2020版高考物理一轮复习江苏专版讲义：第一章第3节运动图像追及与相遇问题

第3节运动图像__追及与相遇问题

(1)x ­t图像和v ­t图像都表示物体运动的轨迹。(×)

(2)x ­t图像和v ­t图像都只能描述直线运动。(√)

(3)x ­t图像上两图线的交点表示两物体此时相遇。(√)

(4)v ­t图像上两图线的交点表示两物体此时相遇。(×)

(5)同一直线上运动的两物体，后者若追上前者，后者速度必须大于前者。(√)

(6)同一直线上运动的两物体，速度相等时，两物体相距最远或最近。(√)

(7)两物体同向运动恰好不相碰，则此时两物体速度相等。(√)

突破点(一)　三类运动图像的比较

1．位移—时间(x ­t)图像

(1)位移—时间图像反映了做直线运动的物体的位移随时间变化的规律，并非物体运动的轨迹。

(2)位移—时间图像只能描述物体做直线运动的情况，这是因为位移—时间图像只能表示物体运动的两个方向：t轴上方代表正方向，t轴下方代表负方向。

(3)位移—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的速度，斜率的大小表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向。

[例1]　[多选](2019·南师大附中模拟)如图所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图像，由此可知质点在0～4 s内(　　)

A．先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动

B．一直做匀变速运动

C．t＝2 s时速度一定最大

D．速率为5 m/s的时刻有两个

[解析]　从题图中可知正向位移减小，故质点一直朝着负方向运动，A错误；图像的斜率表示速度大小，故斜率先增大后减小，说明质点速率先增大后减小，做变速运动，但不能判断是不是做匀变速直线运动，t＝2 s时，斜率最大，速度最大，B错误C正确；因为斜率先增大后减小，并且平均速度为5 m/s，故增大过程中有一时刻速度大小为5 m/s，减小过程中有一时刻速度大小为5 m/s，共有两个时刻速度大小为5 m/s，D正确。

[答案]　CD

2．位置坐标(x ­y)图像

表示物体位置的坐标图，图线表示物体实际运动轨迹的路线，在坐标图上能表示出物体运动的位移。

[例2]　[多选]如图为甲、乙、丙三个军事小分队进行军事行动的运动图像，下列说法正确的是(　　)

A．甲、丙两个分队的运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线

B．甲、乙、丙三个分队的位移相等

C．甲、乙、丙三个分队的平均速度相等

D．甲、乙、丙三个分队运动的路程相等

[解析]　位置坐标图像显示的是物体的运动轨迹，从题图可以看出甲、丙两个分队运动路线为曲线，乙分队的运动路线为直线，A正确；三个分队的初、末位置相同，位移相等，但运动路程不同，B正确，D错误；因不知道三个分队运动的时间大小关系，故无法比较三个分队的平均速度大小关系，C错误。

[答案]　AB

3．速度—时间(v ­t)图像

(1)速度—时间图像反映了做直线运动的物体的速度随时间变化的规律，只能描述物体做直线运动的情况。

(2)速度—时间图线上每一点的斜率表示物体该时刻的加速度。

(3)速度—时间图线与t轴所围面积表示这段时间内物体的位移。

[例3]　[多选](2019·沭阳中学月考)某质点做直线运动的v ­t图像如图所示，则(　　)

A．t＝2 s时质点的速度与加速度方向均改变

B．在1～3 s内质点做加速度为－2 m/s2的匀变速直线运动

C．前3 s内的位移大小为4 m

D．在2～3 s内质点的运动方向与正方向相反，加速度方向与1～2 s内的加速度方向相同

[解析]　t＝2 s时质点的速度方向改变，但是加速度方向不变，仍然为负方向，故选项A错误；根据加速度公式可得在1～3 s内质点的加速度为：a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，加速度恒定，故这段时间内质点做匀变速直线运动，选项B正确；根据图像的面积等于位移，可得前3 s内的位移为：x＝×(1＋2)×2 m－×1×2 m＝2 m，故选项C错误；由题给图像可知：在2～3 s内质点的运动方向为负方向，加速度方向与1～2 s内的加速度方向相同，故选项D正确。

