2019版数学（文）二轮复习通用版讲义：专题六第三讲小题考法——不等式

第三讲  小题考法——不等式考点(一)不等式的性质及解法主要考查利用不等式的性质比较大小以及一元二次不等式的求解，有时会考查含参不等式恒成立时参数值或范围的求解.  [典例感悟][典例]　(1)(2018·岳阳模拟)若<<0，则下列结论不正确的是(　　)A．a2<b2　　　　　　 B．ab<b2C．a＋b<0  D．|a|＋|b|>|a＋b|(2)(2018·河北正定期中)关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，则不等式ax2＋bx－2<0的解集为(　　)A．(－3,1)  B．∪(2，＋∞)C.  D．(－1,2)(3)若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为________．[解析]　(1)由<<0，知a<0，且b<0，则a＋b<0.而－＝>0，又ab>0，故b<a<0，|a|<|b|，a2<b2，|a||b|<|b|2，即ab<b2，|a|＋|b|＝－a＋(－b)＝－(a＋b)＝|a＋b|，故A，B，C正确，D错误．(2)由关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)，可知方程x2＋ax＋b＝0的两实数根分别为－3,1，则解得所以不等式ax2＋bx－2<0可化为2x2－3x－2<0，即(2x＋1)(x－2)<0，解得－<x<2，即所求不等式的解集为.(3)原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0.①若1－m2＝0，则m＝1或－1.当m＝－1时，不等式可化为－1<0，显然不等式恒成立；当m＝1时，不等式可化为2x－1<0，解得x<，此时不等式的解集不是R，不符合题意．②若1－m2≠0，由不等式恒成立可得即解得m<－1或m>.综上，m的取值范围为(－∞，－1]∪.[答案]　(1)D　(2)C　(3)(－∞，－1]∪[方法技巧]1．判断关于不等式的命题真假的3种方法不等式性质法把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断函数单调性法当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断特殊值验证法给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断　　2.一元二次不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a; f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a.(2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方或[f(x)－g(x)]min>0(x∈I)．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常结合函数单调性、基本不等式等解题． [演练冲关]1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)A．p<q  B．p≤qC．p>q  D．p≥q解析：选B　p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)＝＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0，若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q，若a≠b，则p－q<0，此时p<q，综上，p≤q，故选B.2．(2018·湖北荆州月考)已知不等式x2－3x<0的解集是A，不等式x2＋x－6<0的解集是B，不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B，那么a＝(　　)A．－2  B．1C．－1  D．2解析：选A　解不等式x2－3x<0，得A＝{x|0<x<3}，解不等式x2＋x－6<0，得B＝{x|－3<x<2}，又不等式x2＋ax＋b<0的解集是A∩B＝{x|0<x<2}，由根与系数的关系得－a＝0＋2，解得a＝－2.故选A.3．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是________．解析：由于x>0，则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，而当x∈时，max＝－，∴a≥－，故a的最小值为－.答案：－考点(二)基本不等式及其应用 主要考查利用基本不等式求最值，常与函数等知识交汇命题. [典例感悟][典例]　(1)(2019届高三·湘中名校联考)若正数a，b满足：＋＝1，则＋的最小值为(　　)A．2  B．C.  D．1＋(2)已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值为________．(3)已知x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最大值是________．[解析]　(1)由a，b为正数，且＋＝1，得b＝＞0，所以a－1＞0，所以＋＝＋＝＋≥2＝2，当且仅当＝和＋＝1同时成立，即a＝b＝3时等号成立，所以＋的最小值为2.(2)由已知得log2(m－2)＋log2(2n－2)＝3，即log2[(m－2)(2n－2)]＝3，因此于是n＝＋1.所以m＋n＝m＋＋1＝m－2＋＋3≥2＋3＝7.当且仅当m－2＝，即m＝4时等号成立，此时m＋n取得最小值7.(3)∵x>0，y>0，∴xy＝·x·3y≤2＝，当且仅当x＝3y＝时，等号成立，故xy的最大值是.[答案]　(1)A　(2)7　(3) [方法技巧]利用基本不等式求最值的3种解题技巧[演练冲关]1．(2018·贵阳一模)已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(　　)A．3  B．4C.   D.解析：选B　由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4，即x＋2y的最小值为4.2．