2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题七第6讲　概率、随机变量与期望

第6讲　概率、随机变量与期望

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1．离散型随机变量及其概率分布的表示

(1)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量；

(2)离散型随机变量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；

性质：①pi≥0(i＝1，2，3，…，n)；

②p1＋p2＋p3＋…＋pn＝1．

2．特殊的概率分布列

(1)0－1分布(两点分布)符号表示：X～0－1分布；

(2)超几何分布：①符号表示：X～H(n，M，N)；

②概率分布列：X～H(r；n，M，N)＝P(X＝r)

＝；

(3)二项分布(又叫独立重复试验，伯努利试验)：

①符号表示：X～B(n，p)；

②概率分布列：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k．

注意：P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋…＋P(X＝r)＋…＋P(X＝n)＝1．

3．随机变量的均值(期望)：E(X)＝ipi．

互斥事件、相互独立事件的概率

[典型例题]

盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．

(1)从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；

 (2)从盒中一次随机取出 4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量X表示x1，x2，x3中的最大数，求X的概率分布．

【解】　(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球，

所以P＝＝＝．

(2)随机变量X所有可能的取值为2，3，4．

{X＝4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”，

故P(X＝4)＝＝；

{X＝3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球，或3个黄球和1个其他颜色的球”，

故P(X＝3)＝＝＝；

于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－－＝．

所以随机变量X的概率分布如下表：

对于求较复杂事件的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率．

[对点训练]

1．(2019·盐城市高三模拟)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．

(1)求第3局甲当裁判的概率；

(2)记前4局中乙当裁判的次数为X，求X的概率分布．

[解] (1)第2局中可能是乙当裁判，其概率为，也可能是丙当裁判，其概率为，

所以第3局甲当裁判的概率为

×＋×＝．

(2)X可能的取值为0，1，2．

P(X＝0)＝××＝；

P(X＝1)＝×＋×＋××＝；

P(X＝2)＝×＝．

X的概率分布为

离散型随机变量的分布列与数学期望

[典型例题]

(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，设点集An＝{(0，0)，(1，0)，(2，0)，…，(n，0)}，Bn＝{(0，1)，(n，1)}，Cn＝{(0，2)，(1，2)，(2，2)，…，(n，2)}，n∈N*．令Mn＝An∪Bn∪Cn．从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．

(1)当n＝1时，求X的概率分布；

(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示)．

【解】　(1)当n＝1时，X的所有可能取值是1，，2，．

X的概率分布为P(X＝1)＝＝，P(X＝)＝＝，

P(X＝2)＝＝，P(X＝)＝＝．

(2)设A(a，b)和B(c，d)是从Mn中取出的两个点．

因为P(X≤n)＝1－P(X>n)，所以仅需考虑X>n的情况．

①若b＝d，则AB≤n，不存在X>n的取法；

②若b＝0，d＝1，则AB＝≤，所以X>n当且仅当AB＝，此时a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2种取法；

③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，因为当n≥3时，≤n，所以X>n当且仅当AB＝，此时a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2种取法；

④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X>n当且仅当AB＝，此时a＝0，c＝n或a＝n，c＝0，有2种取法．

综上，当X>n时，X的所有可能取值是和，且P(X＝)＝，P(X＝)＝．

因此，P(X≤n)＝1－P(X＝)－P(X＝)＝1－．

求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出概率分布，根据数学期望和方差的公式计算．解题关键要能分清楚概型，正确使用好排列、组合工具，求出相应的概率，尤其要揭示问题中的隐含条件，灵活运用“正难则反”的思想方法．

[对点训练]

2．已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m，n∈N*，n≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m＋n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k＝1，2，3，…，m＋n)．

(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

(2)随机变量Χ表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(Χ)是Χ的数学期望，证明：E(Χ)<

[解] (1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p为：

p＝＝．

(2)证明：随机变量X的概率分布为：

随机变量X的期望为：

E(X)＝·＝·．

所以E(X)<＝

＝

＝

＝

＝…＝

＝＝，

即E(X)<．

1．(2019·苏北四市模拟)某校开设8门课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．

(1)求某同学至少选修1门自然科学课程的概率；

(2)已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，通过自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立．用ξ表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量ξ的概率分布和数学期望．

