2020届高考数学二轮教师用书：层级二专题二第1讲　三角函数的图象与性质

第1讲　三角函数的图象与性质[考情考向·高考导航]1．高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．2．主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)A.　　　        B.　　　　     C.　　　　     D．1解析：B　[∵cos 2α＝cos2α－sin2 α＝＝＝，∴tan2 α＝，∴tan α＝±，当tan α＝时，a＝＝，∴a＝，b＝，∴|a－b|＝；当tan α＝－时，a＝＝－，∴a＝－，b＝－，∴|a－b|＝.]2．(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝cos，则下列结论错误的是(　　)A．f(x)的一个周期为－2πB．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称C．f(x＋π)的一个零点为x＝D．f(x)在单调递减解析：D　[当x∈时，x＋∈，函数在该区间内不单调．本题选择D选项．]3．(2019·全国Ⅱ卷)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0) 两个相邻的极值点，则ω＝(　　)A．2                B.               C．1                 D.解析：A　[由正弦函数图象可知＝x2－x1＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝＝2.]4．(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)A．－2  B．－C.  D．2解析：C　[在x＝0处有定义的奇函数必有f(0)＝0.f(x)为奇函数，可知f(0)＝Asin φ＝0，由|φ|＜π可得φ＝0；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得g(x)＝Asinωx，由g(x)的最小正周期为2π可得ω＝2，由g＝，可得A＝2，所以f(x)＝2sin 2x，f＝2sin＝.故选C.][主干整合]1．三角函数的图象及性质函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象单调性在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增，在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上都是增函数对称中心坐标(kπ，0)，k∈Z(kπ＋，0)，k∈Z(，0)k∈Z对称轴方程渐近线x＝kπ＋，k∈Zx＝kπ，k∈Zx＝kπ＋(k∈Z)2.三角函数图象的两种变换方法热点一　三角函数的定义、诱导公式及基本关系[题组突破]1．(2020·资阳模拟)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，则tan等于(　　)A．－7　　　　　　　　　　 B．－C.  D．7解析：A　[由角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，可得x＝2，y＝1，tan α＝＝，∴tan 2α＝＝＝，∴tan＝＝＝－7.]2．(2020·衡水调研卷)已知sin (3π＋α)＝2sin，则等于(　　)A.   B.C.  D．－解析：D　[∵sin(3π＋α)＝2sin，∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，则＝＝＝＝－.]3．(2020·衡水信息卷)已知曲线f(x)＝x3－2x2－x在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则cos2－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)的值为(　　)A.  B．－C.  D．－解析：A　[由f(x)＝x3－2x2－x可知f′(x)＝3x2－4x－1，∴tan α＝f′(1)＝－2，cos2－2cos2α－3sin(2π－α)cos(π＋α)＝(－sin α)2－2cos2α－3sin αcos α＝sin2α－2cos2α－3sin αcos α＝＝＝＝.]　(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．    热点二　三角函数的图象及应用直观想象素养直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题．主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思想.[例1]　(1)(2020·东营模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cos ωx的图象，只要将y＝f(x)的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度[解析]　A　[由题意知，函数f(x)的最小正周期T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin，g(x)＝cos 2x，把g(x)＝cos 2x变形得g(x)＝sin＝sin，所以只要将f(x)的图象向左平移个单位长度，即可得到g(x)＝cos 2x的图象，故选A.](2)(2020·厦门模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间上的值域为[－1,2]，则θ＝________.[解析]　由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则A＝2，＝－＝，解得T＝π，所以ω＝2，即f(x)＝2sin(2x＋φ)，当x＝时，f＝2sin＝0，又|φ|＜π，解得φ＝－，所以f(x)＝2sin，因为函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，所以g(x)＝2sin＝2cos 2x，若函数g(x)在上的值域为[－1,2]，则2cos 2θ＝－1即θ＝kπ＋，k∈Z或θ＝kπ＋，k∈Z，故θ＝.[答案]　(1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(1)(2020·杭州模拟)已知函数f(x)＝cos－cos 2x，若要得到一个奇函数的图象，则可以将函数f(x)的图象(　　)A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度解析：C　[f(x)＝cos－cos 2x＝cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin＝2sin 2，所以将f(x)的图象向左平移个单位长度可得到奇函数y＝2sin 2x的图象，故选C.](2)(2019·哈尔滨三模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，已知点A(0，)，B，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为(　　)A．x＝  B．x＝C．x＝  D．