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    2019版数学(文)二轮复习通用版讲义:专题七第二讲选修4-5 不等式选讲

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    第二讲  选修45 不等式选讲

     [考情分析]

    1.不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是绝对值不等式的解法以及不等式的证明,其中绝对值不等式的解法以及绝对值不等式与函数综合问题的求解是命题的热点.

    2.该部分命题形式单一、稳定,难度中等,备考时应注意分类讨论思想的应用.   

    考点一 绝对值不等式的解法

    [典例感悟]

    [典例] (2018·全国卷)设函数f(x)5|xa||x2|.

    (1)a1时,求不等式f(x)0的解集;

    (2)f(x)1,求a的取值范围.

    [] (1)a1时,f(x)

    x<1时,由2x40,解得-2x<1;当-1x2时,显然满足题意;当x>2时,由-2x60,解得2<x3,故f(x)0的解集为{x|2x3}

    (2)f(x)1等价于|xa||x2|4.|xa||x2||a2|,且当x2时等号成立.故f(x)1等价于|a2|4.|a2|4可得a6a2.所以a的取值范围是(,-6][2,+)

    [方法技巧]

    绝对值不等式的5种常用解法

    (1)基本性质法:对aR|x|<aa<x<a|x|>ax<ax>a.

    (2)平方法:两边平方去掉绝对值符号.

    (3)零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式()求解.

    (4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.

    (5)数形结合法:在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.

    [演练冲关]

    (2019届高三·沈阳模拟)已知函数f(x)|xa|3x,其中aR.

    (1)a1时,求不等式f(x)3x|2x1|的解集;

    (2)若不等式f(x)0的解集为{x|x1},求a的值.

    解:(1)a1时,f(x)|x1|3x

    f(x)3x|2x1|,得|x1||2x1|0

    x>1时,x1(2x1)0,得x2,无解;

    当-x1时,1x(2x1)0,得-x0

    x<时,1x(2x1)0,得-2x<.

    不等式的解集为{x|2x0}

    (2)法一:|xa|3x0

    可得

    a>0时,不等式的解集为.

    由-=-1,得a2.

    a0时,不等式的解集为,不合题意.

    a<0时,不等式的解集为.

    =-1,得a=-4.

    综上,a2a=-4.

    法二:xa时,f(x)4xa,函数f(x)为增函数,

    由不等式f(x)0的解集为{x|x1}得,

    f(1)4×(1)a0,得a=-4.

    x<a时,f(x)2xa,函数f(x)为增函数,

    由不等式f(x)0的解集为{x|x1}得,

    f(1)2×(1)a0,得a2.

    经检验,a2a=-4都符合题意,

    a的值为24.

    考点二 不等式的证明

    [典例感悟]

    [典例] (2017·全国卷)已知a>0b>0a3b32.证明:

    (1)(ab)(a5b5)4

    (2)ab2.

    [证明] (1)(ab)(a5b5)a6ab5a5bb6(a3b3)22a3b3ab(a4b4)4ab(a2b2)24,当且仅当ab1时取等号.

    (2)因为(ab)3a33a2b3ab2b323ab(ab)2(ab)2,所以(ab)38,因此ab2,当且仅当ab1时取等号.

    [方法技巧]

    证明不等式的常用方法

    不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等.

    (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显,则考虑用分析法.

    (2)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以至少”“至多等方式给出的问题,则考虑用反证法.

    [演练冲关]

    设不等式||x1||x1||<2的解集为A.

    (1)求集合A

    (2)abcA,求证:>1.

    解:(1)由已知,令f(x)|x1||x1||f(x)|<2得-1<x<1,即A{x|1<x<1}

    (2)证明:要证>1,只需证|1abc|>|abc|

    只需证1a2b2c2>a2b2c2,只需证1a2b2>c2(1a2b2),只需证(1a2b2)(1c2)>0,由abcA,得-1<ab<1c2<1,所以(1a2b2)(1c2)>0恒成立.综上,>1.

    考点三 含绝对值不等式的恒成立问题

    [典例感悟]

    [典例] (2018·全国卷)已知f(x)|x1||ax1|.

    (1)a1时,求不等式f(x)>1的解集;

    (2)x(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.

    [] (1)a1f(x)|x1||x1|f(x)故不等式f(x)>1的解集为.

    (2)x(0,1)|x1||ax1|>x成立等价于当x(0,1)|ax1|<1成立a0则当x(0,1)|ax1|1a>0|ax1|<1的解集为所以10<a2.综上a的取值范围为(0,2]

    [方法技巧]

    已知不等式恒成立求参数范围问题的3种解法

    分离

    参数法

    运用f(x)a恒成立f(x)maxaf(x)a恒成立f(x)mina可解决恒成立中的参数取值范围问题

    更换

    主元法

    对于一些含参不等式恒成立问题,若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时,可转换思维角度,将主元与参数互换,常可得到简捷的解法

    数形

    结合法

    在研究曲线交点的恒成立问题时数形结合,揭示问题所蕴含的几何背景,发挥形象思维与抽象思维的优势,可直接解决问题

     

    [演练冲关]

    已知函数f(x)|2x1||2x3|g(x)|x1||xa|.

    (1)f(x)1的解集;

    (2)若对任意的tRsR,都有g(s)f(t).求a的取值范围.

    解:(1)因为函数f(x)|2x1||2x3|,故f(x)1,等价于|2x1||2x3|1

    等价于

    无解,解x,解x>.

