2020版新设计一轮复习数学（文）通用版讲义：第二章第五节函数的图象

第五节函数的图象

一、基础知识批注——理解深一点

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：(1)确定函数的定义域；

(2)化简函数解析式；

(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；其次，列表，描点，连线．　　　　　　　　　　　　　　　　　

列出的点多为零点、最值点等．

2．函数图象的变换

(1)平移变换

①y＝f(x)的图象y＝f(x－a)的图象；

②y＝f(x)的图象y＝f(x)＋b的图象．

“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数,无关，上加下减指的是在fx整体上加减.

(2)对称变换

①y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；

②y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；

③y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；

④y＝ax(a>0且a≠1)的图象y＝logax(a>0且a≠1)的图象．

(3)伸缩变换

①y＝f(x)的图象y＝f(ax)的图象．

②y＝f(x)的图象y＝af(x)的图象．

(4)翻折变换

①y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；

②y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象．

二、常用结论汇总——规律多一点

1．函数图象自身的轴对称

(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；

(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；

(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．

2．函数图象自身的中心对称

(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；

(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；

(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．

3．两个函数图象之间的对称关系

(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；

(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；

(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．

三、基础小题强化——功底牢一点

(1)将函数y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数y＝f(x＋1)＋1的图象．(　　)

(2)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　)

(3)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于原点对称．(　　)

(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

(二)选一选

1．下列图象是函数y＝的图象的是(　　)

答案：C

2．函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝ex关于y轴对称，则f(x)＝(　　)

A．ex＋1　　　　　　　　　 　B．ex－1

C．e－x＋1   D．e－x－1

解析：选D　与曲线y＝ex关于y轴对称的图象对应的解析式为y＝e－x，将函数y＝e－x的图象向左平移1个单位长度即得y＝f(x)的图象，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.

3．甲、乙二人同时从A地赶往B地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是(　　)

A．甲是图①，乙是图②   B．甲是图①，乙是图④

C．甲是图③，乙是图②   D．甲是图③，乙是图④

解析：选B　由题知速度v＝反映在图象上为某段图象所在直线的斜率．由题知甲骑自行车速度最大，跑步速度最小，甲与图①符合，乙与图④符合．

(三)填一填

4.已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝log f(x)的定义域是________．

解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2,8]．

答案：(2,8]

5．若关于x的方程|x|＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是________．

解析：由题意得a＝|x|＋x，令y＝|x|＋x＝其图象如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一个解，则a>0.

答案：(0，＋∞)

[典例]　作出下列函数的图象．

(1)y＝

(2)y＝2x＋2；

(3)y＝x2－2|x|－1.

[解]　(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．

(2)y＝2x＋2的图象是由y＝2x的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．

(3)y＝其图象如图③所示．

[变透练清]

1.若本例(2)变为y＝x－2，试作出其图象．

解：y＝x－2的图象是由y＝x的图象向右平移2个单位长度得到的，其图象如图   所示．

2.若本例(3)变为y＝|x2－2x－1|，试作出其图象．

解：y＝其图象如图所示．

[解题技法]　作函数图象的一般方法

[例1]　(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝的图象大致为(　　)

[解析]　∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，

∴f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项；

当x＝1时，f(1)＝e－>0，排除D选项；

又e>2，∴<，∴e－>1，排除C选项．故选B.

[答案]　B

[例2]　已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为(　　)

[解析]　法一：先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；

然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；

再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.

法二：先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.

[答案]　D

[解题技法]

1．函数图象与解析式之间的4种对应关系

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域(或有界性)，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的升降变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性：奇函数的图象关于原点对称，在对称的区间上单调性一致，偶函数的图象关于y轴对称，在对称的区间上单调性相反；

(4)从函数的周期性，判断图象是否具有循环往复特点．

2．通过图象变换识别函数图象要掌握的两点

(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；

(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换．

3．借助动点探究函数图象

解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象，也可以采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．

[题组训练]

1．(2019•郑州调研)已知函数f(x)＝，g(x)＝－f(－x)，则函数g(x)的图象是(　　)

解析：选D　法一：由题设得函数g(x)＝－f(－x)＝据此可画出该函数的图象，如题图选项D中图象．故选D.

法二：先画出函数f(x)的图象，如图1所示，再根据函数f(x)与－f(－x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f(－x)，即g(x)的图象，如图2所示．故选D.

2.如图，不规则四边形ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC是圆弧，直线l⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是(　　)

解析：选C　当l从左至右移动时，一开始面积的增加速度越来越快，过了D点后面积保持匀速增加，图象呈直线变化，过了C点后面积的增加速度又逐渐减慢．故选C.

考法(一)　研究函数的性质

[典例]　已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)

A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)

B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)

C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)

D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)

[解析]　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．

[答案]　C

[解题技法]　利用函数的图象研究函数的性质

对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：

(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；

(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；

(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．

考法(二)　在不等式中的应用

[典例]　若不等式(x－1)2<logax(a>0，且a≠1)在x∈(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1,2]　　　　　　　 　B.

C．(1，)   D．(，2)

[解析]　要使当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，只需函数y＝(x－1)2在(1,2)上的图象在y＝logax的图象的下方即可．

当0<a<1时，显然不成立；当a>1时，如图，要使x∈(1,2)时，y＝(x－1)2的图象在y＝logax的图象的下方，只需(2－1)2≤loga2，即loga2≥1，解得1<a≤2，故实数a的取值范围是(1,2]．

[答案]　A

[解题技法]　

当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合法求解．

[题组训练]

1．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)

A．(－1,0)∪(1，＋∞)   B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)   D．(－1,0)∪(0,1)

解析：选D　因为f(x)为奇函数，

所以不等式<0可化为<0，

即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．

所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．

2．对a，b∈R，记max{a，b}＝函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的最小值是________．

解析：函数f(x)＝max{|x＋1|，|x－2|}(x∈R)的图象如图所示，

由图象可得，其最小值为.