x＝解析：A　[∵f(0)＝2sin φ＝，∴sin φ＝，又|φ|＜π，∴φ＝或，又f＝2sin＝0，∴＋φ＝kπ(k∈Z)，∴ω＝×＝6k－2(k∈Z)，或ω＝×＝6k－4(k∈Z)，又ω＞0，且＝＝＞，∴ω＜3，∴ω＝2，φ＝，∴f(x)＝2sin，将其图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，∴g(x)＝2sin＝2sin，g(x)图象的对称轴方程满足2x＋＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)，故选A.]热点三　三角函数的性质及应用[例2]　(1)(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)A．f(x)＝|cos 2x|　　　 　 B．f(x)＝|sin 2x|C．f(x)＝cos|x|  D．f(x)＝sin|x|[解析]　A　[作出函数f(x)＝|cos 2x|的图象，如图．由图象可知f(x)＝|cos 2x|的周期为，在区间上单调递增．同理可得f(x)＝|sin 2x|的周期为，在区间上单调递减，f(x)＝cos|x|的周期为2π.f(x)＝sin|x|不是周期函数，排除B，C，D.故选A.](2)(2019·保定三模)已知函数f(x)＝2cos(ω＞0)满足：f＝f，且在区间内有最大值但没有最小值．给出下列四个命题：p1：f(x)在区间[0,2π]上单调递减；p2：f(x)在最小正周期是4π；p3：f(x)的图象关于直线x＝对称；p4：f(x)的图象关于点对称．其中的真命题是(　　)A．p1，p2  B．p1，p3C．p2，p4  D．p3，p4[解析]　C　[由题意得，当x＝＝时，f(x)取得最大值，则cos＝1，＋＝2kπ，ω＝(k∈N*)，又易知T＝≥－＝2π，0＜ω≤1，所以k＝1，ω＝，f(x)＝2cos.故f(x)的最小正周期T＝＝4π，p2是真命题，又f＝0，因此f(x)的图象关于点对称，p4是真命题．故选C.](3)(2019·唐山调研)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．[解析]　∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.[答案]　π求解函数y＝Asin(ωx＋φ)性质的三种意识(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．(2)整体意识：类比y＝sin x的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”，采用整体代入的方法求解．①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程．②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标．③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论．(1)(2020·长沙模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)＋1，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为，且f(x)的图象关于点对称，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z解析：B　[(1)本题考查三角函数的图象和性质．由f(α)＝－1，f(β)＝1可知f(x)的图象关于直线x＝α对称，关于点(β，1)对称，所以最小正周期T＝4|α－β|min＝3π＝，则ω＝，又f＝2sin＋1＝1，则sin＝0，又|φ|＜，则φ＝－，则f(x)＝2sin＋1，由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z，故选B.](2)(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数　②f(x)在区间单调递增　③f(x)在[－π，π]有4个零点　④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是(　　)A．①②④  B．②④C．①④  D．①③解析：C　[∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|，∴f(x)是偶函数，①对；f(x)在区间上单调递减，②错；f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错；f(x)的最大值为2，④对．故选C.](3)(多选题)关于函数f(x)＝2sin ＋1，下列叙述正确的是(　　)A．其图象关于直线x＝对称B．其图象可由y＝2sin ＋1图象上所有点的横坐标变为原来的得到C．其图象关于点对称D．其值域[－1,3]解析：BD　[本题考查三角函数性质的综合应用以及三角函数图象的伸缩变换．f＝2sin ＋1＝＋1，不是函数的最值，因此函数f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；y＝2sin ＋1图象上所有点的横坐标变为原来的得到f(x)＝2sin ＋1的图象，故B正确；设y＝2sin ，则当x＝时，y＝2sin ＝2sin π＝0，即函数y＝2sin ＋1的图象关于点对称，故C错误；当sin ＝1时，函数f(x)取得最大值3，当sin ＝－1时，函数f(x)取得最小值－1，即函数f(x)的值域是[－1,3]，故D正确，故选BD.]限时40分钟　满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·南昌段考)已知角θ的始边与x轴的非负半轴重合，终边过点M(－3,4)，则cos2θ－sin2θ＋tan θ的值为(　　)A．－　　　　　　　　 B.C．－  D.解析：A　[设O为坐标原点，则由已知得|OM|＝5，因而cos θ＝－，sin θ＝，tan θ＝－，则cos2θ－sin2θ＋tan θ＝－－＝－.]2．(2019·青岛三模)如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成，如图②，第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一条直角边为1.将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，…，则与α1＋α2＋α3＋α4最接近的角是(　　)参考值：tan 55°≈1.428，tan 60°≈1.732，tan 65°≈2.145，≈1.414A．120°  B．130°C．135°  D．140°解析：C　[由题意可得，α1，α2，α3，α4都是锐角，且α1＝45°，tan α2＝＝，tan α3＝＝，所以α3＝30°，tan α4＝＝，所以α1＋α3＝75°.又tan(α2＋α4)＝＝≈1.87，接近tan 60°，故α2＋α4接近60°，故与α1＋α2＋α3＋α4最接近的角是135°.]3．(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为(　　)A.   B.C．π  D．2π解析：C　[由已知得f(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期为T＝＝π，故选C.]4．(2019·成都二诊)将函数y＝2sinsin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为(　　)A.   B.C.  D.解析：A　[由y＝2sinsin可得y＝2sincos＝sin，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)＝sin＝sin，因为g(x)＝sin为奇函数，所以2φ＋＝kπ(k∈Z)，φ＝－(k∈Z)，又φ＞0，故φ的最小值为，选A.]5．