[答案]　BD

突破点(二)　图像问题的解题思路

用图像来描述两个物理量之间的关系，是物理学中常用的方法，是一种直观且形象的语言和工具。它运用数和形的巧妙结合，恰当地表达各种现象的物理过程和物理规律。运用图像解题的能力可归纳为以下两个方面：

1．读图

2．作图和用图

依据物体的状态或物理过程所遵循的物理规律，作出与之对应的示意图或数学函数图像来研究和处理问题。

[典例]　一滑块以某一速度滑上足够长的光滑斜面，下列表示滑块运动的v ­t图像或a ­t图像，正确的是(　　)

A．甲和丙　　　　　　 　B．乙和丁

C．甲和丁   D．乙和丙

[解析]　滑块开始先向上做匀减速运动，然后向下做匀加速运动，在整个过程中，滑块受到重力、斜面的支持力两个力作用，合力始终等于重力的分力mgsin α，α是斜面的倾角，方向沿斜面向下，根据牛顿第二定律得知，滑块的加速度始终沿斜面向下，大小不变为gsin α，可以将整个运动看成是匀减速直线运动，则v ­t图像是一条倾斜的直线，综上可知乙、丁正确，甲、丙错误，故选B。

[答案]　B

[集训冲关]

1．(2019·伍佑中学调研)下列所给的图像中不能反映做直线运动的物体回到初始位置的是(　　)

解析：选B　由A图可知，物体开始和结束时的纵坐标均为0，说明物体又回到了初始位置；由B图可知，物体一直沿正方向运动，位移增大，故无法回到初始位置；C图中物体第1 s 内的位移沿正方向，大小为2 m，第2 s内位移大小为2 m，沿负方向，故2 s末物体回到初始位置；D图中物体做匀变速直线运动，2 s末时物体的总位移为零，故物体回到初始位置，综上可知选B。

2.(2019·泰州中学检测)某人在五楼阳台处竖直向上抛出一只皮球，其速率—时间图像如图所示，下列说法正确的是(　　)

A．t1时刻皮球达到最高点

B．t2时刻皮球回到出发点

C．0～t1时间内，皮球的加速度一直在增大

D．0～t2时间内，皮球的位移大小先增大后减小

解析：选A　由题图知，0～t1时间内，皮球的速度一直减小，t1时刻，皮球的速度为零，到达最高点，故A正确；根据图像与坐标轴所围面积表示位移大小，可知，t2时刻皮球落到出发点下方，故B错误；根据图像的斜率大小表示加速度大小，可知0～t1时间内，皮球的加速度一直在减小，故C错误；0～t2时间内，皮球的位移大小先增大后减小至零，再增大，故D错误。

突破点(三)　追及相遇问题

1．追及相遇问题中的一个条件和两个关系

(1)一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能够追上、追不上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。

(2)两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画运动示意图得到。

2．追及相遇问题常见的情况

假设物体A追物体B，开始时两个物体相距x0，有三种常见情况：

(1)A追上B时，必有xA－xB＝x0，且vA≥vB。

(2)要使两物体恰好不相撞，两物体同时到达同一位置时速度相同，必有xA－xB＝x0，vA＝vB。

(3)若使两物体保证不相撞，则要求当vA＝vB时，xA－xB＜x0，且之后vA≤vB。

3．解题思路和方法

⇒⇒⇒

[典例]　(2018·苏南名校第三次联考)如图所示，在两车道的公路上有黑白

两辆车，黑色车停在A线位置，某时刻白色车以速度v1＝40 m/s通过A线后，立即以大小为a1＝4 m/s2的加速度开始制动减速，黑车4 s后以a2＝4 m/s2的加速度开始向同一方向匀加速运动，经过一定时间，两车都到达B线位置。两车可看成质点。从白色车通过A线位置开始计时，求经过多长时间两车都到达B线位置及此时黑色车的速度大小。

[思路点拨]