答案：

3．已知函数f(x)＝若f(x)在区间[m,4]上的值域为[－1,2]，则实数m的取值范围为________．

解析：作出函数f(x)的图象，当x≤－1时，函数f(x)＝log2单调递减，且最小值为f(－1)＝－1，则令log2＝2，解得x＝－8；当x>－1时，函数f(x)＝－x2＋x＋在(－1,2)上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减，则最大值为f(2)＝2，又f(4)＝<2，f(－1)＝－1，故所求实数m的取值范围为[－8，－1]．

答案：[－8，－1]

A级——保大分专练

1．为了得到函数y＝2x－2的图象，可以把函数y＝2x的图象上所有的点(　　)

A．向右平行移动2个单位长度

B．向右平行移动1个单位长度

C．向左平行移动2个单位长度

D．向左平行移动1个单位长度

解析：选B　因为y＝2x－2＝2(x－1)，所以只需将函数y＝2x的图象上所有的点向右平移1个单位长度，即可得到y＝2(x－1)＝2x－2的图象．

2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　)

解析：选C　要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．

3．(2018·浙江高考)函数y＝2|x|sin 2x的图象可能是(　　)

解析：选D　由y＝2|x|sin 2x知函数的定义域为R，

令f(x)＝2|x|sin 2x，

则f(－x)＝2|－x|sin(－2x)＝－2|x|sin 2x.

∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数．

∴f(x)的图象关于原点对称，故排除A、B.

令f(x)＝2|x|sin 2x＝0，解得x＝(k∈Z)，

∴当k＝1时，x＝，故排除C，选D.

4．下列函数y＝f(x)图象中，满足f＞f(3)＞f(2)的只可能是(　　)

解析：选D　因为f＞f(3)＞f(2)，所以函数f(x)有增有减，排除A、B.在C中，f＜f(0)＝1，f(3)＞f(0)，即f＜f(3)，排除C，选D.

5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)

A．f(x)＝　 　B．f(x)＝

C．f(x)＝－1   D．f(x)＝x－

解析：选A　由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B、C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.

6．已知函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，则函数y＝f(x)的图象关于x轴的对称图形一定过点________．

解析：因为函数y＝f(x＋1)的图象过点(3,2)，所以函数y＝f(x)的图象一定过点(4,2)，所以函数y＝f(x)的图象关于x轴的对称图形一定过点(4，－2)．

答案：(4，－2)

7.如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．

解析：当－1≤x≤0时，设解析式为f(x)＝kx＋b(k≠0)，

则得

∴当－1≤x≤0时，f(x)＝x＋1.

当x＞0时，设解析式为f(x)＝a(x－2)2－1(a≠0)，

∵图象过点(4,0)，

∴0＝a(4－2)2－1，∴a＝.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝

答案：f(x)＝

8．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为________．

解析：令y＝log2(x＋1)，作出函数y＝log2(x＋1)图象如图所示．

由得

∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．

答案：{x|－1<x≤1}

9．画出下列函数的图象．

(1)y＝eln x；

(2)y＝|x－2|·(x＋1)．

解：(1)因为函数的定义域为{x|x>0}且y＝eln x＝x(x>0)，

所以其图象如图所示．

(2)当x≥2，即x－2≥0时，

y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2＝2－；

当x<2，即x－2<0时，

y＝－(x－2)(x＋1)＝－x2＋x＋2＝－2＋.

所以y＝

这是分段函数，每段函数的图象可根据二次函数图象作出(其图象如图所示)．

10．已知函数f(x)＝

(1)在如图所示给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间；

(3)由图象指出当x取什么值时f(x)有最值．

解：(1)函数f(x)的图象如图所示．

(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．

(3)由图象知当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝－1，

当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝3.

B级——创高分自选

1．若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在    (－1,3)上的解集为(　　)

A．(1,3)　　　　　　　　 　B．(－1,1)

C．(－1,0)∪(1,3)   D．(－1,0)∪(0,1)

解析：选C　作出函数f(x)的图象如图所示．

当x∈(－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；

当x∈(0,1)时，由xf(x)>0得x∈∅；

当x∈(1,3)时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．

故x∈(－1,0)∪(1,3)．

2．(2019·山西四校联考)已知函数f(x)＝|x2－1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)   B．(1，＋∞)

C．(1，)   D．(1,2)

解析：选C　作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图象如图所示，作出直线y＝1，交f(x)的图象于点B，由x2－1＝1可得xB＝，结合函数图象可得b的取值范围是(1，)．

3．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0,1)对称．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)＝f(x)＋，且g(x)在区间(0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．

解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P′(－x,2－y)在h(x)的图象上，

即2－y＝－x－＋2，∴y＝f(x)＝x＋(x≠0)．

(2)g(x)＝f(x)＋＝x＋，∴g′(x)＝1－.

∵g(x)在(0,2]上为减函数，∴1－≤0在(0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在(0,2]上恒成立，

∴a＋1≥4，即a≥3，故实数a的取值范围是[3，＋∞)．

4．若关于x的不等式4ax－1<3x－4(a>0，且a≠1)对于任意的x>2恒成立，求a的取值范围．

解：不等式4ax－1<3x－4等价于ax－1<x－1.

令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，

当a>1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；

当0<a<1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，

当x≥2时，f(2)≤g(2)，

即a2－1≤×2－1，

解得a≤，所以a的取值范围是.