2020届高考数学二轮教师用书：第三章第5节　三角恒等变换

第5节　三角恒等变换

1．两角和与差的三角函数公式

sin(α＋β)＝　sin_αcos_β＋cos_αsin_β　；(Sα＋β)

sin(α－β)＝　sin_αcos_β－cos_αsin_β　.(Sα－β)

cos(α＋β)＝　cos_αcos_β－sin_αsin_β　；(Cα＋β)

cos(α－β)＝　cos_αcos_β＋sin_αsin_β　；(Cα－β)

tan(α＋β)＝；(Tα＋β)

tan(α－β)＝.(Tα－β)

2．二倍角公式

sin 2α＝　2sin_αcos_α　；(S2α)

cos 2α＝　cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α　；(C2α)

tan 2α＝.(T2α)

3．公式的变形与应用

(1)两角和与差的正切公式的变形

tan α＋tan β＝　tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)　；

tan α－tan β＝　tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)　.

(2)升幂公式

1＋cos α＝2cos2；1－cos α＝2sin2.

(3)降幂公式

sin2α＝；cos2α＝.

4．辅助角公式

asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中cos φ＝，sin φ＝ .

5．角的拆分与组合

(1)已知角表示未知角

例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，

α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，

α＝－＝＋.

(2)互余与互补关系

例如，＋＝π，

＋＝.

(3)非特殊角转化为特殊角

例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.

　sin2α＝＝；

cos 2α＝＝；

1±sin α＝2；

tan＝＝.

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　 )

(2)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　 )

(3)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　　 )

(4)当α是第一象限角时，sin ＝ .(　　 )

(5)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　 )

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×

[小题查验]

1．(2019·全国Ⅰ卷)tan 255°＝(　　)

A．－2－　　　　　 B．－2＋

C．2－  D．2＋

解析：D　[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝＝＝2＋.]

2．(2018·全国Ⅲ卷)若sin α＝，则cos 2α＝(　　 )

A.　　　　　　　　 B.

C．－  D．－

解析：B　[cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝.]

3．已知sin α＋cos α＝，则sin2＝(　　 )

A.  B.

C.  D.

解析：B　[由sin α＋cos α＝两边平方得1＋sin 2α＝，解得sin 2α＝－，所以sin2＝＝＝＝，故选B.]

4．(教材改编)已知sin α＝－，α是第四象限角，则cos＝　________　.

答案：

5．函数f(x)＝2sin x(sin x＋cos x)的单调增区间为　____________　.

解析：f(x)＝2sin2x＋2sin xcos x

＝2×＋sin 2x＝sin 2x－cos 2x＋1

＝sin(2x－)＋1，

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

所以所求区间为(k∈Z)．

答案：(k∈Z)

考点一　三角函数式的化简(自主练透)

[题组集训]

1．化简：＝　________　.

解析：原式＝＝2cos α.

答案：2cos α

2．化简：＝　________　.

解析：原式＝＝＝＝.

答案：

3．计算的值为　________　.

解析：＝＝＝＝.

答案：

三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．

考点二　三角函数式的求值(多维探究)

数学运算——三角函数求值中的核心素养

数学运算就是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．三角函数求值中的数学运算根据的是三角函数公式进行给角求值、给值求值和给值求角，力在培养学生的准确、快速的运算能力．

[命题角度1]　给角求值　

1．(2019·贵阳市监测考试)sin 15°＋cos 15°的值为(　　)

A.　　　 B．－　　　

C.　　                            　　D．－

解析：A　[sin 15°＋cos 15°＝sin 60°＝.故选A.]

2．sin415°－cos415°＝(　　)

A.　　　 B．－　　　　

C.　　                            　　D．－

解析：D　[sin415°－cos415°＝(sin215°－cos215°)(sin215°＋cos215°)＝sin215°－cos215°＝－cos 30°＝－.故选D.]

[命题角度2]　给值求值　

3．(2019·全国Ⅱ卷)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝(　　)

A.　　　 B.　　　

C.　　　　D.

解析：B　[∵α∈，由2sin 2α＝cos 2α＋1得：

4sin αcos α＝2cos2 α，∴2sin α＝cos α，又∵2sin α＝，∴5sin2 α＝1，∴sin2 α＝，∴sin α＝.]

4．(2018·全国Ⅱ卷)已知tan ＝，则tan α＝　________　.

解析：tan ＝＝＝，解方程得tan α＝.

答案：

[命题角度3]　给值求角　

5．已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β等于(　　 )

A.　　　 B.　　　

C.　　　                              　D.

解析：C　[∵α、β均为锐角，∴－<α－β<.

又sin(α－β)＝－，∴cos (α－β)＝.

又sin α＝，∴cos α＝，

∴sin β＝sin[α－(α－β)]

＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝×－×＝.∴β＝.]

6．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．

解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝

＝＝>0，∴0<α<，

又∵tan 2α＝＝＝>0，

∴0<2α<，

∴tan(2α－β)＝＝＝1.

∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，

∴2α－β＝－.

三角函数求值有三类

(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

考点三　三角变换的简单应用(师生共研)

[典例]　(2020·潍坊市模拟)已知函数f(x)＝2sin cos ωx(0＜ω＜2)，且f(x)的图象过点.

