，O为AF中点，连接OD、OC.已知ab=20，则图中阴影部分的面积为 .(用含a的代数式表示)
如图,矩形ABCD中,由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置,则矩形ABCD面积为 ．
如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ．
（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；
（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=0.75；（5）OG•BD=AE2+CF2．
如图,在△ABC中,BC=4,E、F分别是AB、AC上的点,且EF∥BC,动点P在射线EF上,BP交CE于点D,∠CBP的平分线交CE于Q,当3CQ=CE时,EP+BP= ．
三 、解答题
如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
(1)求证：BD2=AD•CD；
(2)若CD=6，AD=8，求MN的长．
如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H.
(1)求DE的长；
(2)求证：∠1=∠DFC.
如图，在△ABC中．AB=AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．
（1）求证：AD2=AB•AE；
（2）若AB=3，AE=2，求的值．
如图，AC 是▱ABCD 的对角线，在 AD 边上取一点 F，连接 BF 交 AC 于点 E，并延长BF 交 CD 的延长线于点 G．
（1）若∠ABF=∠ACF，求证：CE2=EF•EG；
（2）若 DG=DC，BE=6，求 EF 的长．
如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
【问题引入】
(1)若点O是AC的中点，，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：；
【拓展应用】
(3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若，，求的值.
在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．
（Ⅰ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CD=3CE，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AB=BG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
在ΔABC中，AB=4.
如图(1)所示，DE∥BC，DE把ΔABC分成面积相等的两部分，即SⅠ=SⅡ，求AD的长.
如图(2)所示，DE∥FG∥BC，DE、FG把ΔABC分成面积相等的三部分，即SⅠ=SⅡ=SⅢ，求AD的长.
如图(3)所示，DE∥FG∥HK∥…∥BC，DE、FG、HK、…把ΔABC分成面积相等的n部分，SⅠ=SⅡ=SⅢ=…，请直接写出AD的长.
如图,点P是菱形ABCD对角线AC上的一点,连接DP并延长,交边AB于点E,连接BP并延长，交边AD于点F,交CD的延长线于点G.
(1)求证：△APB≌△APD.
(2)已知DF:FA=1:2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.
①求y与x之间的函数解析式；
②当x=6时，求线段FG的长．
参考答案
答案为：B.
答案为：D.
答案为：B．
答案为：A
解析：证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE=DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE=∠ADE．∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，∴∠CBE=∠F，∴∠CBE=∠CDE=∠F．
∵∠CDE=15°，∴∠CBE=15°，∴∠CEG=60°．
∵CE=GE，∴△CEG是等边三角形．∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，∴∠ECD=GCF．
在△DEC和△FGC中，，∴△DEC≌△FGC（SAS），∴DE=GF．
∵EF=EG+GF，∴EF=CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC=，
由面积公式得：AD×DC=AC×DM，∴DM=，
∵∠DCA=45°，∠AED=60°，∴CM=，EM=，∴CE=CM﹣EM=﹣∴S△DEC=CE×DM=﹣，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE=2ME=，∵△ECG是等边三角形，∴CG=CE=﹣，
∵∠DEF=∠EGC=60°，∴DE∥CG，∴△DEH∽△CGH，∴===+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，故选：A．
答案为：B.
答案为：B.
C
C
B【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，
AC=5，AC边上的高为2，所以BE=4．∵△ABC∽△EFB，∴=，即=,EF=8．故选B．
D解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．
B
D
C
答案为：D.
解析：①∵四边形OABC是矩形，B(2，2)，∴OA=BC=2；故①正确；
②∵点D为OA的中点，∴OD=OA=，∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+()2=7，故②正确；
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF=OC=2，设PE=a，则PF=EF﹣PE=2﹣a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO===，∴BE=PE=a，
∴CE=BC﹣BE=2﹣a=(2﹣a)，
∵PD⊥PC，∴∠CPE+∠FPD=90°，∵∠CPE+∠PCE=90°，∴∠FPD=∠ECP，
∵∠CEP=∠PFD=90°，∴△CEP∽△PFD，∴=，
∴=，∴FD=，∴tan∠PDC===，∴∠PDC=60°，故③正确；
④∵B(2，2)，四边形OABC是矩形，∴OA=2，AB=2，
∵tan∠AOB==，∴∠AOB=30°，
当△ODP为等腰三角形时，
Ⅰ、OD=PD，∴∠DOP=∠DPO=30°，∴∠ODP=60°，∴∠ODC=60°，∴OD=OC=，
Ⅱ、OP=OD，∴∠ODP=∠OPD=75°，
∵∠COD=∠CPD=90°，∴∠OCP=105°＞90°，故不合题意舍去；
Ⅲ、OP=PD，
∴∠POD=∠PDO=30°，∴∠OCP=150°＞90°故不合题意舍去，
∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(，0)．故④正确，
故选：D．
答案为：C．
解析：作CF⊥AB于点F.
