2019届高三理科数学二轮复习配套教案：第一篇专题一第3讲　不等式与线性规划、计数原理与二项式定理

第3讲　不等式与线性规划、计数原理与二项式定理

(对应学生用书第6页)
　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　

1.(2018·全国Ⅲ卷,理5)x2+5的展开式中x4的系数为(　C　)
(A)10 (B)20 (C)40 (D)80
解析:x2+5的展开式的通项公式为Tr+1=·(x2)5-r·r=·2r·x10-3r,令10-3r=4,得r=2.故展开式中x4的系数为·22=40.故选C.
2.(2017·全国Ⅲ卷,理4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为(　C　)
(A)-80 (B)-40 (C)40 (D)80
解析:展开式中含x3y3的项为x·(2x)2·(-y)3+y·(2x)3·(-y)2.故系数为-22+8=40.选C.
3.(2017·全国Ⅱ卷,理6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(　D　)
(A)12种 (B)18种 (C)24种 (D)36种
解析:先将4项工作分为3组,再排列,共有=36种不同的方法.故选D.
4.(2017·全国Ⅰ卷,理6)1+(1+x)6展开式中x2的系数为(　C　)
(A)15 (B)20 (C)30 (D)35
解析:因为(1+x)6展开式的通项为Tr+1=xr,
所以1+(1+x)6的x2的系数为+=30.
故选C.
5.(2018·全国Ⅰ卷,理15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有　　　　种.(用数字填写答案) 
解析:法一　按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有种,有2位女生参加有种,故共有+=2×6+4=16(种).
法二　从2位女生,4位男生中选3人,共有种情况,没有女生参加的情况有种,故共有-=20-4=16(种).　
答案:16
6.(2018·全国Ⅰ卷,理13)若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为　　　　. 
解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.

由z=3x+2y得y=-x+.
作直线l0:y=-x.
平移直线l0,当直线y=-x+过点(2,0)时,
z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.
答案:6
7.(2018·全国Ⅱ卷,理14)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为　　　　. 
解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).

x+y取得最大值⇔斜率为-1的直线x+y=z(z看作常数)在y轴上的截距最大,
由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.
由得点C(5,4),
所以zmax=5+4=9.
答案:9
8.(2016·全国Ⅰ卷,理16)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　　　　元. 
解析:设生产A产品x件,B产品y件,产品A,B的利润之和为z.则

z=2 100x+900y,画出可行域.

由解得
所以zmax=2 100×60+900×100=216 000,
所以生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216 000元.
答案:216 000

1.考查角度
(1)不等式:与集合综合不等式的解法,在解答题中以工具性知识为主考查不等式解法、基本不等式的应用.
(2)线性规划:二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划问题.
(3)计数原理:考查简单的排列组合应用题.
(4)二项式定理:考查二项式的通项公式、二项展开式的系数等简单问题.
2.题型及难易度
(1)题型:选择题、填空题.
(2)难易度:中等难度.

(对应学生用书第6~8页)
　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
不等式
考向1　不等式的性质与解法
【例1】 (1)(2018·陕西西工大附中八模)如果a>b>1,c,②ln(a+c)>ln(b+c),③(a-c)caeb中,所有正确命题的序号是(　　)
(A)①②③ (B)①③④
(C)②③④ (D)①②④
(2)(2018·全国名校第三次大联考)不等式x2-2ax-3a20)的解集为　　　　. 
解析:(1)因为a>b>1,cln(b+c)不成立,
所以②错误,排除A,C,D,故选B.
(2)因为x2-2ax-3a2f(a)等价于2-a2>a,
即a2+a-20,
2a++=a+b+a-b++,
所以a+b+≥2,
当且仅当a+b=时取等号;
a-b+≥2,
当且仅当a-b=时取等号.
所以联立解得
a+b+a-b++≥2+2,
当且仅当时,取“=”,
即2a++取得最小值为2+2.
(2)设=λ,则=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.
由平面向量基本定理可得解得m=,
所以=+,令||=x,||=y,
则S△ABC=||·||·sin∠ACB=xy=,
所以xy=4,且x>0,y>0,
所以||2=x2+y2+xy=x2+y2+
≥2+=,
当且仅当x2=y2,
即3x=4y,即3||=4||时等号成立.
即||min=.
答案:(1)2+2　(2)
【例2】 (1)(2018·安徽江南十校二模)已知x,y满足z=xy的最小值、最大值分别为a,b,且x2-kx+1≥0对x∈[a,b]恒成立,则k的取值范围为(　　)
(A)[-2,2] (B)(-∞,2]
(C)[-2,+∞) (D)-∞,
(2)(2018·山西孝义一模)已知不等式组表示的平面区域为D,若函数y=|x-1|+m的图象上存在区域D上的点,则实数m的取值范围是(　　)
(A)0, (B)-2,
(C)[-2,1] (D)-1,
(3)(2018·河南省新乡市三模)设x,y满足约束条件若的最大值为2,则a的值为(　　)
(A) (B) (C) (D)
(4)(2018·百校联盟高三摸底)若函数y=log2x的图象上存在点(x,y),满足约束条件则实数m的最大值为　　　　. 
解析:

