2020届高考数学二轮教师用书：第三章第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数

第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广

(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着　端点　从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类

(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2．弧度制的定义和公式

(1)定义：把长度等于　半径长　的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

(2)公式

3.任意角的三角函数

1.象限角与轴线角

(1)象限角

(2)轴线角

2．若α分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角，则所在象限如图

3．任意角三角函数的定义的推广

设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)小于90°的角是锐角．(　　)

(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　)

(3)三角形的内角必是第一、第二象限角．(　　)

(4)不相等的角终边一定不相同．(　　)

(5)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)

(6)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α终边在第二象限．(　　)

(7)α∈，则tan α>α>sin α.(　　)

(8)α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√　(7)√　(8)√

[小题查验]

1．－870°角的终边在第几象限(　　)

A．一　　　　　　　　 B．二

C．三  D．四

解析：C　[∵－870°＝－360°×3＋210°，

∴－870°与210°角终边相同．

又∵210°角的终边在第三象限，

∴－870°角的终边在第三象限．故选C.]

2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　 )

A．2kπ＋45°(k∈Z)

B．k·360°＋π(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)

D．kπ＋(k∈Z)

解析：C　[与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．]

3．若sin αtan α<0，且<0，则角α是(　　 )

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：C　[由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角．

由<0可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．

综上可知，α为第三象限角．]

4．(教材改编)已知角θ的终边经过点P(－12,5)，则sin θ＝　________　，cos θ＝　________　，tan θ＝　________　.

答案：　－　－

5．在直角坐标系中，O是原点，A点坐标为(，－1)，将OA绕O逆时针旋转450°到B点，则B点的坐标为　________　.

解析：设B(x，y)，由题意知|OA|＝|OB|＝2，∠BOx＝60°，且点B在第一象限，

∴x＝2cos 60°＝1，

∴y＝2sin 60°＝，

∴B点的坐标为(1，)．

答案：(1，)

考点一　角的集合表示及象限角的判定(师生共研)

[典例]　(1)若角θ的终边与角的终边相同，则在[0,2 π)内终边与角的终边相同的角为　__________　.

(2)如果α是第三象限的角，则角－α的终边所在位置是　________　，角2α的终边所在位置是　________　.

[解析]　(1)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.

∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，.

(2)由α是第三象限的角得π＋2kπ＜α＜＋2kπ，∴－－2kπ＜－α＜－π－2kπ，即＋2kπ＜－α＜π＋2kπ(k∈Z)，∴角－α的终边在第二象限．

由π＋2kπ＜α＜＋2kπ得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)，

∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．

[答案]　(1)，，　(2)第二象限；第一、二象限及y轴的非负半轴

[互动探究]

在本例(2)的条件下，角终边所在的位置是　________　.

解析：因为π＋2kπ＜α＜＋2kπ(k∈Z)，所以＋＜＜＋(k∈Z)．

当k＝3n(n∈Z)时，＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)；

当k＝3n＋1(n∈Z)时，π＋2nπ＜＜＋2nπ(n∈Z)；

当k＝3n＋2(n∈Z)时，＋2nπ＜＜π＋2nπ(n∈Z)．

综上，的终边在第一、三、四象限．

答案：第一、三、四象限

(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角．

(2)表示区间角的三个步骤：

①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．

②按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．

③起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．

(3)已知角α终边所在的象限，求2α、、π－α等角的终边所在象限问题，可由条件先写出α的范围，解不等式得出角2α、、π－α等的范围，再根据范围确定象限．

[跟踪训练]

(1) 若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　 )

A．第一或第三象限　　 B．第一或第二象限

C．第二或第四象限  D．第三或第四象限

解析：A　[当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角．当k＝2n＋1(n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．所以α为第一或第三象限角．故选A.]

(2)已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界)，则角α的集合为　________　.

解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}∪{α|270°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}＝{α|90°＋2k·180°≤α≤135°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|90°＋(2k＋1)·180°≤α≤135°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}．

答案： {α|90°＋n·180°≤α≤135°＋n·180°，n∈Z}

考点二　扇形的弧长及面积公式(师生共研)

数学建模——扇形弧长与面积公式实际应用中的素养

通过利用扇形弧长与面积公式在求最值中的实际应用，增强了应用数学解决实际问题的能力，体现了在解决实际问题中利用数学知识建立数学模型解决问题的素养．

[典例]　已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？

[思维导引]　建立扇形的面积S与其半径r的函数关系式求解．

[解]　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.

又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.

当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2.

所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．

[互动探究1]

母题条件若变为“周长为6，面积是2”，试求圆心角的弧度数．

解：设半径为r，弧长为l，

则解得或

∴α＝4或1.

[互动探究2]

母题条件若变为“扇形的圆心角为120°，弦长为AB＝12”，试求弧长l.

解：设半径为r.则由＝sin 60°，

∴r＝4，∴l＝|α|·r＝π.

应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．

[跟踪训练]

一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为　________　.

解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，则＝，∴α＝.

∴扇形的弧长与圆周长之比为＝＝.

答案：

考点三　三角函数的定义(子母变式)

[母题]　设角α终边上一点P(－4a,3a)(a＜0)，则 sin α的值为　________　.