(1)黑车从A线开始运动的时刻比白车经过A线时晚4 s。

(2)黑车由A线到B线一直做匀加速直线运动。

(3)判断白车停止运动时黑车是否追上白车。

[解析]　设白车停下来所需的时间为t1，减速过程通过的距离为x1，则v1＝a1t1

v12＝2a1x1

解得x1＝200 m，t1＝10 s

在t1＝10 s时，设黑车通过的距离为x2，

则x2＝a2(t1－t0)2

解得x2＝72 m<x1＝200 m

所以白车停车时黑车没有追上它，则白车停车位置就是B线位置。

设经过时间t两车都到达B线位置，此时黑车的速度为v2，

则x1＝a2(t－t0)2

v2＝a2(t－t0)

解得t＝14 s，v2＝40 m/s。

[答案]　14 s　40 m/s

[多维探究]

[变式1]　某一长直的赛道上有一辆赛车，其前方Δx＝200 m处有一安全车正以v0＝10 m/s的速度匀速前进，这时赛车从静止出发以a＝2 m/s2的加速度追赶安全车，试求：

(1)赛车追上安全车之前，从开始运动起经过多长时间与安全车相距最远？最远距离为多少？

(2)赛车经过多长时间追上安全车？

解析：(1)当赛车和安全车速度相等时，两车之间的距离最远；设赛车经过时间t1与安全车速度相等，则：at1＝v0

得t1＝5 s

最远距离Δxm＝Δx＋v0t1－at12＝225 m。

(2)追上安全车时两车的位移满足：x赛车＝Δx＋x安全车

即：at22＝Δx＋v0t2，解得t2＝20 s。

答案：(1)5 s　225 m　(2)20 s

[变式2]　A、B两列火车，在同一轨道上同向行驶，A车在前，其速度vA＝10 m/s，B车在后，其速度vB＝30 m/s，因大雾能见度低，B车在距A车x0＝85 m时才发现前方有A车，这时B车立即刹车，但B车要经过180 m才能停止，问：B车刹车时A车仍按原速率行驶，两车是否会相撞？若会相撞，将在B车刹车后何时相撞？若不会相撞，则两车最近距离是多少？

解析：B车刹车至停下来过程中，由v2－v02＝2ax得aB＝－2.5 m/s2，假设不相撞，设经过时间t两车速度相等，对B车有vA＝vB＋aBt，解得t＝8 s，此时，B车的位移为xB＝vBt＋aBt2＝160 m，A车的位移是xA＝vAt＝80 m，xB<x0＋xA，故两车不会相撞，两车最近距离为Δx＝x0＋xA－xB＝5 m。

答案：不会相撞，最近距离为5 m

[变式3]　如图所示，A、B两物体相距s＝7 m时，A在水平拉力和摩擦力作用下，正以vA＝4 m/s 的速度向右匀速运动，而物体B此时正以vB＝10 m/s向右匀减速运动，加速度a＝－2 m/s2，则A追上B所经历的时间是(　　)

A．7 s　　　　　　　　　　　 　B．8 s

C．9 s   D．10 s

解析：选B　由题意知，t＝5 s时，物体B的速度减为零，位移大小xB＝at2＝25 m，此时A的位移xA＝vAt＝20 m，A、B两物体相距Δs＝s＋xB－xA＝7 m＋25 m－20 m＝12 m，再经过Δt＝＝3 s，A追上B，所以A追上B所经历的时间是5 s＋3 s＝8 s，选项B正确。

[变式4]　货车正在以v1＝10 m/s的速度在平直的公路上前进，货车司机突然发现在其正后方s0＝25 m处有一辆小车以v2＝20 m/s的速度做同方向的匀速直线运动，货车司机为了不让小车追上，立即加大油门做匀加速运动，求：