(1)作出表示的平面区域(如图所示),
显然z=xy的最小值为0,
易求的交点A(1,1),
当点(x,y)在线段x+2y=3(0≤x≤1)上时,
z=xy=x-=-x2+x≤1;
当点(x,y)在线段2x+y=3(0≤x≤1)上时,
z=xy=x(3-2x)=-2x2+3x≤;
即a=0,b=;
当x=0时,不等式x2-kx+1=1≥0恒成立,
若x2-kx+1≥0对x∈0,恒成立,
则k≤x+在0,上恒成立,
又x+在(0,1]上单调递减,在1,上单调递增,
即x+min=2,即k≤2.故选B.
(2)作出不等式组表示的平面区域D(如图阴影),

函数y=|x-1|的图象为直线y=x-1保留x轴上方的并把x轴下方的上翻得到,
其图象为关于直线x=1对称的折线,
沿x=1上下平移y=|x-1|的图象,
当经过点B时m取最小值,过点A时m取最大值,
由可解得即B(2,-1),
此时有-1=|2-1|+m,解得m=-2;
由可解得
即A(1,1),此时有1=|1-1|+m,解得m=1.
故实数m的取值范围为[-2,1].
故选C.
(3)

设m=x-y,n=x+y,
得x=,y=,
代入不等式组,得

即
关于n,m的不等式组的可行域如图所示,
==,
也就是表示可行域内点与原点连线的斜率,
由条件知斜率最大值为2,此时=2,
由得
即点,在直线m+n-2a=0上,
所以+-2a=0,所以a=.故选C.
(4)作出不等式组表示的平面区域,得到如图的三角形,

再作出对数函数y=log2x的图象,可得该图象与直线x+y-3=0交于点M(2,1),当该点在区域内时,图象上存在点(x,y)满足不等式组,即m≤1符合题意,即m的最大值为1.
答案:(1)B　(2)C　(3)D　(4)1
【例3】 (1)(2018·浙江宁波5月模拟)

若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格,要求有公共顶点的两个格子颜色不同,则不同的涂色方案有(　　)
(A)48种 (B)72种 (C)96种 (D)216种

(2)(2018·安徽合肥二模)如图,给7条线段的5个端点涂色,要求同一条线段的两个端点不能同色,现有4种不同的颜色可供选择,则不同的涂色方法有(　　)
(A)24种 (B)48种 (C)96种 (D)120种
解析:(1)将方格用A,B,C,D,E,F标记如下:

按照以下顺序涂色,
A:→B:→D:→C:→E:→F:,
所以由乘法分步原理得不同的涂色方案数有
·····=96种,
故选C.
(2)若A,D颜色相同,先涂E有4种涂法,再涂A,D有3种涂法,再涂B有2种涂法,C只有一种涂法,共有4×3×2=24种;若颜色A,D不同,先涂E有4种涂法,再涂A有3种涂法,再涂D有2种涂法,当B和D相同时,C有2种涂法,当B和D不同时,C只有一种涂法,共有4×3×2×(2+1)=72种,根据分类计数原理可得,共有24+72=96种,故选C.