    综上可得,不等式的解集为.

    (2)若对任意的tRsR,都有g(s)f(t),可得g(x)minf(x)max.

    函数f(x)|2x1||2x3||2x1(2x3)|4f(x)max4.

    g(x)|x1||xa||x1(xa)||a1|,故g(x)min|a1|.

    |a1|4,解得a3a5.

    a的取值范围为{a|a3a5}

    1(2018·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)|xm||x|mN*,存在实数x使f(x)<2成立.

    (1)求实数m的值;

    (2)α1β1f(α)f(β)4,求证:3.

    解:(1)因为|xm||x||(xm)x||m|.

    所以要使不等式|xm||x|<2有解,则|m|<2

    解得-2<m<2.因为mN*,所以m1.

    (2)证明:因为α1β1

    所以f(α)f(β)2α12β14

    αβ3

    所以(αβ)

    3.

    当且仅当,即α2β1时等号成立,

    3.

    2(2018·唐山模拟)f(x)|x|2|xa|(a>0)

    (1)a1时,解不等式f(x)4

    (2)f(x)4,求实数a的取值范围.

    解:(1)a1时,f(x)|x|2|x1|

    x<0时,由23x4,得-x<0

    0x1时,由2x4,得0x1

    x>1时,由3x24,得1<x2.

    综上,不等式f(x)4的解集为.

    (2)f(x)|x|2|xa|

    可见,f(x)(a]上单调递减,在(a,+)上单调递增.

    xa时,f(x)取得最小值a.

    f(x)4恒成立,则应a4.

    所以a的取值范围为[4,+)

    3(2018·全国卷)设函数f(x)|2x1||x1|.

    (1)画出yf(x)的图象;

    (2)x[0,+)时,f(x)axb,求ab的最小值.

    解:(1)f(x)

    yf(x)的图象如图所示.

    (2)(1)知,yf(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3b2时,f(x)axb[0,+)成立,因此ab的最小值为5.

    4(2018·开封模拟)已知函数f(x)|xm|m<0.

    (1)m=-1时,求解不等式f(x)f(x)2x

    (2)若不等式f(x)f(2x)<1的解集非空,求m的取值范围.

    解:(1)F(x)f(x)f(x)|x1||x1|

    F(x)G(x)解得{x|x2x0}

    (2)f(x)f(2x)|xm||2xm|m<0.

    g(x)f(x)f(2x)

    xm时,g(x)mxm2x2m3x,则g(x)m

    m<x<时,g(x)xmm2x=-x

    则-<g(x)<m

    x时,g(x)xm2xm3x2m

    g(x).

    g(x)的值域为

    不等式f(x)f(2x)<1的解集非空,

    1>,解得m>2

    由于m<0,则m的取值范围是(2,0)

    5(2018·昆明模拟)设函数f(x)|xa|(a0aR)

    (1)a1时,解不等式f(x)5

    (2)f(x)的最小值为g(a),求g(a)的最小值.

    解:(1)a1时,f(x)|x1||x2|

    f(x)

    x>1时,由2x15,得x2,故1<x2

    当-2x1时,由35,得xR,故-2x1

    x<2时,由-2x15,得x3,故-3x<2.

    综上,不等式的解集为[3,2]

    (2)f(x)|xa|

    所以g(a)

    因为|a|22

    当且仅当|a|

    a±时等号成立,

    所以g(a)min2.

    6(2018·陕西模拟)已知函数f(x)|2x1||x1|.

    (1)解不等式f(x)3

    (2)记函数g(x)f(x)|x1|的值域为M,若tM,证明:t213t.

    解:(1)依题意,得f(x)

    于是f(x)3

    解得-1x1.

    故不等式f(x)3的解集为{x|1x1}

    (2)证明:g(x)f(x)|x1||2x1||2x2||2x12x2|3

    当且仅当(2x1)(2x2)0时取等号,

    M[3,+)

    t213t等价于t23t10

    t23t1.

    tMt30t21>0

    0

    t213t.

    7(2018·福州模拟)设函数f(x)|x1|.

    (1)求不等式f(x)3f(x1)的解集;

    (2)已知关于x的不等式f(x)f(x1)|xa|的解集为M,若M,求实数a的取值范围.

    解:(1)因为f(x)3f(x1)

    所以|x1|3|x2|

    |x1||x2|3

    解得0x<11x22<x3

    所以0x3

    故不等式f(x)3f(x1)的解集为[0,3]

    (2) 因为M

    所以当x时,f(x)f(x1)|xa|恒成立,而f(x)f(x1)|xa||x1||x||xa|0|xa||x||x1|

    因为x,所以|xa|1

    x1ax1

    由题意,知x1ax1对于x恒成立,

    所以a2

    故实数a的取值范围为.

    8(2018·郑州模拟)已知f(x)|2x1||ax5|(0<a<5)

    (1)a1时,求不等式f(x)9的解集;

    (2)若函数yf(x)的最小值为4,求实数a的值.

    解:(1)a1时,f(x)|2x1||x5|

    f(x)9

    解得x1x5

    即所求不等式的解集为(,-1][5,+)

    (2)0<a<5>1

    f(x)

    x<时,f(x)单调递减,当x>时,f(x)单调递增,

    f(x)的最小值在上取得,

    上,当0<a2时,f(x)单调递增,当2<a5时,f(x)单调递减,

    解得a2.

     

     

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