2020届高考数学二轮教师用书：第三章第3节　三角函数的图象与性质

第3节　三角函数的图象与性质

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．

2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

　若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝＋kπ(k∈Z)；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)．

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)函数y＝sin x的图象介于直线y＝1与y＝－1之间．(　　 )

(2)将余弦曲线向右平移个单位就得到正弦曲线．(　　 )

(3)函数y＝sin是奇函数．(　　 )

(4)函数y＝sin x的对称轴方程为x＝2kπ＋(k∈Z)．(　　 )

(5)正切函数在整个定义域内是增函数．(　　 )

答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×

[小题查验]

1．(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin的最小正周期为(　　 )

A．4π　　　　　　　　　 B．2π

C．π  D.

解析：C　[函数f(x)＝sin 的最小正周期为T＝＝π.]

2．(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是(　　)

A．f(x)＝|cos 2x|  B．f(x)＝|sin 2x|

C．f(x)＝cos|x|  D．f(x)＝sin|x|

解析：A　[函数y＝cos 2x的周期为π，∴函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当＜x＜时，＜2x＜π，y＝cos 2x递减且为负值，

∴函数f(x)＝|cos 2x|在区间上单调递增．]

3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象(　　 )

A．关于直线x＝对称

B．关于点对称

C．关于直线x＝－对称

D．关于点对称

解析：B　[∵f(x)＝sin(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f(x)＝sin.

经验证可知f＝sin＝sin π＝0，

即是函数f(x)的一个对称点．]

4．函数y＝tan 的图象与x轴交点的坐标是　________　.

解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．

∴函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是.

答案：(k∈Z)

5．[教材改编]y＝3sin在区间上的值域是　________　.

解析：当x∈时，2x－∈，sin∈，故3sin∈，即y＝3sin的值域为.

答案：

考点一　三角函数的定义域、值域问题(自主练透)

直观想象——三角函数图象问题中的核心素养

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化，利用几何图形理解和解决数学问题．主要包括：利用图形描述数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．三角函数图象问题中的直观想象主要是利用三角函数图象解简单的三角不等式(方程)，确定三角函数的定义域、值域等．

[题组集训]

1．函数y＝的定义域为　__________　.

解析：法一(利用三角函数图象)：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．

在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以函数y＝的定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

法二(利用三角函数线)：画出满足条件sin x≥cos x的角x的终边范围(如图阴影部分所示)，∴函数y＝的定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

法三(利用整体思想)：sin x－cos x＝·sin≥0，将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知2kπ≤x－≤π＋2kπ，k∈Z，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z.所以函数y＝的定义域为{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}．

答案：{x︱2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z}

2．函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为　________　.

解析：由得

∴－3≤x<－或0<x<.

∴函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为

.

答案：

3．(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是　________　.

解析：由题意可知f(x)＝sin2x＋cos x－＝1－cos2 x＋cos x－ ，

f(x)＝－cos2x＋cos x＋，

令cos x＝t且t∈[0,1]，

y＝－t2＋t＋＝－2＋1，

则当t＝时，f(x)取最大值1.

答案：1

4．(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为　________　.

解：f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x，

∴f(x)min＝－4.

答案：－4

1．求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图象来求解．

2．求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略：

(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；

(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；

(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．

考点二　三角函数的单调性(师生共研)

[典例]　(1)y＝sin的单调递减区间为　______　.

(2)若f(x)＝2sin ωx＋1(ω>0)在区间 上是增函数，则ω的取值范围是　________　.

[破题关键点]　(1)先将x的系数化负为正，再求其单调递减区间；(2)方法一：是函数f(x)单调递增区间的子区间．方法二：ωx的取值范围是的子区间．方法三：原点到区间两端点的距离不超过.

[解析]　(1)y＝－sin的减区间是

y＝sin的增区间．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

故所给函数的减区间为，k∈Z.

(2)法一：由2kπ－ ≤ωx≤2kπ＋ ，k∈Z，

得f(x)的增区间是，k∈Z.

因为f(x)在上是增函数，

所以⊆.

所以－≥－且≤，所以ω∈.

法二：因为x∈，ω>0.

所以ωx∈，

又f(x)在区间上是增函数，

所以⊆，

则又ω＞0，得0<ω≤.