设最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于D、E，
∵DE∥AB，
∴=，即=，解得：DE=，而整数部分是4，
∴最下边一排是4个正方形．
第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于G、H．
则=，解得GH=，而整数部分是3，∴第二排是3个正方形；
同理：第三排是：3个；第四排是2个，第五排是1个，
第六排是1个，则正方形的个数是：4+3+3+2+1+1=14．
故选：C．
答案为：D.
B
解：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
如图1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，∴∠AEP=∠ADP=90°，
∴∠AEP+∠ADP=180°，∴A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，
在Rt△PDC中，∠C=45°，∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD=45°，
∴△APD也是等腰直角三角形，∴∠PAD=45°，∴∠PED=∠PAD=45°，∴∠AED=45°，
∴∠AED=∠C=45°，∵∠EAD=∠CAB，∴△AED∽△ACB，∴，
设AD=2x，则PD=DC=2x，AP=2x，
如图2，取AP的中点O，连接EO，则AO=OE=OP=x，
∵∠EAP=∠BAC﹣∠PAD=60°﹣45°=15°，∴∠EOP=2∠EAO=30°，
过E作EM⊥AP于M，则EM=x，cos30°=，
∴OM=x•=x，∴AM=x+x=x，
由勾股定理得：AE=，=，=（+1）x，
∴=，∴ED=．则线段DE的最小值为；故选B．
C
答案为：1：15.
答案为：①②④．
解析：①∵∠ABC=90°，D为斜边AC的中点，∴AD=BD=CD，
∵AF=CF，∴BF=CF，∴DE⊥BC，∴BE=CE，∵
∵BE⊥BD，∴BD2+BE2=DE2，∴CE2+AD2=DE2，故①正确；
②∵AB=4，BC=3，∴AC=，∴，
∵∠A=∠BDE，∠ABC=∠DBE=90°，∴△ABC∽△DBE，
∴，即．∴BE=，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，
∵∠A=∠BDE，∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠A=∠CDE，∴DE∥AB，∴DE⊥BC，
∵BD=CD，∴DE垂直平分BC，∴BE=CE，∴CE=，故②正确；
③∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABD=∠CBE，
∵，但随着F点运动，BE的长度会改变，而BC=3，
∴或不一定等于，∴△ABD和△CBE不一定相似，故③错误；
④∵∠A=30°，BC=3，∴∠A=∠ABD=∠CBE=30°，AC=2BC=6，
∴BD=，∵BC=3，∠BCE=90°，∴BE=，
∵∴，故④正确；
答案为：2．
解析：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=12，DC=AB=3，
∵E为AD中点，∴AE=DE=AD=6由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE=GE=6，∠AEF=∠GEF，∠EGF=∠EAF=90°=∠D，∴GE=DE，
∴EC平分∠DCG，∴∠DCE=∠GCE，
∵∠GEC=90°﹣∠GCE，∠DEC=90°﹣∠DCE，∴∠GEC=∠DEC，
∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=×180°=90°，∴∠FEC=∠D=90°，
又∵∠DCE=∠GCE，∴△FEC∽△EDC，
∴，∵EC===3，
∴，∴FE=2，故答案为：2．
答案为：20.
