2020浙江高考数学二轮讲义：专题一第1讲　集合、常用逻辑用语



第1讲　集合、常用逻辑用语

集合的概念及运算
[核心提炼]
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
[典型例题]
(1)(2018·高考浙江卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，则∁UA＝(　　)
A．∅ B．{1，3}
C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5}
(2)(2019·高考浙江卷)已知全集U＝{－1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，则∩B＝(　　)
A．{－1} B．{0，1}
C．{－1，2，3} D．{－1，0，1，3}
(3)(2019·金华模拟)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，则S∩(∁UT)＝________，集合S共有________个子集．
【解析】　(1)因为U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，
所以∁UA＝{2，4，5}，故选C.
(2)由题意可得∁UA＝{－1，3}，则(∁UA)∩B＝{－1}．故选A.
(3)集合U＝{1，2，3，4，5，6}，
S＝{1，2，5}，T＝{2，3，6}，
所以∁UT＝{1，4，5}，
所以S∩(∁UT)＝{1，5}，
S＝{1，2，5}的子集的个数为23＝8.
【答案】　(1)C　(2)A　(3){1，5}　8

集合的运算与不等式相结合问题求解策略
解决此类问题的思路主要有两个：一是直接法，即先化简后运算，也就是先解不等式求出对应集合，然后利用数轴表示，从而求得集合运算的结果；二是间接法，由于此类问题多以选择题的形式进行考查，故可根据选项的差异性选取特殊元素进行验证，排除干扰项从而得到正确选项．　
[对点训练]
1．(2019·宁波市高考模拟)已知全集U＝A∪B＝，A∩(∁UB)＝，则B＝(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.因为U＝A∪B＝，
又因为A∩(∁UB)＝，
所以B＝，故选C.
2．(2019·温州二模)已知集合A＝{x||x－1|≤2}，B＝{x|04，所以必要性不成立．所以“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．故选A.
优解：在同一直角坐标系内作出函数b＝4－a，b＝的图象，如图所示，则不等式a＋b≤4与ab≤4表示的平面区域分别是直线a＋b＝4及其左下方(第一象限中的部分)与曲线b＝及其左下方(第一象限中的部分)，易知当a＋b≤4成立时，ab≤4成立，而当ab≤4成立时，a＋b≤4不一定成立．故选A.

(2)若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．故选A.
【答案】　(1)A　(2)A

判断充分、必要条件时应关注的三点
(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
(3)要注意转化：¬p是¬q的必要不充分条件⇔p是q的充分不必要条件；¬p是¬q的充要条件⇔p是q的充要条件．　
[对点训练]
1．已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4 ＋ S6＞2S5”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为{an}为等差数列，所以S4＋S6＝4a1＋6d＋6a1＋15d＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d，S4＋S6－2S5＝d，所以d>0⇔S4＋S6>2S5，故选C.
2．(2019·高三“吴越联盟”)已知a，b∈R，则使|a|＋|b|>4成立的一个充分不必要条件是(　　)
A．|a|＋|b|≥4　　　　　　　 B．|a|≥4
C．|a|≥2且|b|≥2 D．b4得不到by”，分析可知选项B为真命题；对于选项C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故选项C为假命题；对于选项D，命题“若tan x＝，则x＝”的逆否命题为“若x≠，则tan x≠”，易知当x＝时，tan x＝，故选项D为假命题．综上可知，选B.
9．(2019·浙江五校联考模拟)已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题不正确的是(　　)

A．平面ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的体积不变
C．与所有12条棱都相切的球的体积为π
D．M是正方体的内切球的球面上任意一点，N是△AB1C外接圆的圆周上任意一点，则|MN|的最小值是
解析：选D.A.因为AB1∥DC1，AC∥A1C1，
且AC∩AB1＝A，
所以平面ACB1∥平面A1C1D，
正方体的体对角线BD1＝，
设B到平面ACB1的距离为h，
则VB­AB1C＝××1×1×1＝××××h，即h＝，
则平面ACB1与平面A1C1D的距离d＝－2h＝－2×＝，故A正确．
B．点P在线段AB上运动，则四面体PA1B1C1的高为1，底面积不变，则体积不变，故B正确，
C．与所有12条棱都相切的球的直径2R等于面的对角线B1C＝，则2R＝，R＝，则球的体积V＝πR3＝×π×()3＝π，故C正确．
D．设正方体的内切球的球心为O，正方体的外接球的球心为O′，
则三角形ACB1的外接圆是正方体的外接球O′的一个小圆，
因为点M在正方体的内切球的球面上运动，点N在三角形ACB1的外接圆上运动，
所以线段MN长度的最小值是正方体的外接球的半径减去正方体的内切球的半径，
因为正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，
所以线段MN长度的最小值是－.故D错误．故选D.
10．设A是自然数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k2∉A，且∉A，那么k是A的一个“酷元”，给定S＝{x∈N|y＝lg(36－x2)}，设M⊆S，集合M中有两个元素，且这两个元素都是M的“酷元”，那么这样的集合M有(　　)
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
解析：选C.由36－x2>0可解得－6