2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题二第2讲　三角变换、解三角形

第2讲　三角变换、解三角形

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1．必记的概念与定理

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式

①sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β．

②cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β．

③tan(α±β)＝ ．

(2)倍角公式

①sin 2α＝2sin αcos α；

②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

③tan 2α＝．

2．记住几个常用的公式与结论

(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：

1＝sin2α＋cos2α；sin2α＝1－cos2α； cos2α＝1－sin2α；

sin α＝±；cos α＝±．

(2)升(降)幂公式：

sin2α＝；cos2α＝；

sin αcos α＝sin 2α．

(3)辅助角公式：

asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(φ由a，b具体的值确定)．

(4)正切公式的变形：

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α·tan β)．

(5)正弦定理的各种形式：

形式一：＝＝＝2R；

形式二：sin A＝；sin B＝；sin C＝；(角到边的转换)

形式三：a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，c＝2R·sin C；(边到角的转换)

形式四：S＝absin C＝bcsin A＝acsin B．(求三角形的面积)

(6)余弦定理的各种形式：

形式一：a2＝b2＋c2－2bc·cos A，b2＝a2＋c2－2ac·cos B，c2＝a2＋b2－2ab·cos C；

形式二：cos A＝，cos B＝，cos C＝．(角到边的转换)

3．需要关注的易错易混点

(1)三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角．因此看准角与角的关系十分重要．哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪个角，条件中有没有这些角，在审题中必须认真观察和分析．常见的变角方式有：

α＝(α＋β)－β；2α＝(α＋β)＋(α－β)；2α－β＝(α－β)＋α；α

可视为的倍角；±α可视为(±2α)的半角等等．当然变换形式不唯一，应因题而异．

(2)解题前要善于分析题目中所给式子的结构，掌握结构的特点，通过降幂、升幂、常数代换等手段，为使用公式创造条件，这是三角变换的重要策略．

(3)解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助解题”．

三角变换与求值

[典型例题]

(1)(2019·高考江苏卷)已知＝－，则sin的值是________．

(2)(2018·高考江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－．

①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值．

【解】　(1)＝＝－，解得tan α＝2或tan α＝－，当tan α＝2时，sin 2α＝＝＝，cos 2α＝＝＝－，此时sin 2α＋cos 2α＝，同理当tan α＝－时，sin 2α＝－，cos 2α＝，此时sin 2α＋cos 2α＝，所以sin(2α＋)＝(sin 2α＋cos 2α)＝．

(2)①因为tan α＝，tan α＝，

所以sin α＝cos α．

因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，

因此，cos 2α＝2cos2 α－1＝－．

②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．

又因为cos(α＋β)＝－，

所以sin(α＋β)＝＝，

因此tan(α＋β)＝－2．

因为tan α＝，

所以tan 2α＝＝－，

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－．

(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．

(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

[对点训练]

1．(2019·徐州模拟)已知sin＋cos α＝，则sin的值为________．

[解析] 由条件得sin α＋cos α＝，即sin α＋cos α＝．

所以sin＝．

[答案]

2．在锐角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是________．

[解析] 由sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bsin C得sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，两边同时除以cos Bcos C得tan B＋tan C＝2tan Btan C，令tan B＋tan C＝2tan Btan C＝m，因为△ABC是锐角三角形，所以2tan Btan C>2，则tan Btan C>1，m>2．又在三角形中有tan Atan Btan C＝－tan(B＋C)tan Btan C＝－·m＝＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当m－2＝，即m＝4时取得等号，

故tan Atan Btan C的最小值为8．

[答案] 8

解三角形

[典型例题]

(2019·高考江苏卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；

(2)若＝，求sin的值．

【解】　(1)因为a＝3c，b＝，cos B＝，

由余弦定理cos B＝，得＝，即c2＝．

所以c＝．

(2)因为＝，

由正弦定理＝，得＝，所以cos B＝2sin B．

从而cos2B＝(2sin B)2，即cos2B＝4(1－cos2B)，

故cos2B＝．

因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0，从而cos B＝．

因此sin＝cos B＝．

解三角形问题的求解一般是从两个角度来看，即从“角”或从“边”进行转化突破，实现“边”或“角”的统一，问题便可突破．　

[对点训练]

3．(2019·高考江苏卷)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB(AB是圆O的直径)．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD(C，D为垂足)，测得AB＝10，AC＝6，BD＝12(单位：百米)．

(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；

(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；

(3)在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d(单位：百米)，求当d最小时，P，Q两点间的距离．

[解] (1)过A作AE⊥BD，垂足为E．

由已知条件得，四边形ACDE为矩形，

DE＝BE＝AC＝6，AE＝CD＝8．

因为PB⊥AB，

所以cos∠PBD＝sin∠ABE＝＝．

所以PB＝＝＝15．

因此道路PB的长为15百米．

(2)①若P在D处，由(1)可得E在圆上，则线段BE上的点(除B，E)到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求．

②若Q在D处，连结AD，由(1)知AD＝＝10，从而cos∠BAD＝＝>0，所以∠BAD为锐角．

所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径．

因此Q选在D处也不满足规划要求．

综上，P和Q均不能选在D处．

(3)先讨论点P的位置．

当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求．设P1为l上一点，且P1B⊥AB，

由(1)知，P1B＝15，此时P1D＝P1Bsin∠P1BD

＝P1Bcos∠EBA＝15×＝9；

当∠OBP>90°时，在△PP1B中，PB>P1B＝15．

由上可知，d≥15．

再讨论点Q的位置．

由(2)知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求．当QA＝15时，CQ＝ ＝ ＝3．此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．

