2020届高考数学二轮教师用书：层级二专题五第1讲　直线与圆

  第1讲　直线与圆 [考情考向·高考导航]对于直线的考查，主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题．一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查，主要是结合直线的方程，用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题，含参数问题为命题热点，一般以选择题、填空题的形式考查，难度不大，涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)A．[2,6]　　　　　　　　 B．[4,8]C．[，3]  D．[2，3]解析：A　[由已知A(－2,0)，B(0，－2)．圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝2，又圆的半径为.∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为，最大值为3，又|AB|＝2.∴△ABP面积的最小值为Smin＝×2×＝2，最大值为Smax＝×2×3＝6.]2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)A．1　　　　          B．2　　　　　      C．3　　　　　  D．4解析：C　[本题考查直线与圆的位置关系．点P(cos θ，sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的点，直线x－my－2＝0过定点(2,0)，当直线与圆相离时，d可取到最大值，设圆心到直线的距离为d0，d0＝，d＝d0＋1＝＋1，可知，当m＝0时，dmax＝3，故选C.]3．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则：解得则圆的方程为x2＋y2－2x＝0.答案：x2＋y2－2x＝04．(2018·全国Ⅰ卷)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.解析：圆方程可化为x2＋(y＋1)2＝4，∴圆心为(0，－1)，半径r＝2，圆心到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2.答案：2[主干整合]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝.4．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：d＜r⇔相交；d＝r⇔相切；d＞r⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．热点一　直线的方程及其应用[例1]　(1)(2020·大连模拟)“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的(　　)A．充要条件　　　　　　　 B．充分不必要条件C．必要不充分条件  D．既不充分也不必要条件[解析]　A　[由ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行，得a(a－1)＝2，∴a＝－1，a＝2.经检验当a＝－1时，两直线重合(舍去)．∴“a＝2”是“直线ax＋y－2＝0与直线2x＋(a－1)y＋4＝0平行”的充要条件．](2)(2020·厦门模拟)过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且到点P(0,4)的距离为2的直线方程为________________．[解析]　由得所以l1与l2的交点为(1,2)，当所求直线的斜率不存在时，所求直线为x＝1，显然不符合题意．故设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0,4)到所求直线的距离为2，所以2＝，所以k＝0或k＝.所以所求直线的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.[答案]　y＝2或4x－3y＋2＝0(3)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________．②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．[解析]　设，线段A1B1的中点为E1(x1，y1)，则Q1＝＝2y1.因此，要比较Q1，Q2，Q3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点纵坐标的大小，作图(图略)比较知Q1最大．又p1＝＝＝＝，其几何意义为线段A1B1的中点E1与坐标原点连线的斜率，因此，要比较p1，p2，p3的大小，只需比较线段A1B1，A2B2，A3B3中点与坐标原点连线的斜率，作图比较知p2最大．[答案]　①Q1　②p2求解直线方程应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2－A2B1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在．(2020·宁德模拟)过点M(0,1)作直线，使它被两条直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，则此直线方程为____________．解析：过点M且与x轴垂直的直线是x＝0，它和直线l1，l2的交点分别为，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，其图象与直线l1，l2分别交于A，B两点，则有①②由①解得xA＝，由②解得xB＝.因为点M平分线段AB，所以xA＋xB＝2xM，即＋＝0，解得k＝－.故所求的直线方程为y＝－x＋1，即x＋4y－4＝0.答案：x＋4y－4＝0 热点二　圆的方程及应用[例2]　(1)(山东高考题)圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2，则圆C的标准方程为________________．[解析]　设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝()2＋b2，解得a＝2，b＝1.∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.[答案]　(x－2)2＋(y－1)2＝4(2)(2019·唐山三模)已知A(－2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，则△PAB面积的最大值是____________．[解析]　依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋.[答案]　3＋求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，求出圆的基本量：圆心坐标和半径．如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直，设圆的半径为r，弦长为|AB|，弦心距为d，则r2＝d2＋2等．(2)代数法：设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算较简捷．