2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题四高考解答题的审题与答题示范（四）

典例

(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？

审题路线

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标准答案

阅卷现场

(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，500.  ①

由表格数据知辨表

P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，

P(X＝500)＝＝0.4.  ②

因此X的分布列为

 ③

(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； ④

因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.

 ⑤

当200≤n<300时，若最高气温不低于20，则Y＝6n－4n＝2n；

若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n； ⑥

因此E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n， ⑦

所以n＝300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元． ⑧

第(1)问踩点得分说明

①正确写出X所有可能取值得1分；

②求出随机变量对应的概率值，每个1分；

③写出随机变量的分布列得2分.

第(2)问踩点得分说明

④正确写出在300≤n≤500时的各关系式得1分；

⑤正确写出在300≤n≤500时E(Y)＝640－0.4n得1分；

⑥正确写出在200≤n＜300时的各关系式得1分；

⑦正确写出在200≤n＜300时E(Y)＝160＋1.2n得1分；

⑧得出n＝300时，Y的数学期望达到最大值，并求出最大值得2分.