2020届高考数学二轮教师用书：第三章第6节　正弦定理和余弦定理及其应用

第6节　正弦定理和余弦定理及其应用

1．正、余弦定理

在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

2.S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.

3．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：

4.解三角形在实际问题中的应用

(1)常见的几种题型

测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．

(2)实际应用中的常用术语

　在△ABC中，常有以下结论

(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.

(2)在三角形中大边对大角，大角对大边．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.

(5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C.

(6)∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.

[思考辨析]

判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　　 )

(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.(　　 )

(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．(　　 )

(4)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　 )

(5)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．(　　 )

(6)方位角大小的范围是[0,2π)，方向角大小的范围一般是.(　　 )

答案：(1)×　(2)√　(3)×　 (4)×　(5)√　(6)√

[小题查验]

1．(2019·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为　____________　.

解析：由余弦定理得：36＝c2＋4c2－2·c·2ccos，

解得c＝2，∴△ABC的面积S＝·c·2csin

＝×2×12×＝6.

答案：6

2．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2c2＝2a2＋2b2＋ab，则△ABC是(　　 )

A．钝角三角形　　　　　 B．直角三角形

C．锐角三角形  D．等边三角形

解析：A　[∵2c2＝2a2＋2b2＋ab，∴a2＋b2－c2＝－ab，

∴cos C＝＝－<0，即90°<C<180°.

∴△ABC是钝角三角形．故选A.]

3．(2018·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为，则C＝(　　 )

A.  B.

C.  D.

解析：C　[由题可知S△ABC＝absin C＝，所以a2＋b2－c2＝2absin C.

由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcos C，所以sin C＝cos C

∵C∈(0，π)，∴C＝.]

4．(教材改编)在△ABC中，已知A＝60°，B＝45°，c＝20，则a＝　________　.

答案：10(3－)

5．某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为　________　 m.

解析：过点D作DE∥AC交BC于E，因为∠DAC＝30°，故∠ADE＝150°.于是∠ADB＝360°－150°－60°＝150°.

又∠BAD＝45°－30°＝15°，

故∠ABD＝15°，由正弦定理得AB＝

＝＝500(＋)(m)．

所以在Rt△ABC中，BC＝ABsin 45°＝500(＋1)(m)．

答案：500(＋1)

考点一　正、余弦定理的应用(自主练透)

[题组集训]

1．(2018·全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝(　　 )

A．4　　　　　　　　 B.

C.  D．2

解析：A　[因为cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－，

所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝1＋25－2×1×5×＝32，∴c＝4，选A.]

2．(2020·重庆市模拟)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若(a－b)(sin A＋sin B)＝c(sin C＋sin B)，则角A等于(　　 )

A.　　　 B.　　　

C.　　　                               D.

解析：D　[∵(a－b)(sin A＋sin B)＝c(sin C＋sin B)，

∴(a－b)(a＋b)＝c(c＋b)，

∴a2－c2－b2＝bc，

由余弦定理可得cos A＝＝－

∵A是三角形内角，∴A＝.故选D.]

3．(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)

A．6  B．5

C．4  D．3

解析：A　[∵asin A－bsin B＝4csin C，

∴a2－b2＝4c2，∵cos A＝－，

∴＝－，即＝－，

∴＝4×＝6.]

(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．

考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状(子母变式)

 [母题]　设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　 )

A．锐角三角形　　　　 B．直角三角形

C．钝角三角形  D．不确定

[解析]　B　[∵bcos C＋ccos B＝asin A，由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.又sin A>0，∴sin A＝1，∴A＝，故△ABC为直角三角形．]

[子题1]　本例条件不变，若＝，判断△ABC的形状．

解：由＝，得＝，

∴sin Acos A＝cos Bsin B，∴sin 2A＝sin 2B.

∵A、B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，

∴A＝B或A＋B＝，

∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．

[子题2]　本例条件不变，若a＝2bcos C，判断△ABC的形状．

解：法一：因为a＝2bcos C，所以由余弦定理得a＝2b·，整理得b2＝c2，则此三角形一定是等腰三角形．

法二：∵sin A＝2sin Bcos C，∴sin (B＋C)＝2sin Bcos C，

∴sin(B－C)＝0.∵－π<B－C<π，

∴B－C＝0，B＝C，则此三角形定是等腰三角形．

判定三角形形状的两种常用途径

(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．

(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．

提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响．

考点三　与三角形面积有关的问题(师生共研)

数学运算——解三角形中的核心素养

数学运算是在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果等．解三角形中的数学运算主要是指利用正、余弦定理和已知条件求三角形中未知的边和角，以加强数学运算的素养．

[典例]　(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.

(1)求c；

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

[思维导引]　(1)由已知条件sin A＋cos A＝0，先求角A，再由余弦定理求边c；先求△ABC的面积，再利用△ABD面积与△ACD面积的比值求△ABD的面积．

[解]　(1)由已知得tan A＝－，所以∠BAC＝

在△ABC中，由余弦定理得，

28＝4＋c2－4c cos，即c2＋2c－24＝0，

解得c＝－6(舍去)，c＝4.

(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝，

故△ABD面积与△ACD面积的比值为

＝1，

又△ABC的面积为×4×2sin ∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.

三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．

(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[跟踪训练]

(2019·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin＝bsin A.

(1)求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

解析：这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用(此题也可以用余弦定理求解)，最后考查ΔABC是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题．

(1)根据题意asin＝bsin A，由正弦定理得sin Asin＝sin Bsin A，因为0＜A＜π，故sin A＞0，消去sin A得sin＝sin              B.

