2019版高中数学二轮复习教师用书:专题六第2讲 大题考法——不等式选讲
展开第2讲 大题考法——不等式选讲卷别年份考查内容命题规律及备考策略全国卷Ⅰ2018绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题不等式选讲是高考的选考内容之一,考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等,命题的热点是绝对值不等式的解法,以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解.2017含绝对值的不等式的解法、求参数的取值范围2016绝对值不等式的解法及图象全国卷Ⅱ2018绝对值不等式的解法、不等式的应用及恒成立问题2017基本不等式的应用、一些常用的变形以及证明不等式的方法2016含绝对值不等式的解法及比较法证明不等式全国卷Ⅲ2018分段函数图象的画法与应用2017绝对值不等式的解法以及函数取值范围的求解2016绝对值不等式解法考向一 含绝对值的不等式的解法及应用【典例】 (2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,(1)当a=1时,求不等式的解集;(2)若,求a的取值范围.[审题指导]①看到g(x)=|x+1|+|x-1|,想到零点分段讨论处理g(x)②看到f(x)≥g(x),想到分段讨论求解不等式③看到条件f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],想到g(x)在x∈[-1,1]时,化简为g(x)=2,从而把问题简化[规范解答] (1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0.① 1分当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0❶,无解; 2分当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0❷,从而-1≤x≤1; 3分当x>1时,①式化为x2+x-4≤0❸,从而1<x≤. 4分所以f(x)≥g(x)的解集为. 5分(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2❹,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2. 7分又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)❺之一,所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1. 9分所以a的取值范围为[-1,1]. 10分❶❷❸处易出现利用绝对值定义去绝对值号时计算化简失误.❹处易忽视x∈[-1,1],g(x)=2,这是转化关键.❺处不理解且不会判断f(x)在[-1,1]时最小值必为f(-1),f(1)之一,而导致滞做失分.[技法总结]1.零点分段求解绝对值不等式的模型(1)求零点;(2)划区间,去绝对值号;(3)分别解去掉绝对值号的不等式;(4)取每个结果的并集,注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值.2.绝对值不等式的成立问题的求解模型(1)分离参数:根据不等式将参数分离化为a≥f(x)或a≤f(x)形式;(2)转化最值:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a有解⇔f(x)max>a;f(x)<a有解⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a;(3)得结论.[变式提升]1.(2018·永州二模)已知函数f(x)=|x-2a|+|x+3|,g(x)=|x-2|+3.(1)解不等式|g(x)|<6;(2)若对任意的x2∈R,均存在x1∈R,使得g(x1)=f(x2)成立,求实数a的取值范围.解 (1)由||x-2|+3|<6,得-6<|x-2|+3<6,∴-9<|x-2|<3,得不等式的解为-1<x<5.(2)f(x)=|x-2a|+|x+3|≥|(x-2a)-(x+3)|=|2a+3|,g(x)=|x-2|+3≥3,∵对任意的x2∈R均存在x1∈R,使得f(x2)=g(x1)成立,∴{y|y=f(x)}⊂{y|y=g(x)},∴|2a+3|≥3,解得a≥0或a≤-3,即实数a的取值范围为a≥0或a≤-3.考向二 含绝对值的不等式的证明问题【典例】 (2016·全国卷Ⅱ)已知函数,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明:当a,b∈M时,.[审题指导]①看到函数解析式,想到分三种情况去绝对值号,想到分三种情况解不等式f(x)<2②看到不等式两边的绝对值,想到利用平方寻求不等关系,想到利用分析法分析,综合法写步骤[规范解答] (1)当x<-时,f(x)=-x-x-=-2x❶<2,解得-1<x<-,1分当-≤x≤时,f(x)=-x+x+=1❶<2恒成立, 2分当x>时,f(x)=2x<2❶,解得<x<1, 3分综上可得,M={x|-1<x<1}. 4分(2)当a,b∈(-1,1)时,有(a2-1)(b2-1)>0❷, 6分即a2b2+1>a2+b2, 7分则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2❸, 8分则(ab+1)2>(a+b)2, 9分即|a+b|<|ab+1|. 10分❶处易出现去绝对值符号错误,注意零点分区法的应用.❷处若不能联想构造常用不等式而失误,注意分解变形方法的训练.❸处未能利用两边同加构造而失分,注意不等式的性质的运用.[技法总结] 不等式证明的常用方法对于不等式的证明问题常用比较法、综合法和分析法.(1)一般地,对于含根号的不等式和含绝对值的不等式的证明,“平方法”(即不等号两边平方)是其有效方法.(2)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出,则考虑用反证法.(3)能转化为比较大小的可以用比较法.(4)利用基本不等式证明的多用综合法与分析法.[变式提升]2.(2018·榆林二模)已知函数f(x)=|x-a2|+|x+2a+3|.(1)证明:f(x)≥2;证明 因为 f(x)=|x-a2|+|x+2a+3|≥|x+2a+3-x+a2|,而|x+2a+3-x+a2|=|a2+2a+3|=(a+1)2+2≥2,所以f(x)≥2.(2)若f<3,求实数a的取值范围.解 因为f=a2++|2a+|=所以或解得-1<a<0,所以a的取值范围是(-1,0).3.(2018·绵阳二模)已知f(x)=2|x-2|+|x+1|.(1)求不等式f(x)<6的解集;(2)设m,n,p为正实数,且m+n+p=f(2),求证mn+np+pm≤3.(1)解 不等式2|x-2|+|x+1|<6等价于不等式组或或所以不等式2|x-2|+|x+1|<6的解集为(-1,3).(2)证明 因为m+n+p=3,所以(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9,因为m,n,p为正实数,所以由基本不等式m2+n2≥2mn(当且仅当m=n时等号成立),同理m2+p2≥2mp,p2+n2≥2pn,所以m2+n2+p2≥mn+mp+np,所以(m+n+p)2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np=9≥3mn+3mp+3np,所以mn+mp+np≤3.