(2017·山东高考)若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．解析：∵直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,2)，∴＋＝1，∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时等号成立，∴2a＋b的最小值为8.答案：83．(2017·天津高考)若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．解析：因为ab>0，所以≥＝＝4ab＋≥2＝4，当且仅当时取等号，故的最小值是4.答案：44．(2018·温州一模)已知2a＋4b＝2(a，b∈R)，则a＋2b的最大值为________．解析：2a＋4b＝2a＋22b＝2≥2，当且仅当a＝2b时，等号成立，则2a＋2b≤1＝20，所以a＋2b≤0，所以a＋2b的最大值为0.答案：0 考点(三)简单的线性规划问题主要考查线性约束条件、可行域等概念，考查在约束条件下最值的求法，以及已知最优解或可行域的情况求参数的值或取值范围. [典例感悟][典例]　(1)(2018·全国卷Ⅰ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．(2)(2017·全国卷Ⅰ)设x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最小值为________．(3)甲、乙两工厂根据赛事组委会要求为获奖者定做某工艺品作为奖品，其中一等奖奖品3件，二等奖奖品6件；制作一等奖、二等奖所用原料完全相同，但工艺不同，故价格有所差异．甲厂收费便宜，但原料有限，最多只能制作4件奖品，乙厂原料充足，但收费较贵，其具体收费如下表所示，则组委会定做该工艺品的费用总和最低为________元.奖品收费(元/件)工厂一等奖奖品二等奖奖品甲500400乙800600 [解析]　(1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由z＝3x＋2y，得y＝－x＋.作直线l0：y＝－x.平移直线l0，当直线y＝－x＋过点(2,0)时，z取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.(2)画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝x－过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得∴zmin＝－5.(3)设甲厂生产一等奖奖品x件，二等奖奖品y件，x，y∈N，则乙厂生产一等奖奖品(3－x)件，二等奖奖品(6－y)件．则x，y满足设费用为z元，则z＝500x＋400y＋800(3－x)＋600(6－y)＝－300x－200y＋6 000，作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示．由图象知当直线经过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z最小．由解得即A(3，1)，故组委会定做该工艺品的费用总和最低为zmin＝－300×3－200×1＋6 000＝4 900(元)．[答案]　(1)6　(2)－5　(3)4 900[方法技巧]解决线性规划问题的3步骤[演练冲关]1．(2018·唐山模拟)设变量x，y满足则目标函数z＝2x＋y的最小值为(　　)A.　　　　　　　　　 B．2C．4  D．6解析：选A　作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．当直线y＝－2x＋z过点C时，在y轴上的截距最小，此时z最小，由得所以C，zmin＝2×＋＝，选择A.2．(2019届高三·福州四校联考)设x，y满足约束条件其中a>0，若的最大值为2，则a的值为(　　)A.  B．C.   D.解析：选C　设z＝，则y＝x，当z＝2时，y＝－x，作出x，y满足的约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线y＝－x，易知此直线与区域的边界线2x－2y－1＝0的交点为，当直线x＝a过点时a＝，又此时直线y＝x的斜率＝－1＋的最小值为－，即z的最大值为2，符合题意，所以a的值为，故选C.3．(2019届高三·河北五个一名校联考)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为(　　) 甲乙原料限额A/吨3212B/吨128 A．15万元  B．16万元C．17万元  D．18万元  解析：选D　设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知，z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由得∴M(2,3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.4．(2019届高三·山西八校联考)若实数x，y满足不等式组且3(x－a)＋2(y＋1)的最大值为5，则a＝________.解析：设z＝3(x－a)＋2(y＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由z＝3(x－a)＋2(y＋1)得y＝－x＋，作出直线y＝－x，平移该直线，易知当直线过点A(1,3)时，z取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a)＋2(3＋1)＝5，解得a＝2.答案：2 [必备知能·自主补缺]　依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干[主干知识要记牢]1．不等式的性质(1)a＞b，b＞c⇒a＞c；(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c；(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(6)a＞b＞0，n∈N，n＞1⇒an＞bn，＞.2．简单分式不等式的解法(1)＞0⇔f(x)g(x)＞0，＜0⇔f(x)g(x)＜0.(2)≥0⇔≤0⇔(3)对于形如＞a(≥a)的分式不等式要采取：“移项—通分—化乘积”的方法转化为(1)或(2)的形式求解．