解析：在图中标上字母，如图所示．根据矩形的性质，可知：DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，∴ = ，∴BC= •DE= ×4=20cm．
答案为：113°或92° ．
答案为：1；
答案为：3；
答案为：(，)；
答案为：
答案为：4．
答案为：4.27米．
答案为：；
解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE==，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC∴∠G=∠DEF∴∠BEG=∠G∴BG=BE=
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴
设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG∴=9+2x+x解得x=∴BC=9+2（﹣3）=
答案为：80π﹣160；
答案为：或．
解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，
∵CF=2，AC=6，BC=8，∴AF=4，AB==10，∴=，
∴FM=3.2，∵PF=CF=2，∴PM=1.2∴点P到边AB距离的最小值是1.2．故答案为1.2．
解：∵ƒM、N是BD的三等分点，∴DN=NM=BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，
∴△BEM∽△CDM，∴，∴BE=CD，∴BE=AB，故①正确；
∵AB∥CD，∴△DFN∽△BEN，∴=，
∴DF=BE，∴DF=AB=CD，∴CF=3DF，故②错误；
∵BM=MN，CM=2EM，∴△BEM=S△EMN=S△CBE，
∵BE=CD，CF=CD，∴=，
∴S△EFC=S△CBE=S△MNE，∴S△ECF=，故③正确；
∵BM=NM，EM⊥BD，∴EB=EN，∴∠ENB=∠EBN，
∵CD∥AB，∴∠ABN=∠CDB，∵∠DNF=∠BNE，
∴∠CDN=∠DNF，∴△DFN是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①③④．
答案为：0.25a2+5；(提示：连接DF、CF、过O作OM//AD)
答案为：19.2
答案为：(1)(2)(3)(5).
答案为：8；
证明：(1)∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△BCD∴
∴BD2=AD•CD
(2)∵BM∥CD∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∵BD2=AD•CD，且CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
∴BC2=BD2﹣CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28∴MC=2
∵BM∥CD∴△MNB∽△CND
∴，且MC=2
∴MN=
解：
（1）∵AD=BC=，∴==．
∵AC=1，∴CD==，∴；
（2）∵，∴，即，
又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，
又∵AB=AC，∴BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得：x=36°，∴∠ABD=36°．
(1)解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF=∠ACF，
∵AF平分∠DAC，∴∠DAF=∠CAF，∴∠FAC=∠AFC，∴AC=CF，
∵AB=4，BC=3，∴==5，∴CF=5，
∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，
∴，设DE=x，则，解得x=∴；
(2)∵AD∥FH，AF∥DH，
∴四边形ADFH是平行四边形，
∴AD=FH=3，∴CH=2，BH=5，
∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，
∴，∴，∴DG=，
∵DE=，∴=，∴EG∥BC，
∴∠1=∠AHC，
又∵DF∥AH，∴∠AHC=∠DFC，
∠1=∠DFC.
（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∵∠DAE=∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴=，
∴AD2=AC•AE，
∵AC=AB，
∴AD2=AB•AE．
（2）解：如图，连接DF．
∵AB=3，∠ADB=90°，BF=AF，∴DF=AB=，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴DF∥AC，
∴===，∴=．
解：
（1）∵AB∥CG，∴∠ABF=∠G，
又∵∠ABF=∠ACF，∴∠ECF=∠G，
又∵∠CEF=∠CEG，∴△ECF∽△EGC，
∴ ，即 CE2=EF•EG；
（2）∵平行四边形 ABCD 中，AB=CD， 又∵DG=DC，
∴AB=CD=DG，∴AB：CG=1：2，
∵AB∥CG，∴ ，即 ，
∴EG=12，BG=18，
∵AB∥DG，∴ ，∴BF= BG=9，
∴EF=BF﹣BE=9﹣6=3．
解：
解：
一 、选择题
如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，
则BE：EC=( )
A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3
如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4.
则下列结论：①AF：FD=1：2；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～△ACD，其中一定正确的是（ ）
A.①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③
如图，已知D是△ABC（三边互不相等）的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似，则这样的画法有（ ）
A．5种 B．4种 C．3种 D．2种
如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE=15°，连接BE并延长BE到F，使CF=CB，BF与CD相交于点H，若AB=1.
有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF；③S△DEC=﹣；④=2﹣1．则其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB=12，BM=5，则DE的长为( )
A.18 B. C. D.