[解析]　设P与原点的距离为r，

∵P(－4a,3a)，a＜0，

∴r＝＝|5a|＝－5a.

∴sin α＝＝－.

[答案]　－

[子题1]　若母题中“a＜0”，改为“a≠0”，则sin α的值为　________　.

解析：当a＜0时，sin α＝－；当a＞0时，r＝5a, sin α＝.

答案：－或

[子题2]　已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

解：设α终边上任一点为P(－4a,3a)，

当a＞0时，r＝5a，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－；

当a＜0时，r＝－5a，sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.

[子题3]　已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0), 且sin α＝，求cos α， tan α的值．

解：由题设知x＝－，y＝m，

∴r2＝|OP|2＝2＋m2(O为原点)，r＝ .

∴sin α＝＝＝，

∴r＝ ＝2，

即3＋m2＝8，解得m＝±.

当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，

∴cos α＝＝－， tan α＝－；

当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，

∴cos α＝＝－， tan α＝.

用定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．

考点四　三角函数线、三角函数值的符号(自主练透)

[题组集训]

1．下列各选项中正确的是(　　 )

A．sin 300°>0　　　　　　　 B．cos(－305°)<0

C．tan >0  D．sin 10<0

解析：D　[300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；而－π＝－8π＋π，所以－π是第二象限角，故tan <0，因为3π<10<π，所以10是第三象限角，故sin 10<0.]

2．已知sin 2θ<0，且|cos θ|＝－cos θ，则点P(tan θ，cos θ)在第　________　象限．

解析：法一：由sin 2θ<0，得2kπ＋π<2θ<2kπ＋2π (k∈Z)，kπ＋<θ<kπ＋π(k∈Z)．

当k为奇数时，θ的终边在第四象限；

当k为偶数时，θ的终边在第二象限．

又因cos θ≤0，所以θ的终边在左半坐标平面(包括y轴)，所以θ的终边在第二象限．

所以tan θ<0，cos θ<0，点P在第三象限．

法二：由|cos θ|＝－cos θ知cos θ≤0，①

又sin 2θ<0，即2sin θcos θ<0　②

由①②可推出.

因此θ在第二象限，P(tan θ，cos θ)在第三象限．

答案：三

熟练掌握三角函数在各象限的符号．三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

1．与30°角终边相同的角的集合是(　　 )

A.

B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z}

C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}

D.

解析：D　[∵30°＝30°×＝，

∴与30°终边相同的所有角可表示为α＝2kπ＋，k∈Z，故选D.]

2．如图，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是(　　 )

A．(cos θ，sin θ)　　　　　 B．(－cos θ，sin θ)

C．(sin θ，cos θ)  D．(－sin θ，cos θ)

解析：A　[由三角函数的定义可知，点P的坐标是(cos θ，sin θ)．]

3．集合{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}中的角的终边所在的范围(阴影部分)是(　　)

解析：C　[当k＝2n时，2nπ＋≤α≤2nπ＋；当k＝2n＋1时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋.故选C.]

4．设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　)

A．第一象限角  B．第二象限角

C．第三象限角  D．第四象限角

解析：B　[由于θ是第三象限角，所以2kπ＋π<θ<2kπ＋2kπ＋(k∈Z)，kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)；又＝－cos ，所以cos ≤0，从而2kπ＋≤≤2kπ＋(k∈Z)，综上可知2kπ＋<<2kπ＋(k∈Z)，即是第二象限角．]

5．(2020·榆林市一模)若角α的终边经过点P，则cos α·tan α的值是(　　 )

A．－  B.

C．－  D.

解析：A　[∵角α的终边经过点P，∴x＝，y＝－，r＝1.

∴cos α＝＝，tan α＝＝－.

∴cos α·tan α＝sin α＝＝－，故选A.]

6．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为　________　.

解析：由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.

所以y＝－1＋1－1＝－1.

答案：－1

7．(2020·赤峰市一模)设点P(m，)是角α终边上一点，若cos α＝，则m＝　________　.

解析：由题意可知，α是第一象限角，则m>0，

又cos α＝＝，得m＝.

答案：

8．已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是　________　.

解析：设此扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝4，面积S＝rl＝r(4－2r)＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，故当r＝1时S最大，这时l＝4－2r＝2.从而α＝＝＝2.

答案：2

9．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cos θ的值．

解：∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tan θ＝－.

又tan θ＝－x，∴x2＝1，即x＝±1.

当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝.

因此sin θ＋cos θ＝0；

当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－，

因此sin θ＋cos θ＝－.

故sin θ＋cos θ的值为0或－.

10．已知扇形AOB的周长为8.

(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；

(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.

解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，

(1)由题意可得解得或

∴α＝＝或α＝＝6.

(2)法一：∵2r＋l＝8，

∴S扇＝lr＝l·2r≤2＝×2＝4，

当且仅当2r＝l，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.

∴圆心角α＝2，弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.

法二：∵2r＋l＝8，

∴S扇＝lr＝r(8－2r)＝r(4－r)＝－(r－2)2＋4≤4，

当且仅当r＝2，即α＝＝2时，扇形面积取得最大值4.

∴弦长AB＝2sin 1×2＝4sin 1.