[二级结论要用好] 1．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是2．基本不等式的重要结论(1)≥(a＞0，b＞0)．(2)ab≤2(a，b∈R)．(3) ≥≥(a＞0，b＞0)．3．线性规划中的两个重要结论(1)点M(x0，y0)在直线l：Ax＋By＋C＝0(B＞0)上方(或下方)⇔Ax0＋By0＋C＞0(或＜0)．(2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l：Ax＋By＋C＝0同侧(或异侧)⇔(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0(或＜0)．[易错易混要明了]1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错．2．解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视对系数a符号的讨论导致漏解或错解．[针对练1]　抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为(－，0)，(，0)，则ax2＋bx＋c>0的解的情况是(　　)A．{x|－<x<}  B．{x|x>或x<－}C．{x|x≠±}  D．不确定，与a的符号有关解析：选D　当a>0时，解集为x>或x<－；当a<0时，解集为－<x<.3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.[针对练2]　不等式≥0的解集为________．解析：≥0即解得x≥1或x<－2.答案：{x|x≥1或x<－2}4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值时，就不能利用基本不等式求解；求函数y＝x＋(x<0)的最值时，应先转化为y＝－再求解．A级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·南宁、柳州联考)设a>b，a，b，c∈R，则下列式子正确的是(　　)A．ac2>bc2　　　　　　　　 B.>1C．a－c>b－c  D．a2>b2解析：选C　a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；a>b，若b<0，则<1，故B错；a>b，不论c取何值，都有a－c>b－c，故C正确；a>b，若a，b都小于0，则a2<b2，故D错．于是选C.2．已知f(n)＝－n，g(n)＝n－，φ(n)＝，n∈N*，n>2，则f(n)，g(n)，φ(n)的大小关系是(　　)A．φ(n)<f(n)<g(n)  B．φ(n)≤f(n)<g(n)C．f(n)<φ(n)<g(n)  D．f(n)≤φ(n)<g(n)解析：选C　f(n)＝－n＝<，g(n)＝n－＝>，所以f(n)<φ(n)<g(n)．故选C.3．(2018·日照二模)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则＋的最小值为(　　)A．24  B．25C．26  D．27解析：选B　因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，a>0，b>0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25.4．(2018·陕西模拟)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：选C　作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移该直线，可知当直线过点A(2，－1)时，z＝2x＋y取得最大值，且zmax＝2×2－1＝3.5．不等式>0的解集为(　　)A．{x|－2<x<－1，或x>3}B．{x|－3<x<－1，或x>2}C．{x|x<－3，或－1<x<2}D．{x|x<－3，或x>2}解析：选B　>0⇔或解得－3<x<－1或x>2.选B.6．若函数f(x)＝则“0<x<1”是“f(x)<0”的(　　)A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件解析：选A　当0<x<1时，f(x)＝log2x<0，所以“0<x<1”⇒“f(x)<0”；若f(x)<0，则或解得0<x<1或－1<x≤0，所以－1<x<1，所以“f(x)<0”⇒/ “0<x<1”．故选A.7．(2018·重庆模拟)若实数x，y满足约束条件则2x＋y的最小值为(　　)A．3  B．4C．5  D．7  解析：选B　作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，令z＝2x＋y，作出直线2x＋y＝0并平移该直线，易知当直线经过点A(1,2)时，目标函数z＝2x＋y取得最小值，且zmin＝2×1＋2＝4，故选B.8．(2018·广东模拟)已知函数f(x)＝若f(3－a2)<f(2a)，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,3)  B．(－3,1)C．(－2,0)  D．(－3,2)解析：选B　如图，画出f(x)的图象，由图象易得f(x)在R上单调递减，∵f(3－a2)<f(2a)，∴3－a2>2a，解得－3<a<1.9．(2018·山东青岛模拟)已知a为正的常数，若不等式≥1＋－对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为(　　)A．6  B．7C．8  D．9解析：选C　原不等式可化为≥1＋－，令＝t，t≥1，则x＝t2－1.所以≥1＋－t＝＝对t≥1恒成立，所以≥对t≥1恒成立．又a为正的常数，所以a≤[2(t＋1)2]min＝8，故a的最大值是8.10．(2018·池州摸底)已知a＞b＞1，且2logab＋3logba＝7，则a＋的最小值为(　　)A．3  B．C．2   D.解析：选A　令logab＝t，由a＞b＞1得0＜t＜1,2logab＋3logba＝2t＋＝7，得t＝，即logab＝，a＝b2，所以a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝2时取等号．故a＋的最小值为3.11．