(2020·广州模拟)已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)A.   B.C.  D.解析：B　[通解：因为x∈，所以ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，所以又ω＞0，所以0＜ω≤，选B.优解：取ω＝1，f＝sin＝－sin＜0，f＝sin＝sin＝1，f＝sin＝sin＝，不满足题意，排除A，C，D，选B.]6．(2019·洛阳统考)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则y＝f(x)在的值域为(　　)A．[－，0]  B．[－2,0]C．(－，0)  D．(－2,0)解析：A　[由题意得函数f(x)＝2sin，因为其图象关于直线x＝0对称，所以2×0＋＋φ＝＋kπ(k∈Z)，即φ＝＋kπ(k∈Z)，又|φ|＜，所以φ＝，f(x)＝2sin＝2cos 2x.当≤x≤时，≤2x≤，所以y＝f(x)在上的值域为[－，0]．]7．(2018·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)A．在区间上单调递增B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递减解析：A　[由函数图象平移变换的性质可知：将y＝sin 的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：y＝sin＝2sin x.则函数的单调递增区间满足：2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z) ，令k＝1可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z) ，令k＝1可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项．]8．(2020·贵阳监测)函数f(x)＝Asin(ω＞0)的图象与x轴正半轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，若要得到函数g(x)＝Asin ωx的图象，只要将f(x)的图象(　　)A．向左平移个单位  B．向右平移个单位C．向左平移个单位  D．向右平移个单位解析：D　[正弦函数图象与x轴相邻交点横坐标相差为半个周期，即d＝＝，又因为d＝，所以ω＝2，则f(x)＝Asin＝Asin，所以只要将函数f(x)的图象向右平移个单位就能得到g(x)＝sin ωx的图象．]9.(2019·德州三模)如图是函数f(x)＝Asin(2x＋φ)图象的一部分，对不同的x1，x2∈[a，b]，若f(x1)＝f(x2)，有f(x1＋x2)＝，则(　　)A．f(x)在区间内单调递增B．f(x)在区间内单调递减C．f(x)在区间内单调递增D．f(x)在区间内单调递减解析：A　[根据图象得出：A＝2，对称轴方程为x＝，所以2sin(x1＋x2＋φ)＝2⇒x1＋x2＋φ＝，所以x1＋x2＝－φ，因为f(x1＋x2)＝，所以2sin＝，即sin(π－φ)＝，因为|φ|≤，所以φ＝，所以f(x)＝2sin，因为－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，所以－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，即为f(x)的单调递增区间．]10．(2019·辽宁省五校协作体联考)设ω＞0，将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后与函数y＝2sin的图象重合，则ω的最小值是(　　)A.   B.C.  D.解析：C　[通解　将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得y＝2cos的图象，由已知得2cos＝2sin，所以cos＝sin，当ω＝时，cos＝cos≠sin；当ω＝时，cos＝cos≠sin；当ω＝时，cos＝cos＝sin，所以ω的最小值为.故选C.优解　将函数y＝2cos的图象向右平移个单位长度后，得y＝2cos＝2cos的图象，由已知得cos＝sin，所以sin＝sin，所以＋＋2kπ＝ωx＋，k∈Z，所以ω＝＋10k，k∈Z，又ω＞0，所以ω的最小值为.故选C.]11．(多选题)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　)A．sin α＋cos α  B．sin α－cos αC．sin αcos α  D. 解析：CD　[本题考查三角函数定义的应用及三角函数值符号的判断．由已知得r＝|OP|＝，则sin α＝>0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，∴sin x＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.故选CD.]12．(2019·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝sin(ω＞0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在单调递增；④ω的取值范围是.其中所有正确结论的编号是(　　)A．①④  B．②③C．①②③  D．①③④解析：D　[∵f(x)＝sin(ω＞0)，在[0,2π]有且仅有5个零点．∴0≤x≤2π，≤ωx＋≤2πω＋，5π≤2πω＋＜6π，≤ω＜，④正确．如图x1，x2，x3为极大值点为3个，①正确；极小值点为2个或3个. ②不正确．当0＜x＜时，＜ωx＋＜＋，当ω＝时，＋＝＋＝＜.∴③正确，故选D.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．解析：∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x，∴f(x)min＝－4.答案：－414．(2019·吉林三模)将函数f(x)＝2cos 2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是____________．解析：由题意可知，函数f(x)在区间和上均单调递增，根据f(x)＝2cos 2x的图象可知，－≤0且≤2a－≤π，解得≤a≤.答案：15．(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos (ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．解析：本题考查三角函数．∵f(x)≤f对任意x∈R恒成立，∴f为f(x)的最大值，∴f＝cos ＝1，∴ω－＝2kπ，解得ω＝8k＋，k∈Z，又∵ω>0，∴ω的最小值为.答案：16．(2019·烟台三模)函数f(x)＝的图象与函数g(x)＝2sinx(0≤x≤4)的图象的所有交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则f(y1＋y2＋…＋yn)＋g(x1＋x2＋…＋xn)＝________.解析：如图，画出函数f(x)和g(x)的图象，可知有4个交点，并且关于点(2,0)对称，所以y1＋y2＋y3＋y4＝0，x1＋x2＋x3＋x4＝8，所以f(y1＋y2＋y3＋y4)＋g(x1＋x2＋x3＋x4)＝f(0)＋g(8)＝＋0＝.答案：