(1)求ω的值及函数f(x)的最小正周期；

(2)将y＝f(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，已知g＝，求cos 的值．

[破题关键点]　利用三角恒等变换将函数f(x)的解析式化为y＝Asin(ωx＋φ) ＋k的形式就可以利用f(x)的图象过点求出ω的值及函数f(x)的最小正周期，通过平移变换求出函数y＝g(x)的解析式，再由g＝和倍角公式求出cos 的值．

[解]　(1)函数f(x)＝2sin cos ωx

＝cos ωx

＝sin 2ωx＋·＝sin ＋.

∵f(x)的图象过点，∴sin ＋＝，∴2ω·＋＝kπ，k∈Z，即ω＝.

再结合0＜ω＜2，可得ω＝1，

∴f(x)＝sin ＋，故它的最小正周期为＝π.

(2)将y＝f(x)＝sin ＋的图象向右平移个单位，

得到函数y＝g(x)＝sin＋的图象．

已知g＝＝sin ＋，

∴sin ＝，

∴cos ＝1－2sin2＝.

解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等．

[跟踪训练]

(2019·安徽皖中名校联考)已知函数

f(x)＝sin cos x＋cos2x－.

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间；

(2)求函数f(x)在上的值域．

解：f(x)＝cos x＋cos2x－

＝sin x·cos x＋cos2x－

＝sin 2x＋·－

＝

＝sin .

(1)T＝π，

递增区间满足2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

据此可得，单调递增区间为，k∈Z，

递减区间满足2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

据此可得，单调递减区间为，k∈Z.

(2)∵x∈，∴2x＋∈，

∴sin ∈，

∴sin ∈，

∴f(x)的值域为.

1．(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　 )

A．－　　　　　　　　　 B．－

C.  D.

解析：A　[sin 2α＝2sin αcos α＝＝－.故选A.]

2．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝， 则α＋β等于(　　)

A.  B.

C.和  D．－和－

解析：A　[由于α，β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.

所以cos (α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，

所以α＋β＝.]

3．(2020·新乡市三模)已知<α<π且sin ＝，则cos 等于(　　 )

A.  B.

C.  D.

解析：D　[∵<α<π，sin ＝，

∴＜α＋＜，可得cos

＝－＝－，

∴cos ＝cos

＝cos cos＋sin sin

＝×＋×＝.]

4．若函数f(x)＝4sin sin ωx＋cos (2π－2ωx)在区间上单调递增，则正数ω的最大值为(　　 )

A.  B.

C.  D.

解析：B　[因为f(x)＝4·sin ωx＋cos 2ωx＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋2·＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋1.由函数y＝f(x)在区间上单调递增知，所以－≤＝，即3π≤，结合ω>0，可得0<ω≤.所以正数ω的最大值为，故选B.]

5．若锐角φ满足sin φ－cos φ＝，则函数f(x)＝cos2(x＋φ)的单调增区间为(　　 )

A.，(k∈Z)

B.，(k∈Z)

C.，(k∈Z)

D.，(k∈Z)

解析：D　[锐角φ满足sin φ－cos φ＝，

∴1－2sin φcos φ＝，∴sin 2φ＝；

又sin φ＞，∴2φ＝，解得φ＝；

∴函数f(x)＝cos2(x＋φ)＝＝＋cos ，

∴2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z；

∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)，即，k∈Z.]

6．已知θ是第四象限角，且sin＝，

则tan＝　________　.

解析：∵θ是第四象限角，

∴－＋2kπ<θ<2kπ，则－＋2kπ<θ＋<＋2kπ，k∈Z.

又sin＝，

∴cos ＝＝＝，

∴cos ＝sin ＝，sin＝cos ＝，

∴tan ＝－tan ＝－

＝－＝－.

答案：－

7．(2020·贵阳市一模)已知tan(π＋α)＝2，则cos 2α＋sin 2α＝　________　.

解析：∵tan (π＋α)＝tan α＝2，

∴sin 2α＋cos 2α＝

＝＝＝.

答案：

8.＝　________　.

解析：原式＝

＝

＝＝

＝＝－4.

答案：－4

9．(2020·泉州市模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．

(1)求sin 2α－tan α的值；

(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．

解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，

∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.

∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.

(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，

∴g(x)＝cos－2cos2x

＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，

∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.

∴－≤sin≤1，

∴－2≤2sin－1≤1，

故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．

10．(2020·南京市模拟)在平面直角坐标系xOy中，锐角α，β的顶点为坐标原点O，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O的交点分别为P，Q.已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为.

(1)求cos 2α的值；

(2)求2α－β的值．

解：(1)因为点P的横坐标为，P在单位圆上，α为锐角，

所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.

(2)因为点Q的纵坐标为，所以sin β＝.

又因为β为锐角，所以cos β＝.

因为cos α＝，且α为锐角，所以sin α＝，

因此sin 2α＝2sin αcos α＝，

所以sin (2α－β)＝×－×＝.

因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜，又β为锐角，所以－＜2α－β＜，所以2α－β＝.