(2019届高三·湖北八校联考)已知关于x的不等式ax2－ax－2a2>1(a>0，a≠1)的解集为(－a,2a)，且函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围为(　　)A．(－1,0)  B．[－1,0]C．(0,1]  D．[－1,1]解析：选B　当a>1时，由题意可得x2－ax－2a2>0的解集为(－a,2a)，这显然是不可能的．当0<a<1时，由题意可得x2－ax－2a2<0的解集为(－a,2a)，且 x2＋2mx－m≥0，即x2＋2mx－m≥0恒成立，故对于方程x2＋2mx－m＝0，有Δ＝4m2＋4m≤0，解得－1≤m≤0.12．(2018·郑州模拟)若变量x，y满足条件则xy的取值范围是(　　)A．[0,5]  B．C.  D．[0,9]解析：选D　依题意作出题中的不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，结合图形可知，xy的最小值为0(当x＝1，y＝0时取得)；xy≤x(6－x)≤2＝9，即xy≤9，当x＝3，y＝3时取等号，即xy的最大值为9，故选D.二、填空题13．已知关于x的不等式2x＋≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．解析：由x>a，知x－a>0，则2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 ＋2a＝4＋2a，由题意可知4＋2a≥7，解得a≥，即实数a的最小值为.答案：14．(2018·长春模拟)已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－<α－β<，0<α＋β<π，所以－π<2(α－β)<π，故－π<3α－β<2π.答案：(－π，2π)15．(2018·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．由图可知当直线x＋y＝z过点A时z取得最大值．由得点A(5,4)，∴zmax＝5＋4＝9.答案：916．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，则实数c＝________.解析：由函数值域为[0，＋∞)知，函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的图象在x轴上方，且与x轴相切，因此有Δ＝a2－4b＝0，即b＝，∴f(x)＝x2＋ax＋b＝x2＋ax＋＝2.∴f(x)＝2<c，解得－<x＋<，－－<x<－.∵不等式f(x)<c的解集为(m，m＋6)，∴－＝2＝6，解得c＝9.答案：9B级——难度小题强化练1．(2018·合肥二模)若关于x的不等式x2＋ax－2＜0在区间[1,4]上有解，则实数a的取值范围为(　　)A．(－∞，1)  B．(－∞，1]C．(1，＋∞)  D．[1，＋∞)解析：选A　法一：因为x∈[1,4]，则不等式x2＋ax－2＜0可化为a＜＝－x，设f(x)＝－x，x∈[1,4]，由题意得只需a＜f(x)max，因为函数f(x)为区间[1,4]上的减函数，所以f(x)max＝f(1)＝1，故a＜1.法二：设g(x)＝x2＋ax－2，函数g(x)的图象是开口向上的抛物线，过定点(0，－2)，因为g(x)＜0在区间[1,4]上有解，所以g(1)＜0，解得a＜1.2．(2018·衡水二模)若关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，则x1＋x2＋的最小值是(　　)A.  B．C.   D.解析：选C　∵关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，∴Δ＝16a2－12a2＝4a2＞0，又x1＋x2＝4a，x1x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，当且仅当a＝时取等号．∴x1＋x2＋的最小值是.3．(2018·沈阳一模)设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，若A⊆[1,3]，则a的取值范围为(　　)A.  B．C.  D．[－1,3]解析：选A　设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，因为不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为A，且A⊆[1,3]，所以对于方程x2－2ax＋a＋2＝0，若A＝∅，则Δ＝4a2－4(a＋2)<0，即a2－a－2<0，解得－1<a<2；若A≠∅，则即所以2≤a≤.综上，a的取值范围为，故选A.4．(2018·武汉调研)某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需消耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为(　　)A．1 800元  B．2 100元C．2 400元  D．2 700元解析：选C　设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有z＝300x＋400y.作出所表示的可行域，如图中阴影部分所示，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0,6)时，z有最大值，zmax＝400×6＝2 400，故选C.5．当x∈(0,1)时，不等式≥m－恒成立，则m的最大值为________．解析：由已知不等式可得m≤＋，∵x∈(0,1)，∴1－x∈(0,1)，∵x＋(1－x)＝1，∴＋＝[x＋(1－x)]＝5＋＋≥5＋2 ＝9，当且仅当＝，即x＝时取等号，∴m≤9，即实数m的最大值为9.答案：96．(2018·洛阳尖子生统考)已知x，y满足条件则的取值范围是________．解析：画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，＝1＋2×，表示可行域中的点(x，y)与点P(－1，－1)连线的斜率．由图可知，当x＝0，y＝3时，取得最大值，且max＝9.因为点P(－1，－1)在直线y＝x上，所以当点(x，y)在线段AO上时，取得最小值，且min＝3.所以的取值范围是[3,9]．答案：[3,9]