综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右侧，且CQ＝3时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ＝PD＋CD＋CQ＝17＋3．

因此，d最小时，P，Q两点间的距离为17＋3(百米)．

1．(2019·南通市高三模拟)已知sin＝，则sin＋sin2的值为________．

[解析] sin＝sin

＝－sin＝－，

sin2＝sin2

＝cos2＝，

则sin＋sin2＝－＋＝．

[答案]

2．(2019·扬州模拟)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC的形状为________．

[解析] 由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)及已知条件sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，

可设a＝5x，b＝11x，c＝13x(x>0)．

则cos C＝＝<0，

所以C为钝角，所以△ABC为钝角三角形．

[答案] 钝角三角形

3．(2019·江苏省高考名校联考(二))若coscos

＝－，α∈，则sin 2α＝________．

[解析] coscos＝

·＝－，则cos 2α＋sin 2α＝－，可得又α∈，解得cos 2α＝－，sin 2α＝．

[答案]

4．(2019·无锡模拟)计算的值为________．

[解析] ＝

＝＝＝．

[答案]

5．在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C的值是________．

[解析]  由tan A·tan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，即tan(A＋B)＝－1，所以A＋B＝，则C＝，cos C＝．

[答案]

6．(2019·南京市四校第一学期联考)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2b＝a＋c，若sin B＝，cos B＝，则b的值为________．

[解析] 因为2b＝a＋c，sin B＝，cos B＝，sin2B＋cos2B＝1，所以ac＝15，所以b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－48＝4b2－48，得b＝4．

[答案] 4

7．已知cos θ＝－，θ∈(－π，0)，则sin＋cos＝________________________________________________________________________．

[解析]  因为θ∈(－π，0)，所以sin θ＝－＝－，因为sin θ<cos θ<0，所以θ∈，∈，所以－1<sin<－，0<cos<，故sin＋cos<0，sin＋cos＝

－＝－＝－．

[答案] －

8．(2019·苏州第一次调研)已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________．

[解析] 由＝，得＝，所以c＝8cos A，因为16＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b．因为b∈(4，6)，所以32<c2<40，所以4<c<2．

[答案] (4，2)

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，c＝2，1＋＝，则C＝________．

[解析] 由1＋＝和正弦定理得

cos Asin B＋sin Acos B＝2sin Ccos A，

即sin C＝2sin Ccos A，因为在三角形中sin C≠0，

所以cos A＝，则A＝60°．

由正弦定理得＝，则sin C＝，

又c<a，则C<60°，故C＝45°．

[答案] 45°

10．(2019·扬州市第一学期期末检测)设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝______．

[解析] 因为＝tan，所以＝，所以acossin＋bcoscos＝asincos－bsinsin，所以a(sincos－cos·sin)＝b(coscos＋sinsin)，即asin(－)＝bcos(－)，asin＝bcos，所以＝tan＝．

[答案]

11．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°．

(1)求BC的长；

(2)求sin 2C的值．

[解] (1)由余弦定理知，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝．

(2)由正弦定理知，＝，

所以sin C＝·sin A＝＝．

因为AB＜BC，所以C为锐角，

则cos C＝＝ ＝．

因此sin 2C＝2sin C·cos C＝2××＝．

12．(2019·南通市高三模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab．

(1)求角C的大小；

(2)若c＝2acos B，b＝2，求△ABC的面积．

[解] (1)在△ABC中，由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得＝－，即cos C＝－．

因为0<C<π，所以C＝．

(2)法一：因为c＝2acos B，由正弦定理，得

sin C＝2sin Acos B，

因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝sin(A＋B)，

所以sin(A＋B)＝2sin Acos B，

即sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0，

又－<A－B<，

所以A－B＝0，即A＝B，所以a＝b＝2．

所以△ABC的面积为S△ABC＝absin C＝×2×2×sin＝．

法二：由c＝2acos B及余弦定理，得c＝2a×，

化简得a＝b，

所以△ABC的面积为S△ABC＝absin C＝×2×2×sin＝．

13．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)已知a，b，c分别是△ABC三个角A，B，C所对的边，且满足acos B＋bcos A＝．

(1)求证：A＝C；

(2)若b＝2，·＝1，求sin B的值．

[解] (1)由正弦定理，得sin Acos B＋sin Bcos A＝，即(sin Acos B＋sin Bcos A)cos C＝sin(A＋B)cos C＝sin Ccos A．

因为A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin C，

所以sin Ccos C＝sin Ccos A．

因为C是△ABC的内角，所以sin C≠0，所以cos C＝cos A．

又A，C是△ABC的内角，所以A＝C．

(2)由(1)知，A＝C，所以a＝c，所以cos B＝＝．

因为·＝1，所以a2cos B＝a2－2＝1，所以a2＝3．

所以cos B＝．

又B∈(0，π)，所以sin B＝＝．

14．(2019·江苏省高考名校联考(四))已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且＋＝．

(1)证明：cos Acos B＝cos C；

(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan C的值．

[解] (1)证明：因为＋＝，

所以由正弦定理可知＋＝，

即＝＝．

因为在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C≠0，

所以cos Acos B＝cos C．

(2)因为b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理可知cos A＝＝，

因为A为三角形的内角，所以sin A＝，tan A＝2．

由cos Acos B＝cos C和A＋B＋C＝π得，

cos Acos B＝cos C＝－cos(A＋B)＝－cos Acos B＋sin Asin B，所以2cos Acos B＝sin Asin B，

所以tan Atan B＝2，由tan A＝2得，tan B＝，

所以tan C＝－tan(A＋B)＝－＝．