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2020新课标高考数学二轮讲义：第三部分回顾3三角函数与平面向量
展开回顾3 三角函数与平面向量
[必记知识]
1．诱导公式
公式 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ＋α(k∈Z) | π＋α | －α | π－α | －α | ＋α |
正弦 | sin α | －sin α | －sin α | sin α | cos α | cos α |
余弦 | cos α | －cos α | cos α | －cos α | sin α | －sin α |
正切 | tan α | tan α | －tan α | －tan α |
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口诀 | 函数名不变，符号看象限 | 函数名改变，符号看象限 | ||||
[提醒] 奇变偶不变，符号看象限,“奇、偶”指的是的倍数是奇数，还是偶数，“变与不变”指的是三角函数名称的变化，“变”是指正弦变余弦（或余弦变正弦）.“符号看象限”的含义是：把角α看作锐角，看n·±α（n∈Z）是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号.
2．三种三角函数的性质
函数 | y＝sin x | y＝cos x | y＝tan x |
图象 | |||
单调性 | 在(k∈Z)上单调递增； 在(k∈Z)上单调递减 | 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减 | 在(k∈Z)上单调递增 |
对称性 | 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝＋kπ(k∈Z) | 对称中心：(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z) | 对称中心：(k∈Z) |
[提醒] 求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意A与ω的符号，当ω＜0时，需把ω的符号化为正值后求解.
3．三角函数图象的变换
由函数y＝sin x的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的两种方法
[提醒] 图象变换的实质是点的坐标的变换，所以三角函数图象的伸缩、平移变换可以利用两个函数图象上的特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取离y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点左侧或右侧的第一个对称中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的单位与方向等.)
4．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
tan(α±β)＝.
sin(α＋β)sin(α－β)＝sin2α－sin2β(平方正弦公式)．
cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2α－sin2β.
5．二倍角、辅助角及半角公式
(1)二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝.
①1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2.
②1－sin 2α＝(sin α－cos α)2.
(2)辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝sin(x＋φ)，其中角φ的终边所在象限由a，b的符号确定，角φ的值由tan φ＝(a≠0)确定．
6．正、余弦定理及其变形
定理 | 正弦定理 | 余弦定理 |
内容 | ＝＝＝2R | a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C |
变形 | (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； (5)＝＝2R | cos A＝ ； cos B＝ ； cos C＝ |
[提醒] 在已知两边和其中一边的对角时，要注意检验解是否满足“大边对大角”，避免增解.
7．平面向量数量积的坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．
结论 | 几何表示 | 坐标表示 |
模 | |a|＝ | |a|＝ |
数量积 | a·b＝|a||b|cos θ | a·b＝x1x2＋y1y2 |
夹角 | cos θ＝ | cos θ＝ |
a⊥b的充要条件 | a·b＝0 | x1x2＋y1y2＝0 |
|a·b|与|a||b|的关系 | |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) | |x1x2＋y1y2|≤· |
[提醒] (1)要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行.
(2)a·b＞0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；,a·b＜0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件.
[必会结论]
1．降幂、升幂公式
(1)降幂公式
①sin2α＝；②cos2α＝；③sin αcos α＝sin 2α.
(2)升幂公式
①1＋cos α＝2cos2；②1－cos α＝2sin2；③1＋sin α＝；④1－sin α＝.
2．常见的辅助角结论
(1)sin x±cos x＝sin.
(2)cos x±sin x＝cos.
(3)sin x±cos x＝2sin.
(4)cos x±sin x＝2cos.
(5)sin x±cos x＝2sin.
(6)cos x±sin x＝2cos.
[必练习题]
1．已知tan α＝3，则的值为( )
A．－ B．－3
C． D．3
解析：选A.＝＝－＝－.
2．已知x∈(0，π)，且cos＝sin2x，则tan等于( )
A． B．－
C．3 D．－3
解析：选A.由cos＝sin2x得sin 2x＝sin2x，因为x∈(0，π)，所以tan x＝2，所以tan＝＝.
3．函数y＝cos 2x＋2sin x的最大值为( )
A． B．1
C． D．2
解析：选C.y＝cos 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.
设t＝sin x(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2＋，所以当t＝时，函数取得最大值.
4．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f的值为( )
A．2 B．
C．－ D．－
解析：选D.依题意得f′(x)＝Aωcos(ωx＋φ)，结合函数y＝f′(x)的图象可知，T＝＝4＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A＝.因为0＜φ＜π，＜＋φ＜，且f′＝cos＝－1，所以＋φ＝π，所以φ＝，f(x)＝sin，f＝sin＝－×＝－，故选D.
5．已知x＝是函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(0＜φ＜x)图象的一条对称轴，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)在上的最小值为( )
A．－2 B．－1
C．－ D．－
解析：选B.因为x＝是f(x)＝2sin图象的一条对称轴，所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为0＜φ＜π，所以φ＝，则f(x)＝2sin，所以g(x)＝－2sin在上的最小值为g＝－1.
6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆面积为( )
A．4π B．8π
C．9π D．36π
解析：选C.由题意知c＝bcos A＋acos B＝2，由cos C＝得sin C＝，再由正弦定理可得2R＝＝6，所以△ABC的外接圆面积为πR2＝9π，故选C.
7．已知非零单位向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则a与b－a的夹角可能是( )
A． B．
C． D．
解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，而a·(b－a)＝a·b－a2＝－|a|2＜0，即a与b－a的夹角为钝角，故选D.
8．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________．
解析：a＋2b＝(－3，3＋2k)，3a－b＝(5，9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.
答案：－6
9．已知向量a＝(1，0)，|b|＝，a与b的夹角为45°，若c＝a＋b，d＝a－b，则c在d方向上的投影为________．
解析：依题意得|a|＝1，a·b＝1××cos 45°＝1，|d|＝＝＝1，c·d＝a2－b2＝－1，因此c在d方向上的投影等于＝－1.
答案：－1
10．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，A，B是函数y＝f(x)图象上相邻的最高点和最低点，若|AB|＝2，则f(1)＝________．
解析：设f(x)的最小正周期为T，则由题意，得＝2，解得T＝4，所以ω＝＝＝，所以f(x)＝sin，所以f(1)＝sin＝sin ＝.
答案：
11．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，则＝______．
解析：依题意得，bcsin A＝c＝，则c＝4.由余弦定理得a＝＝，因此＝＝.由正弦定理得＝.
答案：
