2020江苏高考理科数学二轮讲义：专题六第3讲　复　数

第3讲　复　数

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必记的概念或定理

(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a＋bi为纯虚数．

(2)复数的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d．

(3)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

(4)运算法则：

(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i；(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)．

(5)复数的模：若z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝|a＋bi|＝．

复数的概念与运算

[典型例题]

(1)(2019·高考江苏卷)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．

(2)(2019·高考江苏卷)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．

(3)(2019·镇江期末)记复数z＝a＋bi(i为虚数单位)的共轭复数为＝a－bi(a，b∈R)，已知z＝2＋i，则2＝________．

【解析】　(1)(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为实部是0，所以a－2＝0，a＝2．

(2)复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，则|z|＝＝．

(3)因为z＝2＋i，所以z2＝(2＋i)2＝4＋4i＋i2＝3＋4i，

从而2＝3－4i．

【答案】　(1)2　(2)　(3)3－4i

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．　

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．

[对点训练]

1．(2019·苏州期末)已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝________．

[解析] 由＝a＋bi得2＋3i＝－b＋ai，

从而得a＝3，b＝－2，

故a＋b＝1．

[答案] 1

2．(2018·高考江苏卷)若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．

[解析] 复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i的实部是2．

[答案] 2

复数的几何意义

[典型例题]

(1)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．

(2)(2019·盐城中学开学考试)记(1＋2i)2＝a＋bi(a，b∈R)，则点P(a，b)位于第________象限．

【解析】　(1)因为z2＝3＋4i，所以|z2|＝|z|2＝|3＋4i|＝＝5，所以|z|＝．

(2)因为a＋bi＝－3＋4i，所以a＝－3，b＝4，从而点(a，b)为(－3，4)，位于第二象限．

【答案】　(1)　(2)二

对复数几何意义的理解及应用

(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔．

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　

[对点训练]

3．(2019·南京、盐城模拟)已知复数z＝(2－i)(1＋3i)，其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第________象限．

[解析] 复数z＝(2－i)(1＋3i)＝5＋5i，它在复平面上对应的点的坐标为(5，5)，位于第一象限．

[答案] 一

4．(2019·南通模拟)已知复数z满足(3＋4i)z＝1(i为虚数单位)，则z的模为________．

[解析] 因为(3＋4i)z＝1，所以z＝＝＝－i，即|z|＝＝．

[答案]

1．(2019·扬州模拟)已知i是虚数单位，则的实部为________．

[解析] 因为＝＝－－i，所以的实部为－．

[答案] －

2．(2019·泰州模拟)复数z满足iz＝3＋4i(i是虚数单位)，则z＝________．

[解析] 因为iz＝3＋4i，所以z＝＝＝4－3i．

[答案] 4－3i

3．(2019·南京、盐城模拟)若复数z＝(其中i为虚数单位)的实部与虚部相等，则a＝________．

[解析] 因为z＝＝1－ai，它的实部与虚部相等，

故－a＝1，即a＝－1．

[答案] －1

4．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝________．

[解析] 由已知得＝i(1－i)＝1＋i，则z＝1－i．

[答案] 1－i

5．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的________条件．

[解析]  若复数a＋＝a－bi为纯虚数，则a＝0，b≠0，ab＝0；而ab＝0时a＝0或b＝0，a＋不一定是纯虚数，故“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的必要不充分条件．

[答案] 必要不充分

6．在复平面内，复数1＋i与－1＋3i分别对应向量和，其中O为坐标原点，则||＝________．

[解析]  由题意知A(1，1)，B(－1，3)，故||＝＝2．

[答案] 2

7．(2019·广东实验中学模拟改编)已知复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A(1，2)，B(－1，3)，则＝________．　

[解析] 由复数的几何意义可知，z1＝1＋2i，z2＝－1＋3i，

所以＝＝＝＝1＋i．

[答案] 1＋i

8．设复数z满足|z|＝|z－1|＝1，则复数z的实部为________．

[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝|z－1|＝1得两式相减得2a＝1，a＝．

[答案]

9．(2019·徐州模拟)已知集合A＝{x|x2＋y2＝4}，集合B＝{x||x＋i|<2，i为虚数单位，x∈R}，则集合A与B的关系是________．

[解析] |x＋i|＝<2，即x2＋1<4，解得－<x<，所以B＝(－，)，而A＝[－2，2]，所以BA．

[答案] BA

10．已知m∈R，复数1－在复平面内对应的点在直线x－y＝0上，则实数m的值是________．

[解析] 1－＝1＋mi，该复数对应的点为(1，m)，

所以1－m＝0，m＝1．

[答案] 1

11．(2019·南京调研)定义：若z2＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则称复数z是复数a＋bi的平方根．根据定义，则复数－3＋4i的平方根是________．

[解析] 设(x＋yi)2＝－3＋4i(x，y∈R)，则解得或

故x＋yi＝1＋2i或x＋yi＝－1－2i．

[答案] 1＋2i或－1－2i

12．(2019·泰州期末)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)，且|z－2|＝，则的最大值为________．

[解析] |z－2|＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3．

由图可知＝＝．

[答案]

13．设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为________．

[解析] |z|＝≤1，即(x－1)2＋y2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z|≤1时， y≥x表示的是图中阴影部分，其面积为S＝π×12－×1×1＝．

又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P＝＝－．

[答案] －

14．设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题的序号是________．

①若|z1－z2|＝0，则1＝2；

②若z1＝2，则1＝z2；

③若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2;

④若|z1|＝|z2|，则z＝z．

[解析] 由|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，所以z1＝z2，

所以1＝2，故①为真命题；

由于z1＝2，则1＝2＝z2，

故②为真命题；由|z1|＝|z2|，得|z1|2＝|z2|2，则有z1·1＝z2·2，故③为真命题，④为假命题．

[答案] ①②③