如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1和S2，比较S1与S2的大小( )
A.S1＞S2 B.S1＜S2 C.S1=S2 D.不能确定
如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（ ）
A. B. C. D.
将一副三角尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放，点D为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则PM:CN的值为（ ）
A. B. C. D.
如图,在矩形ABCD中,AB=10,BC=5.若点M、N分别是线段AC,B上的两个动点,则BM+MN最小值为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．6
如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（ ）
A.：2：1 B.5：3：1 C.25：12：5 D.51：24：10
如图,D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点,且DE∥AC,AE、CD相交于点O,若S△DOE：S△COA=1:25,则S△BDE与S△CDE的比是（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
如图所示，已知△ABC中，BC=8，BC上的高h=4，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．12
矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B(2，2)，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点(不与原点重合)，连接PC，过点P作PD⊥PC，交x轴于点D．
下列结论：
①OA=BC=2；
②当点D运动到OA的中点处时，PC2+PD2=7；
③在运动过程中，∠CDP是一个定值；
④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(，0)．
其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
如图，已知一张三角形纸片ABC，边AB长为10cm，AB边上的高为15cm，在三角形内从左到右叠放边长为2的正方形小纸片，第一次小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放的正方形的个数是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：
①AC=FG；②S△FAB:S四边形CBFG=1:2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ·AC.
其中正确结论的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ, △DKM, △CNH 的面积依次为S1，S2，S3.若S1+S3=20，则S2的值为( )．
A．6 B. 8 C. 10 D. 12
如图所示,四边形ABCD，CEFG都是正方形,点G在线段CD上,连接BG，DE，DE 和FG相交于点O．设AB=a，CG=b(a>b).下列结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③；
④．其中结论正确的个数是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
如图,在△ABC中,∠B=75°,∠C=45°，BC=6﹣2,点P是BC上一动点,PE⊥AB于E,PD⊥AC于D.无论P的位置如何变化,线段DE的最小值为（ ）
A.3﹣3 B. C.4﹣6 D.2
在矩形ABCD中,AD =2AB= 4,E为AD的中点,一块足够大的三角板的直角顶点与E重合,将三角板绕点E旋转,三角板的两直角边分别交AB、BC(或它们的延长线)于点M、N,设∠AEM =α（0°<α < 90°），给出四个结论：①AM=CN；②∠AME=∠BNE；③BN－AM=2；
④ .上述结论中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二 、填空题
如图所示，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：3，
则S△BDE：S四边形DECA的值为 .
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，D为斜边AC的中点，连接BD，点F是BC边上的动点(不与点B、C重合)，过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E，连接CE.
下列结论：
①若BF=CF，则CE2+AD2=DE2；
②若∠BDE=∠BAC，AB=4，则CE=；
③△ABD和△CBE一定相似；
④若∠A=30°，∠BCE=90°，则DE=．
其中正确的是 ．(填写所有正确结论的序号)
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是 ．
如图，直角三角形纸片 ABC，AC 边长为 10cm，现从下往上依次裁剪宽为 4cm 的矩形纸条，若剪得第二张矩形纸条恰好是正方形，那么 BC 的长度是 cm．
经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，则∠ACB的度数为 ．
如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则=________.
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=________.
如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1:，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是________.
△ABC是边长为18的正三角形,点D、E分别在边AB、BC上,且BD=BE.若四边形DEFG是边长为6的正方形时，则点F到AC的距离等于__________.
如图，正方形ABCD的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知BC=6，△ABC的面积为9，则正方形DEFG的面积为 ．
墙壁D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等都为1.6m，小明向墙壁走1m到B处发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= m．（保留三位有效数字）
在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= ．（结果保留根号）
如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE丄EF，EF丄FC，并且AE=6，EF=8，FC=10，则正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为 ．
如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是 ．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 ．
如图，□ABCD中，M、N是BD的三等分点，连接CM并延长交AB于点E，连接EN并延长交CD于点F，以下结论：
①E为AB的中点；
②FC=4DF；
③S△ECF=；
④当CE⊥BD时，△DFN是等腰三角形．其中一定正确的是 ．
如图，已知正方形ABCD、CEFG，边长分别为a、b(a>b)，B、C、E共线，连接AC、AF，O为AF中点，连接OD、OC.已知ab=20，则图中阴影部分的面积为 .(用含a的代数式表示)
如图,矩形ABCD中,由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置,则矩形ABCD面积为 ．
如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是 ．
（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；
（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=0.75；（5）OG•BD=AE2+CF2．
如图,在△ABC中,BC=4,E、F分别是AB、AC上的点,且EF∥BC,动点P在射线EF上,BP交CE于点D,∠CBP的平分线交CE于Q,当3CQ=CE时,EP+BP= ．
三 、解答题
如图，∠ABD=∠BCD=90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．
(1)求证：BD2=AD•CD；
(2)若CD=6，AD=8，求MN的长．
如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AF平分∠DAC，分别交DC，BC的延长线于点E，F；连接DF，过点A作AH∥DF，分别交BD，BF于点G，H.
