2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第3讲

第3讲　圆的方程 [考纲解读]　1.掌握确定圆的几何要素，圆的标准方程与一般方程，能根据不同的条件，采取标准式或一般式求圆的方程．(重点)2.掌握点与圆的位置关系，能求解与圆有关的轨迹方程．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的热点．预测2020年将会考查：①求圆的方程；②根据圆的方程求最值；③与圆有关的轨迹问题．试题以客观题的形式呈现，难度不会太大，以中档题型呈现.  1．圆的定义及方程 2．点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：设d为点M(x0，y0)与圆心(a，b)的距离(1)d>r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔M在圆外；(2)d＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)d<r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔M在圆内．1．概念辨析(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)(2)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆心为，半径为 的圆．(　　)(3)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　)(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小题热身(1)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)A．(－∞，－)∪(，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－)∪(，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案　B解析　若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m应满足m2＋(－2)2－4×3>0，解得m<－2或m>2.(2)圆C的直径的两个端点分别是A(－1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为________．答案　x2＋(y－3)2＝2解析　设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝＝0，b＝＝3，故圆心C(0,3)．半径r＝|AB|＝ ＝.所以圆C的标准方程为x2＋(y－3)2＝2.(3)若原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，则实数m的取值范围是________．答案　(－1,1)解析　因为原点在圆(x－2m)2＋(y－m)2＝5的内部，所以(0－2m)2＋(0－m)2<5.解得－1<m<1.(4)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，则3x2＋4y2的最大值为________．答案　48解析　因为(x－2)2＋y2＝4，所以y2＝4－(x－2)2≥0，所以(x－2)2≤4，|x－2|≤2.解得0≤x≤4.所以3x2＋4y2＝3x2＋4[4－(x－2)2]＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64.所以当x＝4时，3x2＋4y2取得最大值48. 题型 　求圆的方程1．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．答案　x2＋y2－2x＝0解析　解法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又因为圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，所以解得D＝－2，E＝0，F＝0，所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.解法二：记O(0,0)，A(1,1)，B(2,0)，线段OB的垂直平分线方程为x＝1，线段OA的垂直平分线方程为y－＝－，即x＋y－1＝0.解方程得圆心坐标为(1,0)．所以半径r＝1，圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.解法三：在平面直角坐标系中，画出圆上的三点，另证这三个点构成直角三角形，显然圆心坐标为(1,0)，半径为1，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1.2．一圆经过A(4,2)，B(－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0.①又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0.②1＋9－D＋3E＋F＝0.③解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.条件探究1　把举例说明1三点坐标改为“(1,3)，(4,2)，(1，－7)”，求此圆的方程．解　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.条件探究2　把举例说明2条件“在两坐标轴上的四个截距的和为2”改为“在x轴截得的弦长等于2”，其他条件不变，求此圆的方程．解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，①设x1，x2是方程①的两个根，则x1＋x2＝－D，x1x2＝F.由|x1－x2|＝2得D2－4F＝52，②又因为圆过(4,2)，(－1,3)，所以即解②③④组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12或D＝－54，E＝－260，F＝716.故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－54x－260y＋716＝0.求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．见举例说明1解法二．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．见巩固迁移1.②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．见举例说明2.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是(　　)A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0答案　B解析　设该圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．由题意得所以解得b＝5，r＝5，所以该圆的方程为x2＋(y－5)2＝25，即x2＋y2－10y＝0.2．圆(x－2)2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是(　　)A．(x－)2＋(y－1)2＝4B．(x－)2＋(y－)2＝4C．x2＋(y－2)2＝4D．(x－1)2＋(y－)2＝4答案　D解析　设圆(x－2)2＋y2＝4的圆心(2,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(a，b)，则有解得a＝1，b＝，从而所求圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝4.故选D.题型 　与圆有关的最值问题角度1　建立函数关系求最值1．(2018·厦门模拟)设点P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(－2,0)，则·的最大值为________．答案　12解析　＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，∵P(x，y)在圆上，∴·＝x2－4＋y2＝6y－8－4＝6y－12，∵2≤y≤4，∴·≤12.角度2　借助几何性质求最值(多维探究)2．(2018·抚顺模拟)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为________，最小值为________．答案　　－解析　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设＝k，即y＝kx.如图所示，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时＝，解得k＝±.所以的最大值为，最小值为－.结论探究1　若举例说明2中条件不变，求y－x的最大值与最小值．解　y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.结论探究2　若举例说明2中条件不变，求x2＋y2的最大值与最小值．解　如图所示，x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.求解与圆有关的最值问题的方法(1)借助几何性质求最值处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．见举例说明2.②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题．见举例说明2结论探究1.③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．见举例说明2结论探究2.(2)建立函数关系式求最值根据题中条件列出关于所求目标式子的函数关系式，再根据函数知识、基本不等式求最值．见举例说明1.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)A．1＋ B．2C．1＋ D．2＋2答案　A解析　将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A.2．已知圆O：x2＋y2＝1，直线x－2y＋5＝0上动点P，过点P作圆O的一条切线，切点为A，则·的最小值为________．答案　4解析　圆心O到直线x－2y＋5＝0的距离为＝，则||min＝.∵PA与圆O相切，∴PA⊥OA，即·＝0，∴·＝(＋)·＝2＝||2－||2≥5－1＝4.题型 　与圆有关的轨迹问题1．已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求直角顶点C的轨迹方程．解　解法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．解法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．2．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以＝，＝，整理得又点N(x＋3，y－4)在圆x2＋y2＝4上，所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆.1．掌握“三方法”2．明确“五步骤”　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2018·潍坊调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.