2020年高考数学理科一轮复习讲义：第3章三角函数、解三角形第2讲

第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.2.三角函数的诱导公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　1.概念辨析(1)对任意α，β∈R，有sin2α＋cos2β＝1.(　　)(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　)(3)(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(　　)(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2.小题热身(1)若sinα＝，<α<π，则tanα＝________.答案　－解析　因为sinα＝，<α<π，所以cosα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－.(2)化简：＝________.答案　－cosα解析　原式＝＝－cosα.(3)sin2490°＝________；cos＝________.答案　－　－解析　sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－.cos＝cos＝cos＝－cos＝－.(4)已知sin＝，α∈，则sin(π＋α)＝________.答案　－解析　因为sin＝cosα＝，α∈，所以sinα＝＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－.题型 　同角三角函数关系式的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　1.已知cosα＝，－<α<0，则＝(　　)A.2  B．－2  C．－  D.答案　C解析　因为cosα＝，－<α<0，所以sinα＝－＝－，所以＝＝＝－.2.已知tanx＝3，则＝________.答案　2解析　因为tanx＝3，所以＝＝＝2.3.sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.答案　44.5解析　因为sin(90°－α)＝cosα，所以当α＋β＝90°时，sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1，设S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，则S＝sin289°＋sin288°＋sin287°＋…＋sin21°，两个式子相加得2S＝1＋1＋1＋…＋1＝89，S＝44.5.同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论. 1.已知△ABC中，＝－，则cosA等于(　　)A.  B.  C．－  D．－答案　D解析　因为A是三角形内角，且＝－<0，所以cosA<0且5cosA＝－12sinA，则25cos2A＝144sin2A＝144(1－cos2A)解得cos2A＝，所以cosA＝－.2.若α是第二象限角，则tanα化简的结果是(　　)A.－1   B．1C.－tan2α   D．tan2α答案　A解析　因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以tanα＝·＝－·＝－1.3.(2018·绵阳诊断)已知2sinα＝1＋cosα，则tanα的值为(　　)A.－   B.C.－或0   D.或0答案　D解析　因为2sinα＝1＋cosα，所以4sin2α＝1＋2cosα＋cos2α，又因为sin2α＝1－cos2α，所以4(1－cos2α)＝1＋2cosα＋cos2α，即5cos2α＋2cosα－3＝0，解得cosα＝－1或cosα＝.当cosα＝－1时，sinα＝0，tanα＝0，当cosα＝时，sinα＝，tanα＝.题型 　诱导公式的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　1.化简sin(－1071°)sin99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为(　　)A.1  B．－1  C．0  D．2答案　C解析　原式＝(－sin1071°)sin99°＋sin171°sin261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin9°cos9°－sin9°cos9°＝0.2.已知f(α)＝，则f的值为(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　∵f(α)＝＝cosα，∴f＝cos＝cos＝cos＝.3.已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．答案　0解析　因为cos＝cos＝－cos＝－a.sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.条件探究1　若举例说明3的条件“cos＝a”改为“sin＝a”，求cos.解　cos＝cos＝－sin＝－a.条件探究2　若举例说明3的条件“cos＝a”改为“cos(α－17°)＝a”，求sin(α－107°)．解　sin(α－107°)＝sin(α－17°－90°)＝－cos(α－17°)＝－a.(1)诱导公式的两个应用方向与原则①求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了．②化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)应用诱导公式的基本流程(3)巧用口诀：奇变偶不变，符号看象限．(4)注意观察已知角与所求角的关系，如果两者之差或和为的整数倍，可考虑诱导公式，如举例说明3中－θ＋＋θ＝π，－＝.1.(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sin＝(　　)A.－  B．－  C.  D.答案　B解析　因为角α的终边经过点P(3,4)．所以cosα＝＝.所以sin＝sin＝sin＝－sin＝－cosα＝－.2.(2018·石家庄模拟)已知k∈Z，化简：＝________.答案　－1解析　当k为偶数时，原式＝＝＝－1.当k为奇数时，原式＝＝＝－1.综上知，原式＝－1.题型 　同角三角函数基本关系式和诱导公式的灵活应用　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　角度1　化简与求值1.已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝.角度2　sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα三者之间的关系2.(2018·长沙模拟)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－，则sinx－cosx＝(　　)A.－  B.  C.  D．－答案　A解析　因为sin(π＋x)－cosx＝－，所以－sinx－cosx＝－，所以sinx＋cosx＝∈(0,1)．又因为－π<x<0，所以－<x<0，所以sinx－cosx<0.sinx＋cosx＝，两边平方得1＋2sinxcosx＝，所以2sinxcosx＝－.所以(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.所以sinx－cosx＝－.角度3　常值代换问题3.(2016·全国卷Ⅲ)若tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝(　　)A.  B.  C．1  D.答案　A解析　当tanα＝时，原式＝cos2α＋4sinαcosα＝＝＝＝，故选A.同角三角函数基本关系在求值与化简时的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tanx＝进行切化弦或弦化切，如，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切．(2)和积转换法：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα可以知一求二．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＝tan＝….1.化简的结果是(　　)A.sin3－cos3  B．cos3－sin3C.±(sin3－cos3)  D．以上都不对答案　A解析　因为sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，所以原式＝＝＝|sin3－cos3|.因为<3<π，所以sin3>0，cos3<0，即sin3－cos3>0，所以原式＝sin3－cos3.2.已知tan100°＝k，则sin80°的值等于(　　)A.  B．－C.  D．－答案　B解析　由已知得tan100°＝k＝tan(180°－80°)＝－tan80°，所以tan80°＝－k，又因为tan80°＝＝，所以＝k2，注意到k<0，可解得sin80°＝－ .3.若sinx＝2sin，则cosxcos＝(　　)A.  B．－  C.  D．－答案　B解析　由sinx＝2sin，得sinx＝2cosx，即tanx＝2，则cosxcos＝－cosxsinx＝－＝－＝－＝－.