(1)求DE的长；
(2)求证：∠1=∠DFC.
如图，在△ABC中．AB=AC，AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，F是AB中点，连EF交AD于点G．
（1）求证：AD2=AB•AE；
（2）若AB=3，AE=2，求的值．
如图，AC 是▱ABCD 的对角线，在 AD 边上取一点 F，连接 BF 交 AC 于点 E，并延长BF 交 CD 的延长线于点 G．
（1）若∠ABF=∠ACF，求证：CE2=EF•EG；
（2）若 DG=DC，BE=6，求 EF 的长．
如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
【问题引入】
(1)若点O是AC的中点，，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：；
【拓展应用】
(3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若，，求的值.
在平面直角坐标系中，己知O为坐标原点，点A（3，0），B（0，4），以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转角为α．∠ABO为β．
（Ⅰ）如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，当旋转后满足BC∥x轴时，求α与β之间的数量关系：
（Ⅲ）当旋转后满足∠AOD=β时，求直线CD的解析式（直接写出结果即可）．
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CD=3CE，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AB=BG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
在ΔABC中，AB=4.
如图(1)所示，DE∥BC，DE把ΔABC分成面积相等的两部分，即SⅠ=SⅡ，求AD的长.
如图(2)所示，DE∥FG∥BC，DE、FG把ΔABC分成面积相等的三部分，即SⅠ=SⅡ=SⅢ，求AD的长.
如图(3)所示，DE∥FG∥HK∥…∥BC，DE、FG、HK、…把ΔABC分成面积相等的n部分，SⅠ=SⅡ=SⅢ=…，请直接写出AD的长.
如图,点P是菱形ABCD对角线AC上的一点,连接DP并延长,交边AB于点E,连接BP并延长，交边AD于点F,交CD的延长线于点G.
(1)求证：△APB≌△APD.
(2)已知DF:FA=1:2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y.
①求y与x之间的函数解析式；
②当x=6时，求线段FG的长．
参考答案
答案为：B.
答案为：D.
答案为：B．
答案为：A
解析：证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE=DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE=∠ADE．∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，∴∠CBE=∠F，∴∠CBE=∠CDE=∠F．
∵∠CDE=15°，∴∠CBE=15°，∴∠CEG=60°．
∵CE=GE，∴△CEG是等边三角形．∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，∴∠ECD=GCF．
在△DEC和△FGC中，，∴△DEC≌△FGC（SAS），∴DE=GF．
∵EF=EG+GF，∴EF=CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC=，
由面积公式得：AD×DC=AC×DM，∴DM=，
∵∠DCA=45°，∠AED=60°，∴CM=，EM=，∴CE=CM﹣EM=﹣∴S△DEC=CE×DM=﹣，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE=2ME=，∵△ECG是等边三角形，∴CG=CE=﹣，
∵∠DEF=∠EGC=60°，∴DE∥CG，∴△DEH∽△CGH，∴===+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，故选：A．
答案为：B.
答案为：B.
C
C
B【解答】解：过B点作AC的垂线，使AC两边的线段相等，到E点，过E作EF垂直AB交AB于F点，
AC=5，AC边上的高为2，所以BE=4．∵△ABC∽△EFB，∴=，即=,EF=8．故选B．
D解：连接EM，CE：CD=CM：CA=1：3∴EM平行于AD∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3∴AH=（3﹣）ME，∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k∴BH=K，∴BH：HG：GM=k：12k：5k=51：24：10故选D．
B
D
C
答案为：D.
