2020浙江高考数学二轮讲义：抢分攻略一　考前必明的4大数学思想



抢分攻略一　考前必明的4大数学思想
一　函数与方程思想
函数思想
方程思想
函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想
方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得到解决的思想
函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系
应用一　函数与方程思想在不等式中的应用
[典型例题]
设不等式2x－1>m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m都成立，则x的取值范围为________．
【解析】　问题可以变成关于m的不等式
(x2－1)m－(2x－1)，令f′(n)0)经过点，离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设点A，F分别为椭圆的右顶点、右焦点，经过点F作直线交椭圆E于C，D两点，求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点)．
【解】　(1)由题设得解得
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)设直线CD的方程为x＝ky＋1，C(x1，y1)，D(x2，y2)，与椭圆方程＋＝1联立得(3k2＋4)y2＋6ky－9＝0.
所以y1＋y2＝－，y1y2＝－.
所以S四边形OCAD＝S△OCA＋S△ODA
＝×2×|y1|＋×2×|y2|
＝|y1－y2|
＝
＝
＝
＝(其中t＝，t≥1)．
因为当t≥1时，y＝3t＋单调递增，所以3t＋≥4，所以S四边形OCAD≤3(当k＝0时取等号)，即四边形OCAD面积的最大值为3.

几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法．　
[对点训练]
设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．若＝6，求k的值．
解：依题意得椭圆的方程为＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k>0)．
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10.
当q≠1时，Sn＝>0，
即>0(n＝1，2，3，…)，
则有①或②
由①得－10，得q的范围，这种解答是不完备的．本题根据等比数列前n项和公式的使用就要分q＝1，Sn＝na1和q≠1，Sn＝进行讨论．　
[对点训练]
1．一条直线过点(5，2)，且在x轴，y轴上的截距相等，则这条直线的方程为(　　)
A．x＋y－7＝0
B．2x－5y＝0
C．x＋y－7＝0或2x－5y＝0
D．x＋y＋7＝0或2y－5x＝0
解析：选C.设该直线在x轴，y轴上的截距均为a，当a＝0时，直线过原点，此时直线方程为y＝x，即2x－5y＝0；当a≠0时，设直线方程为＋＝1，则求得a＝7，直线方程为x＋y－7＝0.
2．若函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________．
解析：若a>1，则a2＝4，a－1＝m，故a＝2，m＝，此时g(x)＝－，为减函数，不合题意；若00时，由f′(x)＝0得x＝－ln a，
若x∈(－∞，－ln a)，则f′(x)>0；
若x∈(－ln a，＋∞)，则f′(x)0，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递增．
当x>0时，1－e2x0)的焦点F，作一直线交抛物线于P，Q两点．若线段PF与FQ的长度分别为p，q，则＋等于(　　)
A．2a　　　　　 　　　　　 B.
C．4a D.
(2)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．
【解析】　(1)抛物线y＝ax2(a>0)的标准方程为x2＝y(a>0)，焦点F.
过焦点F作直线垂直于y轴，则|PF|＝|QF|＝，
所以＋＝4a.
(2)由题意，不妨设b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)，
则a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ)，
令y＝|a＋b|＋|a－b|
＝＋
＝＋，
则y2＝10＋2∈[16，20]．
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝＝2，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是4，最大值是2.
【答案】　(1)C　(2)4　2

(1)一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果．
(2)对于某些选择题、填空题，如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．　
[对点训练]
已知函数f(x)＝(a－3)x－ax3在[－1，1]上的最小值为－3，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]　　　　　　　　 B．[12，＋∞)
C．[－1，12] D.
解析：选D.当a＝0时，函数f(x)＝－3x，x∈[－1，1]，显然满足条件，故排除A、B；
(注意，对于特殊值的选取，越简单越好，0，1往往是首选．)
当a＝－时，函数f(x)＝x3－x，
f′(x)＝x2－＝(x2－1)，
当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)min＝f(1)＝－＝－3，满足条件，故排除C.
综上，选D.
应用二　正与反的相互转化
[典型例题]
若对于任意t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2－2x在区间(t，3)上总不为单调函数，则实数m的取值范围是________．
【解析】　由题意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t，3)上总为单调函数，则①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立．
由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x在x∈(t，3)上恒成立，所以m＋4≥－3t恒成立，则m＋4≥－1，即m≥－5；
由②得m＋4≤－3x在x∈(t，3)上恒成立，
则m＋4≤－9，即m≤－.
所以函数g(x)在区间(t，3)上总不为单调函数的m的取值范围为－0，则⇒⇒p≤－3或p≥，故实数满足条件的p的取值范围为.
答案：
应用三　常量与变量的相互转化
[典型例题]
已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对任意a∈[－1，1]，都有g(x)ln ＝－1，h(4)＝ln 4－3＝ln0对x∈(0，＋∞)恒成立，所以a2－2a＋1