(1)若货车的加速度大小为a＝4 m/s2，小车能否追上货车？若追不上，小车与货车相距的最近距离为多少？

(2)若要保证小车追上货车，则货车的加速度应满足什么条件？

解析：(1)当v货＝v小时，即v1＋at＝v2，解得：t＝2.5 s

2.5 s内货车的位移x货＝v1t＋at2＝37.5 m

2.5 s内小车的位移x小＝v2t＝50 m

因为x货＋s0＝37.5 m＋25 m＝62.5 m>x小，

所以小车未能追上货车

两者间的最小距离d＝x货＋s0－x小＝12.5 m。

(2)假设货车加速度为a2时，经时间t2小车恰追上货车，则：

v1＋a2t2＝v2

v1t2＋a2t22＋s0＝v2t2

联立解得：a2＝2 m/s2

货车加速度小于等于2 m/s2时，小车能追上货车。

答案：(1)小车未能追上货车　12.5 m

(2)货车加速度小于等于2 m/s2

复杂运动的分与合：匀变速直线运动和匀速直线运动都是理想化的模型，是实际运动的抽象，而社会生活中的实际运动往往是一个复杂的过程，是多种运动形式的结合。而单个物体的多过程运动和多个物体相关联的复合运动，近几年高考常以计算题形式考查。对于此类问题，解题的关键是对复杂运动进行正确分解，把复杂的运动转换为熟知的匀速直线运动和匀变速直线运动的组合。

(一)单个物体的多过程运动

 [例1]　(2018·浙江重点中学模拟)教练员在指导运动员进行训练时，经常采用“25米往返跑”来训练运动员的体能，“25米往返跑”的成绩反映了人体的灵敏素质。测定时，在平直跑道上，运动员以站立式起跑姿势站在起点终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方25米处的折返线，教练员同时开始计时。运动员到达折返线处时，用手触摸折返线处的物体(如木箱)，再转身跑向起点终点线，当胸部到达起点终点线的垂直面时，教练员停表，所用时间即为“25米往返跑”的成绩。设某运动员起跑的加速度为4 m/s2，运动过程中的最大速度为8 m/s，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度大小为8 m/s2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线。求该运动员“25米往返跑”的成绩为多少秒？

[解析]　对运动员，由起点终点线向折返线运动的过程中加速阶段t1＝＝2 s。位移x1＝vmt1＝×8×2 m＝8 m。

减速阶段t3＝＝1 s，

位移x3＝vmt3＝×8×1 m＝4 m。

匀速阶段t2＝＝1.625 s。

由折返线向起点终点线运动的过程中，

加速阶段t4＝＝2 s；

位移x4＝vmt4＝×8×2 m＝8 m。

匀速阶段t5＝＝2.125 s。

运动员“25米往返跑”的成绩为

t＝t1＋t2＋t3＋t4＋t5＝8.75 s。

[答案]　8.75 s

(二)两个物体的关联运动

(1)两个物体在关联之前各自独立地运动。

(2)分析两个物体的运动在关联区的相互关系，如时间关系、位移关系等。

[例2]　(2018·苏州重点中学联考)甲、乙两个同学在直跑道上练习4×100 m接力，

他们在奔跑时有相同的最大速度。乙从静止开始全力奔跑需跑出25 m才能达到最大速度，这一过程可看成匀变速直线运动，现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，则：

(1)乙在接力区须奔出多少距离？

(2)乙应在距离甲多远时起跑？

[解析]　本题涉及两个研究对象，其中甲运动员做匀速直线运动，乙运动员做初速度为零的匀加速直线运动，关联的地方是：①从开始运动至完成交接棒过程，他们的运动时间相等；②在这段时间内，甲的位移等于乙的位移与乙起跑时甲、乙之间距离的和。设甲、乙的最大速度为v，从乙起跑到接棒的过程中，甲、乙运动时间为t。

(1)乙起跑后做初速度为零的匀加速直线运动，设其加速度为a，v2＝2ax。

乙接棒时奔跑达到最大速度的80%，

得v1＝v×80%，v12＝2ax乙，x乙＝＝16 m。

乙在接力区须奔出的距离为16 m。

(2)乙的运动为匀加速直线运动，乙从起跑到接棒的时间为t，t＝＝，x乙＝t；

甲做匀速直线运动。其在乙从起跑到接棒的时间t内的位移为x甲＝vt；

乙起跑时距离甲的距离为Δx＝x甲－x乙＝24 m。

[答案]　(1)16 m　(2)24 m