(1)(2019·临沂三模)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2x－y－4＝0相切，则圆M的标准方程为________________．解析：由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a＞－2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.答案：(x＋1)2＋y2＝4(2)(2020·马鞍山模拟)圆心在曲线y＝(x＞0)上，且与直线2x＋y＋1＝0相切的面积最小的圆的标准方程为________________．解析：由条件设圆心坐标为(a＞0)，又因为圆与直线2x＋y＋1＝0相切，所以圆心到直线的距离d＝r＝≥＝，当且仅当2a＝，即a＝1时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝5热点三　直线(圆)与圆的位置关系直观想象素养直观想象——圆的方程应用中的核心素养以学过的圆的相关知识为基础，借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”，然后利用“直观想象”解决问题.[例3]　(1)(2020·湖北八校联考)过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．[解析]　令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－.[答案]　－(2)如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.①当|MN|＝2时，则直线l的方程为____________．②若·为定值，则这个定值为________．[解析]　①设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝＝2.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.a．当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；b．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1.由|AQ|＝＝1，得k＝，∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.②∵AQ⊥BP，∴·＝0.∵·＝(＋)·＝·＋·＝·.当直线l与x轴垂直时，得P.则＝，又＝(1,2)，∴·＝·＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)．由解得P.∴＝.∴·＝·＝－＝－5.综上所述：·为定值，其定值为－5.[答案]　①x＝－2或3x－4y＋6＝0　②－5直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为两圆心之间的距离问题．(1)(2020·银川调研)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是____________．解析：由题意知圆M的圆心为(0，a)，半径R＝a，因为圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，所以圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝(a＞0)，解得a＝2，又知圆N的圆心为(1,1)，半径r＝1，所以|MN|＝，则R－r＜＜R＋r，所以两圆的位置关系为相交．答案：相交(2)(2020·江西七校联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．解析：圆C：(x－4)2＋y2＝1，如图，直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需保证圆心C到y＝kx－2的距离小于等于2即可，∴≤2⇒0≤k≤.∴kmax＝.答案：限时40分钟　满分80分一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)1．(2020·成都二诊)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是(　　)A．平行　　　　　　 　 B．重合C．垂直  D．相交但不垂直解析：C　[由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sin B·y＋sin C＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，则直线sin A·x＋ay－c＝0与直线bx－sin B·y＋sin C＝0垂直，故选C.]2．(2020·杭州质检)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)A．－或－  B．－或－C．－或－  D．－或－解析：D　[点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，∵反射光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d＝＝1，化简得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或－.]3．(2020·广州模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)A.  B．2C．3  D．4解析：C　[由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据两平行线间的距离公式得，＝，即|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.]4．(2020·河南六校联考)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝1交于A，B两点，O是坐标原点，向量，满足|＋|＝|－|，则实数a的值为(　　)A．1  B．2C．±1  D．±2解析：C　[由，满足|＋|＝|－|，得⊥，因为直线x＋y＝a的斜率是－1，所以A，B两点在坐标轴上并且在圆上；所以(0,1)和(0，－1)两点都适合直线的方程，故a＝±1.]5．(2020·怀柔调研)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为(　　)A．y＝－  B．y＝－C．y＝－  D．y＝－解析：B　[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B.]6．(2020·温州模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，直线l：y＝kx，其中k为[－，]上的任意一个实数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为(　　)A.   B.C.   D.解析：D　[当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d＝＞，解得k＞1或k＜－1，又k∈[－，]，所以－≤k＜－1或1＜k≤，故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P＝＝，故选D.]7．