2020新课标高考数学二轮讲义：第二部分专题三高考解答题的审题与答题示范（三）

典例

(本题满分14分)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A­PB­C的余弦值.

审题路线

(1)AB∥CDAB⊥PD―→AB⊥平面PAD―→结论

(2)―→PF⊥平面ABCD―→以F为坐标原点建系―→一些点的坐标―→平面PCB、平面PAB的法向量―→二面角的余弦值

标准答案

阅卷现场

(1)由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD，又PD∩PA＝P，PD，PA⊂平面PAD，

所以AB⊥平面PAD垂直模型．①

又AB⊂平面PAB，垂直模型 ②

所以平面PAB⊥平面PAD垂直模型．③

(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立空间直角坐标系．④

由(1)及已知可得A，P，B，C.所以＝，＝(，0，0)，＝，＝(0，1，0)．⑤

设n＝(x，y，z)是平面PCB的法向量，则即可取n＝(0，－1，－)．⑥

设m＝(x′，y′，z′)是平面PAB的法向量，则

即可取m＝(1，0，1)．⑦

则cos〈n，m〉＝＝－，⑧

由图知二面角A­PB­C为钝二面角，

所以二面角A­PB­C的余弦值为－.⑨

第(1)问踩点得分说明

①证得AB⊥平面PAD得2分，直接写出不得分；

②写出AB⊂平面PAB得1分，此步没有扣1分；

③写出结论平面PAB⊥平面PAD得1分.

第(2)问踩点得分说明

④正确建立空间直角坐标系得1分；

⑤写出相应的坐标及向量得2分(酌情)；

⑥正确求出平面PCB的一个法向量得2分，错误不得分；

⑦正确求出平面PAB的一个法向量得2分，错误不得分；

⑧写出公式cos〈n，m〉＝得1分，正确求出值再得1分；

⑨写出正确结果得1分，不写不得分.