2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第八章第五节　抛物线

第五节　抛物线

突破点一　抛物线的定义及其应用

抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)

(2)AB为抛物线y2＝4x的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，y1y2＝－4，弦长|AB|＝x1＋x2＋2.(　　)

答案：(1)×　(2)√

二、填空题

1．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为________．

答案：y2＝8x

2．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝________.

答案：1

3．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．

答案：

考法一　抛物线的定义及应用　

[例1]　(1)(2019·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为(　　)

A．(0,0)　　　　　　　　 B.

C．(1，) D．(2,2)

(2)(2019·襄阳测试)已知抛物线y＝x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于点N，若|MN|＝|NF|，则|MF|＝(　　)

A．2 B．3

C.   D.

[解析]　(1)过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．

(2)如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝.故选C.

[答案]　(1)D　(2)C

[方法技巧]

利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．　　

考法二　焦点弦问题　

焦点弦的常用结论

以抛物线y2＝2px(p＞0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：

(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；

(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；

(3)＋＝为定值；

(4)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；

(5)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；

(6)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；

(7)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．

[例2]　(2019·长沙四校联考)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，与抛物线的准线交于点M，且＝3，则||＝(　　)

A.   B.

C.   D.

[解析]　如图，不妨设Q点在第一象限，过P作PN垂直于抛物线的准线，垂足为N，

由抛物线定义可知|PF|＝|PN|，

又因为＝3，

所以＝2，

所以|PM|＝2|PF|＝2|PN|，

在Rt△PNM中，cos∠MPN＝＝，

由抛物线焦点弦的性质可知||＝＝＝.故选C.

[答案]　C

[方法技巧]

焦点弦问题的求解策略

解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．　　

1.若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)

A.   B．1

C.   D．2

解析：选B　设P(xP，yP)，由题意可得抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，又点P到焦点F的距离为2，∴由抛物线的定义知点P到准线的距离为2，∴xP＋1＝2，得xP＝1，代入抛物线方程得|yP|＝2，∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1.故选B.

2.已知AB是抛物线y2＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是(　　)

A.2   B.

C.   D.

解析：选C　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，

又p＝1，∴x1＋x2＝3，∴点C的横坐标是＝.故选C.

3.已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．

解析：依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最小值等于圆心C(－1，5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.

答案：5

突破点二　抛物线的标准方程及性质

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)

(2)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)

(3)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)×

二、填空题

1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是________．

答案：y2＝－22x

2．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为________．

答案：－

3．已知F是抛物线x2＝8y的焦点，若抛物线上的点A到x轴的距离为5，则|AF|＝________.

答案：7

考法一　求抛物线的标准方程　

[例1]　(1)(2019·河南中原名校联考)抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　)

A．y2＝6x　　　　　　　 　B．y2＝8x

C．y2＝16x   D．y2＝

(2)(2019·江西协作体联考)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)

A．y2＝4x或y2＝8x   B．y2＝2x或y2＝8x

C．y2＝4x或y2＝16x   D．y2＝2x或y2＝16x

[解析]　(1)设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.

(2)由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，抛物线上点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得·＝0，即y－8y0＋16＝0，因而y0＝4，M.由|MF|＝5得， ＝5，又p＞0，解得p＝2或p＝8，故选C.

[答案]　(1)B　(2)C

[方法技巧]

求抛物线方程的3个注意点

(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种．

(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．

(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．

考法二　抛物线的几何性质　

[例2]　(1)(2019·兰州双基过关考试)抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为(　　)

A．4   B．8

C．16   D．32

(2)(2018·赣州二模)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为(　　)

A．1   B．2

C．3   D．4

[解析]　(1)设抛物线的准线方程为x＝－(p＞0)，如图，则根据抛物线的性质有|PF|＝＋6＝10，解得p＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8.

(2)不妨设A(x0，y0)在第一象限，

由题意可知即

∴A，

又∵点A在抛物线y2＝2px上，∴＝2p×，即p4＝16，

又∵p＞0，∴p＝2，故选B.

[答案]　(1)B　(2)B

[方法技巧]

用抛物线几何性质的技巧

涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题．　　

1.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是(　　)

A．y2＝－x　　　　　　　　 　B．x2＝－8y

C．y2＝－8x或x2＝－y   D．y2＝－x或x2＝－8y

解析：选D　设抛物线为y2＝mx，代入点P(－4，－2)，解得m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(－4，－2)，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.

2.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(0，－)．若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|＝(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　由题意，F(1,0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d－1，由三角形相似，可得＝，所以d＝，故选A.

3.已知A是抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　)

A．x＝－1   B．y＝－1

C．x＝－2   D．y＝－2

解析：选A　过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.选A.