法三：因为f(x)在区间上是增函数，故原点到的距离不超过，即得T≥，即≥.又ω＞0，得0<ω≤.

[答案]　(1)，k∈Z　(2)

[互动探究]

在本例(1)中函数不变，求函数在[－π，0]上的单调递减区间．

解析：法一：x∈R时，y＝sin的减区间为，k∈Z.令k＝0得－≤x≤；

令k＝－1得－≤x≤－，

故x∈[－π，0]时，y＝sin的减区间为

，.

法二：因为－π≤x≤0，所以－π≤2x－≤－，结合正弦曲线，

由－π≤2x－≤－π，解得－π≤x≤－π；

由－≤2x－≤－，解得－≤x≤0，

所以单调减区间为，.

求三角函数单调区间的两种方法

(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间．

(2)图象法：函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间．

　提醒：求解三角函数的单调区间时若x的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．

[跟踪训练]

(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　 )

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析：B　[由kπ－＜2x－＜kπ＋(k∈Z)得，－＜x＜＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.]

(2)(2018·全国Ⅱ卷)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)

A.　　　 B.　　

C.　　                              　D．π

解析：A　[因为f(x)＝cos x－sin x＝ cos ，所以由0＋2kπ≤x＋≤π＋2kπ，(k∈Z)得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，(k∈Z)因此[－a，a]⊂，∴－a<a，－a≥－，a≤，∴0<a≤从而a的最大值为，选A.]

考点三　三角函数的奇偶性、周期性和对称性(多维探究)

[命题角度1]　三角函数的周期性　

1．(2017·山东卷)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　 )

A.　　　　　　　 B.

C．π  D．2π

解析：C　[由题意y＝2sin，其周期T＝＝π.]

2．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1＜T＜2，则自然数k的值为　________　.

解析：由题意知，1＜＜2，即k＜π＜2k.又k∈N，

所以k＝2或k＝3.

答案：2或3

求三角函数周期的方法：

(1)利用周期函数的定义；

(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；

(3)利用图象：对含绝对值的三角函数的周期问题，通常要画出图象，结合图象进行判断．

[跟踪训练]

1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2 x－sin2 x＋2，则(　　)

A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4

解析：B　[f(x)＝2cos2x－(1－cos2x)＋2＝3cos2x＋1，∴最小正周期为π，最大值为4.故选B.]

[命题角度2]　三角函数的对称轴或对称中心　

3．当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(　　 )

A．是奇函数且图象关于点对称

B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称

C．是奇函数且图象关于直线x＝对称

D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称

解析：C　[∵当x＝时，函数f(x)取得最小值，

∴sin＝－1，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．

∴f(x)＝sin＝sin.

∴y＝f＝sin(－x)＝－sin x.

∴y＝f是奇函数，且图象关于直线x＝对称．]

[方法点拨]　若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x；若求f(x)＝Asin(ωx＋φ)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．

[跟踪训练]

2．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)(|φ|<)，且其图象关于直线x＝0对称，则(　　 )

A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数

B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在上为减函数

C．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为增函数

D．y＝f(x)的最小正周期为，且在上为减函数

解析：B　[∵函数f(x)＝sin(2x＋φ)＋cos(2x＋φ)＝2sin的图象关于直线x＝0对称，

∴函数f(x)为偶函数，∴φ＋＝＋kπ(k∈Z)．

∵|φ|<，∴φ＝，∴f(x)＝2cos 2x，

∴T＝＝π.∵0<x<，∴0<2x<π，

∴函数f(x)在上为减函数．故选B.]

[命题角度3]　三角函数奇偶性、对称性的应用　

4．(2019·拉萨市一模)使函数f(x)＝sin (2x＋θ)＋cos (2x＋θ)是偶函数，且在上是减函数的θ的一个值是(　　 )

A.  B.

C.  D.

解析：B　[∵函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos (2x＋θ)＝2sin 是偶函数，

∴θ＋＝kπ＋，即θ＝kπ＋，k∈Z ，因此可取θ＝，

此时，f(x)＝2sin ＝cos 2x，且在上，即2x∈时，f(x)是减函数．故选B.]

5．(2020·雅安市模拟)函数f(x)＝sin 的图象在区间上的对称轴方程为　________　.