解析：①∵四边形OABC是矩形，B(2，2)，∴OA=BC=2；故①正确；
②∵点D为OA的中点，∴OD=OA=，∴PC2+PD2=CD2=OC2+OD2=22+()2=7，故②正确；
③如图，过点P作PF⊥OA于F，FP的延长线交BC于E，∴PE⊥BC，四边形OFEC是矩形，
∴EF=OC=2，设PE=a，则PF=EF﹣PE=2﹣a，
在Rt△BEP中，tan∠CBO===，∴BE=PE=a，
∴CE=BC﹣BE=2﹣a=(2﹣a)，
∵PD⊥PC，∴∠CPE+∠FPD=90°，∵∠CPE+∠PCE=90°，∴∠FPD=∠ECP，
∵∠CEP=∠PFD=90°，∴△CEP∽△PFD，∴=，
∴=，∴FD=，∴tan∠PDC===，∴∠PDC=60°，故③正确；
④∵B(2，2)，四边形OABC是矩形，∴OA=2，AB=2，
∵tan∠AOB==，∴∠AOB=30°，
当△ODP为等腰三角形时，
Ⅰ、OD=PD，∴∠DOP=∠DPO=30°，∴∠ODP=60°，∴∠ODC=60°，∴OD=OC=，
Ⅱ、OP=OD，∴∠ODP=∠OPD=75°，
∵∠COD=∠CPD=90°，∴∠OCP=105°＞90°，故不合题意舍去；
Ⅲ、OP=PD，
∴∠POD=∠PDO=30°，∴∠OCP=150°＞90°故不合题意舍去，
∴当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为(，0)．故④正确，
故选：D．
答案为：C．
解析：作CF⊥AB于点F.
设最下边的一排小正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于D、E，
∵DE∥AB，
∴=，即=，解得：DE=，而整数部分是4，
∴最下边一排是4个正方形．
第二排正方形的上边的边所在的直线与△ABC的边交于G、H．
则=，解得GH=，而整数部分是3，∴第二排是3个正方形；
同理：第三排是：3个；第四排是2个，第五排是1个，
第六排是1个，则正方形的个数是：4+3+3+2+1+1=14．
故选：C．
答案为：D.
B
解：当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
如图1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，∴∠AEP=∠ADP=90°，
∴∠AEP+∠ADP=180°，∴A、E、P、D四点共圆，且直径为AP，
在Rt△PDC中，∠C=45°，∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD=45°，
∴△APD也是等腰直角三角形，∴∠PAD=45°，∴∠PED=∠PAD=45°，∴∠AED=45°，
∴∠AED=∠C=45°，∵∠EAD=∠CAB，∴△AED∽△ACB，∴，
设AD=2x，则PD=DC=2x，AP=2x，
如图2，取AP的中点O，连接EO，则AO=OE=OP=x，
∵∠EAP=∠BAC﹣∠PAD=60°﹣45°=15°，∴∠EOP=2∠EAO=30°，
过E作EM⊥AP于M，则EM=x，cos30°=，
∴OM=x•=x，∴AM=x+x=x，
由勾股定理得：AE=，=，=（+1）x，
∴=，∴ED=．则线段DE的最小值为；故选B．
C
答案为：1：15.
答案为：①②④．
解析：①∵∠ABC=90°，D为斜边AC的中点，∴AD=BD=CD，
∵AF=CF，∴BF=CF，∴DE⊥BC，∴BE=CE，∵
∵BE⊥BD，∴BD2+BE2=DE2，∴CE2+AD2=DE2，故①正确；
②∵AB=4，BC=3，∴AC=，∴，
∵∠A=∠BDE，∠ABC=∠DBE=90°，∴△ABC∽△DBE，
∴，即．∴BE=，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD，
∵∠A=∠BDE，∠BDC=∠A+∠ABD，∴∠A=∠CDE，∴DE∥AB，∴DE⊥BC，
∵BD=CD，∴DE垂直平分BC，∴BE=CE，∴CE=，故②正确；
③∵∠ABC=∠DBE=90°，∴∠ABD=∠CBE，
∵，但随着F点运动，BE的长度会改变，而BC=3，
∴或不一定等于，∴△ABD和△CBE不一定相似，故③错误；
④∵∠A=30°，BC=3，∴∠A=∠ABD=∠CBE=30°，AC=2BC=6，
∴BD=，∵BC=3，∠BCE=90°，∴BE=，
∵∴，故④正确；
答案为：2．
解析：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，BC=AD=12，DC=AB=3，
∵E为AD中点，∴AE=DE=AD=6由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE=GE=6，∠AEF=∠GEF，∠EGF=∠EAF=90°=∠D，∴GE=DE，
∴EC平分∠DCG，∴∠DCE=∠GCE，
∵∠GEC=90°﹣∠GCE，∠DEC=90°﹣∠DCE，∴∠GEC=∠DEC，
∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=×180°=90°，∴∠FEC=∠D=90°，
又∵∠DCE=∠GCE，∴△FEC∽△EDC，
∴，∵EC===3，
∴，∴FE=2，故答案为：2．
答案为：20.