[解] (1) 记“某同学至少选修1门自然科学课程”为事件A，

则P(A)＝1－＝1－＝，

所以该同学至少选修1门自然科学课程的概率为．

(2)随机变量ξ的所有可能取值有0，1，2，3．

因为P(ξ＝0)＝×＝，

P(ξ＝1)＝×＋×C××＝，

P(ξ＝2)＝×C××＋×＝，

P(ξ＝3)＝×＝，

所以ξ的概率分布为

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2．3．

2．(2019·扬州期末检测)射击测试有两种方案．方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击．某射手命中甲靶的概率为，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一次得2分．若没有命中则得0分．用随机变量ξ表示该射手一次测试累积得分，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立．

(1)如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得总分ξ的概率分布和数学期望E(ξ)；

(2)该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由．

[解] 在甲靶射击命中记作A，不中记作；在乙靶射击命中记作B，不中记作，

其中P(A)＝，P()＝1－＝，P(B)＝，P()＝1－＝．

(1)ξ的所有可能取值为0，2，3，4，则

P(ξ＝0)＝P(  )＝P()P()P()＝××＝，

P(ξ＝2)＝P(B)＋P( B)＝P()P(B)P()＋P()P()P(B)＝××＋××＝，

P(ξ＝3)＝P(A)＝，

P(ξ＝4)＝P(BB)＝P()P(B)P(B)＝××＝．

ξ的概率分布为

E(ξ)＝0×＋2×＋3×＋4×＝3．

(2)设该射手选择方案1通过测试的概率为P1，选择方案2通过测试的概率为P2，

P1＝P(ξ≥3)＝＋＝；

P2＝P(ξ≥3)＝P(BB)＋P(BB)＋P(BB)＝××＋××＋×＝，

因为P1＞P2，所以应选择方案1通过测试的概率更大．

3．(2019·江苏高考信息卷)从某4S店前3个季度已卖出的轿车中随机抽取20辆进行价格(单位：万元)方面的调查，获得的所有样本数据按照区间[5，10]，(10，15]，(15，20]，(20，25]，(25，30]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)若将频率视为概率，从这20辆轿车中有放回地随机抽取3辆，求至少有1辆轿车的价格在区间(15，20]内的概率；

(2)若将价格在区间(20，30]内的轿车定义为中高档轿车，其余为非中高档轿车，从这20辆轿车中任选2辆，记ξ为选到中高档轿车的辆数，求ξ的概率分布及数学期望．

[解] (1)根据频率分布直方图可知(0．02＋0．03＋0．04＋0．05＋m)×5＝1，

解得m＝0．06．

轿车价格在区间(15，20]内的概率为0．06×5＝0．3，从这20辆轿车中有放回地随机抽取3辆，可以看作是3次独立重复试验，故至少有1辆轿车的价格在区间(15，20]内的概率为1－C×0．30×0．73＝1－0．343＝0．657．

(2)这20辆轿车中，非中高档轿车有20×0．75＝15辆，

中高档轿车有20×0．25＝5辆．

ξ的所有可能取值为0，1，2．

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝．

ξ的概率分布为

数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝＝．

4．(2019·无锡市高三模拟)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，a，a(0<a<1)，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．

(1)求ξ的概率分布及数学期望；

(2)在概率P(ξ＝i)(i＝0，1，2，3)中，若P(ξ＝1)的值最大，求实数a的取值范围．

[解] (1)P(ξ)是“ξ个人命中，(3－ξ)个人未命中”的概率，其中ξ的可能取值为0，1，2，3．

P(ξ＝0)＝CC(1－a)2＝(1－a)2，

P(ξ＝1)＝C×C(1－a)2＋C×Ca(1－a)＝(1－a2)，

P(ξ＝2)＝C×Ca(1－a)＋C×Ca2

＝(2a－a2)，

P(ξ＝3)＝C×Ca2＝．

所以ξ的概率分布为

ξ的数学期望为E(ξ)＝0×(1－a)2＋1×(1－a2)＋2×(2a－a2)＋3×＝．

(2)P(ξ＝1)－P(ξ＝0)＝[(1－a2)－(1－a)2]＝a(1－a)，

P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝[(1－a2)－(2a－a2)]＝，

P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝[(1－a2)－a2]＝．

由和0<a<1，得0<a≤，

即a的取值范围是(0，]．