0＜B＜π，0＜＜，因为故＝B或者＋B＝π，而根据题意A＋B＋C＝π，故＋B＝π不成立，所以＝B，又因为A＋B＋C＝π，代入得3B＝π，所以B＝.

(2)因为ΔABC是锐角三角形，又由前问B＝，＜A，C＜，A＋B＋C＝π得到A＋C＝π，故＜C＜，又应用正弦定理＝，由三角形面积公式有S△ABC＝ac·sin B＝c2·sin B＝c2·sin B＝·＝·＝·＝cot C＋.又因＜C＜，故＝cot＋＜S△ABC＜cot＋＝，故＜S△ABC＜.

故S△ABC的取值范围是.

考点四　解三角形的实际应用

[典例]　如图所示，有两座建筑物AB和CD都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A、C之间的距离，但只有卷尺和测量仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF，用卷尺测得EF的长度为a，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.请你用文字和公式写出计算A、C之间距离的步骤和结果．

[解析]　第一步：在△AEF中，利用正弦定理，

得＝，

解得AE＝；

第二步：在△CEF中，同理可得CE＝；

第三步：在△ACE中，利用余弦定理，

得AC＝＝

.

解三角形应用题的常见情况及方法

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件充足的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

(3)解三角形应用题的一般步骤

[跟踪训练]

如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝　________　m.

解析：在Rt△ABC中，∠CAB＝45°，BC＝100 m，所以AC＝100 m．在△AMC中，∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，从而∠AMC＝45°，

由正弦定理得，＝，因此AM＝100 m.

在Rt△MNA中，AM＝100 m，∠MAN＝60°，

由＝sin 60°得MN＝100×＝150 m，故填150.

答案：150

1．(2020·莆田市二模)在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C＝－，则AC的值为(　　 )

A．2　　　　　　　　　　 B．3

C．4  D．5

解析：B　[△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cos C＝－，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即16＝4＋b2－4b×，

化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，

∴b＝AC＝3.故选B.]

2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有(　　 )

A．无解  B．两解

C．一解  D．解的个数不确定

解析：B　[∵＝，∴sin B＝sin A

＝sin 45°，∴sin B＝.

又∵a＜b，∴B有两个．]

3．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sin A＝(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：D　[∵在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，∴AB＝BC.

由余弦定理得

AC＝

＝ ＝BC，

所以BC·BC＝AB·AC·sin A＝·BC·BC·sin A，

∴sin A＝，故选D.]

4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccos A，c＝2bcos A，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形  B．锐角三角形

C．等边三角形  D．等腰直角三角形

解析：C　[由正弦定理，得sin B＝2sin Ccos A，sin C＝2sin Bcos A，即sin(A＋C)＝2sin Ccos A＝sin Acos C＋cos Asin C，即sin Acos C－cos Asin C＝0，所以sin (A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形为等边三角形．故选C.]

5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为(　　)

A．6  B．3

C．2  D．2或3

解析：D　[因为S△ABC＝2＝bcsin A，

所以bc＝6，又因为sin A＝，所以cos A＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.]

6．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝(－1)cos B，c＝　________　，求角A.(答案提示：A＝60°，请将条件补充完整)

解析：由题知1＋cos(A＋C)＝(－1)cos B，所以1－cos B＝(－1)cos B，解得cos B＝，所以B＝45°.

又A＝60°，所以C＝75°.根据正弦定理，得＝，解得c＝.故应填.

答案：

7．(2020·合肥市模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝45°，2bsin B－csin C＝2asin A，且△ABC的面积等于3，则b＝　________　.

解析：∵A＝45°，2bsin B－csin C＝2asin A，

∴由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，①

由正弦定理可得：2b2－c2＝2a2，②

又S△ABC＝bcsin A＝3，即bc＝6，③

由①②③联立解得b＝3.

答案：3

8．(2018·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为　________　.

解析：根据题意，结合正弦定理可得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，即sin A＝，

结合余弦定理可得2bccos A＝8，

所以A为锐角，且cos A＝，从而求得bc＝，

所以△ABC的面积为S＝bcsin A＝··

＝.

答案：

9．(2020·渭南市模拟)已知f(x)＝sin －cos x.

(1)写出f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值；

(2)已知 a、b、c 分别为△ABC的内角A、B、C的对边，b＝5，cos A＝且 f(B)＝1，求边a的长．

解：f(x)＝sin －cos x＝sin xcos ＋cos xsin －cos x＝sin x＋cos x

＝sin ；

(1)f(x)的最小正周期T＝＝2π，

当x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；

(2)△ABC中，b＝5，cos A＝，

∴sin A＝＝；

又 f(B)＝1，∴sin ＝1，

∴B＋＝，解得B＝，

∴＝，＝，

解得a＝8.

10．(2020·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2，C＝.

(1)当2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C时，求△ABC的面积；

(2)求△ABC周长的最大值．

解：(1)由2sin 2A＋sin(2B＋C)＝sin C得

4sin Acos A－sin(B－A)＝sin(A＋B)，

得2sin Acos A＝sin Bcos A，当cos A＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，

当cos A≠0时，sin B＝2sin A，由正弦定理得b＝2a，联立，解得a＝，b＝.故△ABC的面积为S△ABC＝absin C＝.

(2)由余弦定理及已知条件可得：a2＋b2－ab＝4，

由(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3×得a＋b≤4，故△ABC周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时，等号成立．