解析：在图中标上字母，如图所示．根据矩形的性质，可知：DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，∴ = ，∴BC= •DE= ×4=20cm．
答案为：113°或92° ．
答案为：1；
答案为：3；
答案为：(，)；
答案为：
答案为：4．
答案为：4.27米．
答案为：；
解：延长EF和BC，交于点G
∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=9，
∴直角三角形ABE中，BE==，
又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，∴∠BEG=∠DEF
∵AD∥BC∴∠G=∠DEF∴∠BEG=∠G∴BG=BE=
由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴
设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC
∵BG=BC+CG∴=9+2x+x解得x=∴BC=9+2（﹣3）=
答案为：80π﹣160；
答案为：或．
解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，
∵CF=2，AC=6，BC=8，∴AF=4，AB==10，∴=，
∴FM=3.2，∵PF=CF=2，∴PM=1.2∴点P到边AB距离的最小值是1.2．故答案为1.2．
解：∵ƒM、N是BD的三等分点，∴DN=NM=BM，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，
∴△BEM∽△CDM，∴，∴BE=CD，∴BE=AB，故①正确；
∵AB∥CD，∴△DFN∽△BEN，∴=，
∴DF=BE，∴DF=AB=CD，∴CF=3DF，故②错误；
∵BM=MN，CM=2EM，∴△BEM=S△EMN=S△CBE，
∵BE=CD，CF=CD，∴=，
∴S△EFC=S△CBE=S△MNE，∴S△ECF=，故③正确；
∵BM=NM，EM⊥BD，∴EB=EN，∴∠ENB=∠EBN，
∵CD∥AB，∴∠ABN=∠CDB，∵∠DNF=∠BNE，
∴∠CDN=∠DNF，∴△DFN是等腰三角形，故④正确；
故答案为：①③④．
答案为：0.25a2+5；(提示：连接DF、CF、过O作OM//AD)
答案为：19.2
答案为：(1)(2)(3)(5).
答案为：8；
证明：(1)∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△BCD∴
∴BD2=AD•CD
(2)∵BM∥CD∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∵BD2=AD•CD，且CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
∴BC2=BD2﹣CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28∴MC=2
∵BM∥CD∴△MNB∽△CND
∴，且MC=2
∴MN=
解：
（1）∵AD=BC=，∴==．
∵AC=1，∴CD==，∴；
（2）∵，∴，即，
又∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BDC，∴，
又∵AB=AC，∴BD=BC=AD，∴∠A=∠ABD，∠ABC=∠C=∠BDC．
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x，
∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x，
∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得：x=36°，∴∠ABD=36°．
(1)解：∵矩形ABCD中，AD∥CF，∴∠DAF=∠ACF，
∵AF平分∠DAC，∴∠DAF=∠CAF，∴∠FAC=∠AFC，∴AC=CF，
∵AB=4，BC=3，∴==5，∴CF=5，
∵AD∥CF，∴△ADE∽△FCE，
∴，设DE=x，则，解得x=∴；
(2)∵AD∥FH，AF∥DH，
∴四边形ADFH是平行四边形，
∴AD=FH=3，∴CH=2，BH=5，
∵AD∥BH，∴△ADG∽△HBG，
∴，∴，∴DG=，
∵DE=，∴=，∴EG∥BC，
∴∠1=∠AHC，
又∵DF∥AH，∴∠AHC=∠DFC，
∠1=∠DFC.
（1）证明：∵AD⊥BC于D，作DE⊥AC于E，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∵∠DAE=∠DAC，
∴△DAE∽△CAD，
∴=，
∴AD2=AC•AE，
∵AC=AB，
∴AD2=AB•AE．
（2）解：如图，连接DF．
∵AB=3，∠ADB=90°，BF=AF，∴DF=AB=，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC，∴DF∥AC，
∴===，∴=．
解：
（1）∵AB∥CG，∴∠ABF=∠G，
又∵∠ABF=∠ACF，∴∠ECF=∠G，
又∵∠CEF=∠CEG，∴△ECF∽△EGC，
∴ ，即 CE2=EF•EG；
（2）∵平行四边形 ABCD 中，AB=CD， 又∵DG=DC，
∴AB=CD=DG，∴AB：CG=1：2，
∵AB∥CG，∴ ，即 ，
∴EG=12，BG=18，
∵AB∥DG，∴ ，∴BF= BG=9，
∴EF=BF﹣BE=9﹣6=3．
解：
解：
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