(2019·潍坊三模)已知O为坐标原点，A，B是圆C：x2＋y2－6y＋5＝0上两个动点，且|AB|＝2，则|＋|的取值范围是(　　)A．[6－2，6＋2]  B．[3－，3＋]C．[3,9]  D．[3,6]解析：A　[圆C：x2＋(y－3)2＝4，取弦AB的中点M，连接CM，CA，在直角三角形CMA中，|CA|＝2，|MA|＝1，则|CM|＝＝，则点M的轨迹方程为x2＋(y－3)2＝3，则|＋|＝2||∈[6－2，6＋2]．]8．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是(　　)A．0<m<1  B．m<1C．－2<m<1  D．－3<m<1解析：AC　[本题主要考查直线与圆的位置关系的判断．圆x2＋y2－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为.因为直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝<，所以|1＋m|<2，解得－3<m<1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得AC符合．故选AC.]9．(2020·合肥质检)已知圆C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝5与圆C2相交于A(0,2)，B(－1,1)两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为(　　)A．(x－1)2＋y2＝5B．(x－1)2＋y2＝C.2＋2＝5D.2＋2＝解析：A　[通解　(常规求解法)设圆C2的圆心坐标为(a，b)，连接AB，C1C2.因为C1(－2,3)，A(0,2)，B(－1,1)，所以|AC1|＝|BC1|＝，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2⊥AB且|AC2|＝.可得解得或则圆心C2的坐标为(1,0)或(－2,3)(舍去)．因为圆C2的半径为，所以圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝5.故选A.优解　(特值验证法)由题意可知，平行四边形C1AC2B为菱形，则|C2A|＝|C1A|＝＝，即圆C2的半径为，排除B，D；将点A(0,2)代入选项A，C，显然选项A符合．故选A.]10．(2020·惠州二测)已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)的圆心在直线x－y＋＝0上，且圆C上的点到直线x＋y＝0的距离的最大值为1＋，则a2＋b2的值为(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：C　[化圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0(a＜0)为标准方程得C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，其圆心为(a，b)，故a－b＋＝0，即b＝a＋，(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝＝，因为圆C上的点到直线x＋y＝0的距离的最大值为1＋，故d＋1＝|2a＋1|＋1＝1＋，得到|2a＋1|＝2，解得a＝－或a＝(舍去)，故b＝×＋＝－，故a2＋b2＝2＋2＝3.选C.]11．(2019·烟台三模)已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是(　　)A．[－2,6]  B．[－3,5]C．[2,6]  D．[3,5]解析：C　[当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝≤＝，所以16＋(t－4)2≤20，所以2≤t≤6，故选C.]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)12．(双空填空题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为___________________________________________，圆C被x轴截得的弦长为________．解析：本题考查圆与圆的位置关系．将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为3.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4，所以圆C的方程为(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2×＝8.答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0　813．(2019·哈尔滨二模)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为________________．解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得得 或∴|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，即(x－1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，∵d2＋2＝r2，∴＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.答案：x＝0或3x＋4y－12＝014．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a＞0)相交，公共弦的长为2，则a＝________.解析：联立两圆方程可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，故圆心(0,0)到直线ax＋2ay－5＝0的距离为＝(a＞0)．故2 ＝2，解得a2＝，因为a＞0，所以a＝.答案：15．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．解析：∵AB为直径∴AD⊥BD∴BD即B到直线l的距离|BD|＝＝2.∵|CD|＝|AC|＝|BC|＝r，又CD⊥AB.∴|AB|＝2|BC|＝2设A(a,2a)|AB|＝＝2⇒a＝－1或3(－1舍去)答案：316．(2020·厦门模拟)为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A，B，C三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A，B，C三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M只能建在与A村相距5 km，且与C村相距 km的地方．已知B村在A村的正东方向，相距3 km，C村在B村的正北方向，相距3 km，则垃圾处理站M与B村相距________km.解析：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)．由题意得垃圾处理站M在以A(0,0)为圆心，5为半径的圆A上，同时又在以C(3,3)为圆心，为半径的圆C上，两圆的方程分别为x2＋y2＝25和(x－3)2＋(y－3)2＝31.由解得或∴垃圾处理站M的坐标为(5,0)或，∴|MB|＝2或|MB|＝ ＝7，即垃圾处理站M与B村相距2 km或7 km.答案：2或7