江西省奉新县第一中学2021届高三上学期第一次月考 数学（理）（含答案） 试卷
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数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意.）
1.集合A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{9，a－5，1－a}，若A∩B＝{9}，则a＝( )
A．－3 B．3或－3 C．3 D．3或－3或5
2.f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数
3.如图，阴影部分的面积是( )
A．2 B．－2 C. D.
4.已知圆O：与y轴正半轴的交点为，点沿圆O顺时针运动弧长达到点N，以X轴的正半轴为始边，ON为终边的角记为，则（ ）
A． B． C． D.
5.已知命题p：∃x∈R，，命题q：∀x∈(0，π)，sinx＋>2，则下列判断正确的是( )
A．p∨q是假命题 B．p∧q是真命题
C．p∧(q)是真命题 D．p∨(q)是假命题
6.现有四个函数①y＝x·sinx，②y＝x·cosx，③y＝x·|cosx|，④y＝x·2x的部分图像如下，但顺序被打乱，则按照图像从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是( )
A．①④②③ B．①④③② C．④①②③ D．③④②①
7.曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为( )
A．－ B. C．－ D.
8.已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，下列四个选项一定正确的是( )
A．f(x－1)＋1是偶函数 B．f(x－1)－1是奇函数
C．f(x＋1)－1是奇函数 D．f(x＋1)＋1是偶函数
9.函数f (x)＝3sinx－logx的零点的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
10.已知tanα，tanβ是方程＋3x＋4＝0的两根．若α，β∈(－，)，则α＋β＝( )
A. B.或－π C．－或π D．－π
11.[x]表示不超过x的最大整数，已知函数f(x)＝|x|－[x]，有下列结论：
①f(x)的定义域为R； ②f(x)的值域为[0，1]； ③f(x)是偶函数；
④f(x)不是周期函数； ⑤f(x)的单调增区间为(k，k＋1)(k∈N)．
其中正确的个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
12.若函数在区间(1,2]上不单调，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.函数f(x)＝ln(－2x－3)的单调递减区间为______________
14.若α，β均为锐角且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则＝__________
- ＝______________
16.若函数f(x)＝＋b＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，则2b＋c的最大值为_______________
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）
已知p：，q：(m>0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0x1时有最大值2，求a的值．
19.（本题满分12分）
设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
20.（本题满分12分）
已知函数的周期为，其图象上的一个最高点为.
（1）求函数的解析式
（2）当时，求函数的最值及相应的值
21.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a时，f(x)0.
22.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝xln x，g(x) ＝.
(1)求f(x)的最小值；
(2)对任意x∈(0，＋∞)，f(x)g(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
2021届高三上学期第一次月考数学（理）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）
ACDBC ABCDD AC
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.(－∞，－1) 14. 15.2 16.-9
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出证明过程或演算步骤.）
17.（本题满分10分）
已知p：，q：(m>0)，若¬p是¬q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析] ∵“¬p是¬q必要不充分条件”的等价命题是：p是q的充分不必要条件．
设p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．
∵p是q的充分不必要条件，∴AB.
∴(两个等号不能同时取到)，∴m≥9.
18. （本题满分12分）
已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值．
[解析] 当对称轴x＝a<0时，如图1所示．
当x＝0时，y有最大值，ymax＝f(0)＝1－a.
∴1－a＝2，即a＝－1，且满足a<0，∴a＝－1.
图1 图2
当0≤a≤1时，如图2所示．
即当x＝a时，y有最大值，ymax＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a＝a2－a＋1.
∴a2－a＋1＝2，解得a＝.
∵0≤a≤1，∴a＝舍去．
当a>1，如图3所示．
图3
由图可知，当x＝1时y有最大值，
ymax＝f(1)＝2a－a＝2，∴a＝2，且满足a>1，∴a＝2.
综上可知，a的值为－1或2.
19.（本题满分12分）
设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.
∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.
(2)∵f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞；f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值．∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图1所示．∴a＋2＝0，即a＝－2.
当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图2所示．∴a－2＝0，即a＝2.
综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．
20.（本题满分12分）
已知函数的周期为，其图象上的一个最高点为.
（1）求函数的解析式
（2）当时，求函数的最值及相应的值
21.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝aex－ln x－1.
(1)设x＝2是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间；
(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.
(1)解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.
由题设知，f′(2)＝0，所以a＝.
从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－.
当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．
(2)证明：当a≥时，f(x)≥－ln x－1.
设g(x)＝－ln x－1，则g′(x)＝－.
当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0.
所以x＝1是g(x)的最小值点．故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0.
因此，当a≥时，f(x)≥0.
22.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝xln x，g(x) ＝.
(1)求f(x)的最小值；
(2)对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)都有恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
(1)解：由题意，得f′(x)＝ln x＋1，
令f′(x)＝0，∴x＝.
∵当x∈时，f′(x)<0，∴f(x)在上单调递减；
∵当x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)在上单调递增．∴函数f(x)的最小值为f＝－.
(2)解：∵x>0，
∴问题等价于a≤＝2ln x＋x＋在x∈(0，＋∞)上恒成立，
记t(x)＝2ln x＋x＋，则a≤[t(x)]min，
∵t′(x)＝＋1－＝，
令t′(x)＝0，得x＝1或x＝－3(舍)．
∵x∈(0,1)时，t′(x)<0，∴函数t(x)在(0,1)上单调递减；
∵x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，
∴函数t(x)在(1，＋∞)上单调递增．
∴[t(x)]min＝t(1)＝4，即a≤4，
即实数a的取值范围为(－∞，4]．
(3)证明：问题等价于证明xln x>－，x∈(0，＋∞)，
由(1)知，f(x)＝xln x的最小值f＝－ ，
设φ(x)＝－，x∈(0，＋∞)，则φ′(x)＝，
令φ′(x)＝0，得x＝1.
∵x∈(0,1)时，φ′(x)>0，∴函数φ(x)在(0,1)上单调递增；
∵x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，∴函数φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴[φ(x)]max＝φ(1)＝－，因此xln x≥－≥－.
又两个等号不能同时取得，
∴xln x>－，即对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立．
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