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    2019版高中数学二轮复习教师用书:专题六第2讲 大题考法——不等式选讲

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    2讲 大题考法——不等式选讲卷别年份考查内容命题规律及备考策略全国卷2018绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等,命题的热点是绝对值不等式的解法,以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解.2017含绝对值的不等式的解法、求参数的取值范围2016绝对值不等式的解法及图象全国卷2018绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题2017基本不等式的应用、一些常用的变形以及证明不等式的方法2016含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式全国卷2018分段函数图象的画法与应用2017绝对值不等式的解法以及函数取值范围的求解2016绝对值不等式解法考向一 含绝对值的不等式的解法及应用【典例】 (2017·全国卷)已知函数f(x)=-x2ax4(1)a1求不等式的解集(2)a的取值范围[审题指导]看到g(x)|x1||x1|,想到零点分段讨论处理g(x)看到f(x)g(x),想到分段讨论求解不等式看到条件f(x)g(x)的解集包含[1,1],想到g(x)x[1,1]时,化简为g(x)2,从而把问题简化[规范解答] (1)a1时,不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1||x1|40.  1x<-1时,化为x23x40,无解; 2当-1x1时,化为x2x20从而-1x1  3x1时,化为x2x40从而1x.  4所以f(x)g(x)的解集为.  5(2)x[1,1]时,g(x)2所以f(x)g(x)的解集包含[1,1]等价于当x[1,1]时,f(x)2.  7f(x)[1,1]最小值必为f(1)f(1)之一,所以f(1)2f(1)2,得-1a1.  9所以a的取值范围为[1,1].  10❶❷❸处易出现利用绝对值定义去绝对值号时计算化简失误处易忽视x[1,1]g(x)2,这是转化关键处不理解且不会判断f(x)[1,1]时最小值必为f(1)f(1)之一,而导致滞做失分[技法总结]1零点分段求解绝对值不等式的模型(1)求零点;(2)划区间,去绝对值号;(3)分别解去掉绝对值号的不等式;(4)取每个结果的并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值2绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数:根据不等式将参数分离化为af(x)af(x)形式;(2)转化最值:f(x)>a恒成立f(x)min>af(x)<a恒成立f(x)max<af(x)>a有解f(x)max>af(x)<a有解f(x)min<af(x)>a无解f(x)maxaf(x)<a无解f(x)mina(3)得结论[变式提升]1(2018·永州二模)已知函数f(x)|x2a||x3|g(x)|x2|3(1)解不等式|g(x)|6(2)若对任意的x2R均存在x1R使得g(x1)f(x2)成立求实数a的取值范围解 (1)||x2|3|6,得-6|x2|369|x2|3,得不等式的解为-1x5(2)f(x)|x2a||x3||(x2a)(x3)||2a3|g(x)|x2|33对任意的x2R均存在x1R,使得f(x2)g(x1)成立,{y|yf(x)}{y|yg(x)}|2a3|3,解得a0a3即实数a的取值范围为a0a3考向二 含绝对值的不等式的证明问题【典例】 (2016·全国卷)已知函数M为不等式f(x)2的解集(1)M(2)证明abM[审题指导]看到函数解析式,想到分三种情况去绝对值号,想到分三种情况解不等式f(x)2看到不等式两边的绝对值,想到利用平方寻求不等关系,想到利用分析法分析,综合法写步骤[规范解答] (1)x<-时,f(x)xx=-2x2,解得-1x<-1当-x时,f(x)xx12恒成立, 2x时,f(x)2x2,解得x1  3综上可得,M{x|1x1}.  4(2)ab(1,1)时,有(a21)(b21)0 6a2b21a2b2  7a2b22ab1a22abb2  8(ab1)2(ab)2  9|ab||ab1|.  10处易出现去绝对值符号错误,注意零点分区法的应用处若不能联想构造常用不等式而失误,注意分解变形方法的训练处未能利用两边同加构造而失分,注意不等式的性质的运用[技法总结] 不等式证明的常用方法对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法(1)一般地,对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明,平方法(即不等号两边平方)是其有效方法(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以至少”“至多等方式给出,则考虑用反证法(3)能转化为比较大小的可以用比较法(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法[变式提升]2(2018·榆林二模)已知函数f(x)|xa2||x2a3|(1)证明f(x)2证明 因为 f(x)|xa2||x2a3||x2a3xa2||x2a3xa2||a22a3|(a1)222所以f(x)2(2)f3求实数a的取值范围解 因为fa2|2a|所以解得-1a0,所以a的取值范围是(1,0)3(2018·绵阳二模)已知f(x)2|x2||x1|(1)求不等式f(x)6的解集(2)mnp为正实数mnpf(2)求证mnnppm3(1)解 不等式2|x2||x1|6等价于不等式组所以不等式2|x2||x1|6的解集为(1,3)(2)证明 因为mnp3所以(mnp)2m2n2p22mn2mp2np9因为mnp为正实数,所以由基本不等式m2n22mn(当且仅当mn时等号成立)同理m2p22mpp2n22pn所以m2n2p2mnmpnp所以(mnp)2m2n2p22mn2mp2np93mn3mp3np,所以mnmpnp3  

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