解析：对于函数f(x)＝sin 的图象，令2x＋＝kπ＋，得x＝＋，k∈Z，令k＝0，可得函数在区间上的对称轴方程为x＝.

答案：x＝

函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性、对称性的应用

(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.

(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．

[跟踪训练]

3．(2019·全国Ⅰ卷)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数　②f(x)在区间单调递增

③f(x)在[－π，π]有4个零点　④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是(　　)

A．①②④  B．②④

C．①④  D．①③

解析：C　[∵f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|，

∴f(x)是偶函数，①对；

f(x)在区间上单调递减，②错；

f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错；

f(x)的最大值为2，④对．故选C.]

1．(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝的最小正周期为(　　 )

A.　　　　　　　　　　 B.

C．π  D．2π

解析：C　[f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，∴f(x)的周期T＝＝π.故选C.]

2．函数f(x)＝sin ＋cos的最大值为(　　 )

A.  B．1

C.  D.

解析：A　[由诱导公式得cos＝cos＝sin，则f(x)＝sin＋sin＝sin，所以函数f(x)的最大值为.故选A.]

3．函数f(x)＝1－2sin2是(　　 )

A．最小正周期为π的偶函数

B．最小正周期为π的奇函数

C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的奇函数

解析：B　[因为函数y＝1－2sin2

＝cos ＝sin 2x，所以该函数是最小正周期为π的奇函数．故选B.]

4．(2020·昆明市一模)若直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x的图象无公共点，则不等式tan x≥2a的解集为(　　 )

A.

B.

C.

D.

解析：B　[直线x＝aπ(0＜a＜1)与函数y＝tan x的图象无公共点，∴a＝，∴不等式化为tan x≥1，解得kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z；∴所求不等式的解集为{x|kπ＋≤x＜kπ＋，k∈Z}．]

5．(2020·长春市模拟)已知函数f(x)＝2sin (2x＋φ)(0＜φ＜π)，且f(0)＝1，则下列结论中正确的是(　　 )

A．f(φ)＝2

B.是f(x)图象的一个对称中心

C．φ＝

D．x＝－是f(x)图象的一条对称轴

解析：A　[函数f(x)＝2sin (2x＋φ)，且f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝.

又0＜φ＜π，∴φ＝或；

当φ＝时，f＝2sin ＝2，当φ＝时，f＝2sin ＝2，故A正确．]

6．(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)＝cos 在[0，π]的零点个数为　________　.

解析：由f(x)＝cos ＝0，有3x＋＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝π＋，由0≤π＋≤π得k可取0,1,2，∴f(x)＝cos 在[0，π]上有3个零点．

答案：3

7．函数f(x)＝的定义域为　________　.

解析：要使函数f(x)＝有意义，则＋2cos x≥0即cos x≥－，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，

不等式cos x≥－的解集为，

所以，在实数集上不等式的解集为

，

即函数的定义域为

.

答案：

8．(2020·鄂伦春自治旗模拟)若函数f(x)＝1＋asin (ax＋(a＞0))的最大值为3，则f(x)的最小正周期为　__________　.

解析：函数f(x)＝1＋asin 的最大值为3，

∴1＋a＝3，解得a＝2.

∴f(x)＝1＋2sin ，

∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.

答案：π

9．(2020·玉溪市模拟)设函数f(x)＝2sin xcos x－cos 2x＋1

(1)求f

(2)求f(x)的最大值和最小正周期．

解：(1)函数f(x)＝2sin xcos x－cos 2x＋1＝sin 2x－cos 2x＋1＝sin ＋1，

∴f＝sin ＋1＝×＋1＝2.

(2)由f(x)＝sin ＋1，

当2x－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值为＋1，

最小正周期为T＝＝π.

10．(2020·泸州市模拟)已知函数f(x)＝sin xcos x－cos2x＋a的最大值为.

(1)求a的值；

(2)求f(x)≥0使成立的x的集合．

解：(1)∵f(x)＝sin xcos x－cos2x＋a＝sin 2x－＋a

＝sin ＋a－，

∴f(x)max＝＋a－＝，

∴a＝.

(2)由(1)知，f(x)＝sin .

由f(x)≥0，得sin ≥0，

即2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z，

∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，

∴f(x)≥0成立的x的集合为，k∈Z.