2020年高考数学理科一轮复习讲义：第8章平面解析几何第8讲

第8讲　曲线与方程 [考纲解读]　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系，能用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题．(重点)2.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，并掌握求曲线方程的两种常见题型：①根据曲线确定方程，可用待定系数法；②求轨迹方程，可用直接法、定义法、代入法(相关点法)、参数法．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个命题热点．预测2020年高考将会有以下两种命题方式：①用定义法求曲线的方程；②由已知条件直接求曲线的方程．题型为解答题中的一问，试题难度中等偏上．考查知识点多，能力要求较高，尤其是运算变形能力．解题时注意函数与方程思想及等价转化思想的应用.  求曲线方程的基本步骤1．概念辨析(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件．(　　)(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．(　　)(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.(　　)(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2．小题热身(1)已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是(　　)A．圆   B．椭圆C．双曲线   D．抛物线答案　D解析　∵＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，则·＝(－2－x)(3－x)＋(－y)2＝x2－6，化简得y2＝x，轨迹为抛物线．(2)方程x＝所表示的曲线是(　　)A．双曲线的一部分   B．椭圆的一部分C．圆的一部分   D．直线的一部分答案　B解析　x＝ 两边平方，可变为x2＋4y2＝1(x≥0)，表示的曲线为椭圆的一部分．(3)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是(　　)A．2x＋y＋1＝0  B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0  D．2x－y＋5＝0答案　D解析　设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.(4)已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．答案　x2＋y2＝4(y≠0)解析　由题意得点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(除去M，N两点)，其圆心坐标为(0,0)，半径r＝|MN|＝2，所以点P的轨迹方程是x2＋y2＝4(y≠0)． 题型 　定义法求轨迹方程1．过点F(0,3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为(　　)A．x2＝12y  B．y2＝－12xC．y2＝12x  D．x2＝－12y答案　A解析　由题意得动圆圆心到点F(0,3)和直线y＝－3的距离相等，所以动圆圆心的轨迹是以F(0,3)为焦点，直线y＝－3为准线的抛物线，其方程为x2＝12y.2．如图所示，已知点C为圆(x＋)2＋y2＝4的圆心，点A(，0)．P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP所在的直线上，且·＝0，＝2.当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程．解　由(x＋)2＋y2＝4知圆心C(－，0)，半径r＝2.∵·＝0，＝2，∴MQ⊥AP，点M为AP的中点，因此QM垂直平分线段AP.如图，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴||QC|－|QA||＝||QC|－|QP||＝|CP|＝2.又|AC|＝2>2，根据双曲线的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，实轴长为2的双曲线．由c＝，a＝1，得b2＝1，由此点Q的轨迹方程为x2－y2＝1.条件探究　若将举例说明2中的条件“圆C的方程(x＋)2＋y2＝4”改为“圆C的方程(x＋)2＋y2＝16”，其他条件不变，求点Q的轨迹方程．解　由(x＋)2＋y2＝16知圆心C(－，0)，半径r＝4.∵·＝0，＝2，∴QM垂直平分AP，连接AQ，则|AQ|＝|QP|，∴|QC|＋|QA|＝|QC|＋|QP|＝r＝4.根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以C(－，0)，A(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．由c＝，a＝2，得b＝.因此点Q的轨迹方程为＋＝1.定义法求轨迹方程的适用条件及关键点(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程，见举例说明1,2.(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键．(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．见巩固迁移．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 △ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆的圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．答案　－＝1(x>3)解析　如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.根据双曲线的定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x>3)．题型 　直接法求轨迹方程1．(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为________．答案　(x－10)2＋y2＝36(y≠0)解析　设A(x，y)，由题意可知D.又∵|CD|＝3，∴2＋2＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0)．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且过点P所引的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．解　(1)由题意，得c＝，e＝＝，因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，故椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是y＝k(x－x0)＋y0，则由得＋＝1，即(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx0)x＋9[(y0－kx0)2－4]＝0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，整理得(x－9)k2－2x0y0k＋y－4＝0.又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，于是有k1k2＝－1，即＝－1，即x＋y＝13(x0≠±3)．若两切线中有一条斜率不存在，则易得或或或经检验知均满足x＋y＝13.因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13. (1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．如举例说明1.(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2018·银川模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)A．y2＝2x   B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x   D．(x－1)2＋y2＝2答案　D解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1.又∵|PA|＝1，∴|PM|＝＝，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.故选D.2．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8.求动圆圆心的轨迹C的方程．解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，知|O1A|＝|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝.又|O1A|＝，∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.题型 　相关点法(代入法)求轨迹方程1．动点P在抛物线y＝2x2＋1上移动，若P与点Q(0，－1)连线的中点为M，则动点M的轨迹方程为(　　)A．y＝2x2  B．y＝4x2C．y＝6x2  D．y＝8x2答案　B解析　设M(x，y)，P(x0，y0)，因为P与点Q(0，－1)连线的中点为M，所以x0＝2x，y0＝2y＋1，又因为点P在抛物线y＝2x2＋1上移动，所以2y＋1＝2(2x)2＋1，即y＝4x2.故选B.2．如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若＝λ.(1)求N点的轨迹方程；(2)当N点的轨迹为圆时，求λ的值．解　(1)设点P，点N的坐标分别为P(x1，y1)，N(x，y)，则M的坐标为(x1,0)，且x＝x1，∴＝(x－x1，y－y1)＝(0，y－y1)，＝(x1－x，－y)＝(0，－y)，由＝λ得(0，y－y1)＝λ(0，－y)．∴y－y1＝－λy，即y1＝(1＋λ)y.∵P(x1，y1)在椭圆＋y2＝1上，则＋y＝1，∴＋(1＋λ)2y2＝1，故＋(1＋λ)2y2＝1即为所求的N点的轨迹方程．(2)要使点N的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝，解得λ＝－或λ＝－.所以当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．代入法求轨迹方程的四步骤　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．解　设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，∴x0＋y＝0.由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，∴即∴－x＋＝0，即y2＝4x.故所求的点N的轨迹方程是y2＝4x.