2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第七章第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系

第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系突破点一　平面的基本性质1．公理1～3 文字语言图形语言符号语言公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 ⇒l⊂α公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l[点拨]　公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据，公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据，公理3是证明三线共点或三点共线的依据．2．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(　　)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　)(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.(　　)(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×二、填空题1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有________．答案：42．下列命题中，真命题是________．(1)空间不同三点确定一个平面；(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面；(3)两组对边相等的四边形是平行四边形；(4)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内．解析：(1)是假命题，当三点共线时，过三点有无数个平面；(2)是假命题，当三条直线共点时，不能确定一个平面；(3)是假命题，两组对边相等的四边形可能是空间四边形；(4)是真命题．答案：(4)3．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列三个命题，其中真命题是________．(填序号)①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α.答案：③1．正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，N为线段DD1上靠近D1的三等分点，平面BMN交AA1于点Q，则线段AQ的长为(　　)A.　　　　　　　　　　 B.C.   D.解析：选D　如图所示，过点A作AE∥BM交DD1于点E，则E是DD1的中点，过点N作NT∥AE交A1A于点T，此时NT∥BM，所以B，M，N，T四点共面，所以点Q与点T重合，易知AQ＝NE＝，故选D.2.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，∵E，F分别是AB和AA1的中点，∴EF∥A1B且EF＝A1B.又∵A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF与CD1确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面．(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝CD1，∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　　)解析：选D　A，B，C图中四点一定共面，D中四 点不共面．2.如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面解析：选A　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．突破点二　空间中两直线的位置关系1．空间中两直线的位置关系(1)空间中两直线的位置关系(2)公理4和等角定理①公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．2．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：.一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b不可能是平行直线．(　　)(2)没有公共点的两条直线是异面直线．(　　)(3)经过平面内一点的直线(不在平面内)与平面内不经过该点的直线是异面直线．(　　)(4)若两条直线共面，则这两条直线一定相交．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×二、填空题1．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是____________．答案：相交、平行或异面2．长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线BD1与CC1所成的角为________．答案：3．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面直线的有________对．答案：3  考法一　空间两直线位置关系的判定　[例1]　(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有以下结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(　　)A．0　　　　　　　　　 　B．1C．2   D．3(2)在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．(填序号)[解析]　(1)法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错误，③显然成立．法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错误，③正确．(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中，GH与MN异面．[答案]　(1)B　(2)②④[方法技巧]　　空间两直线位置关系的判定方法考法二　异面直线所成的角　[例2]　(2018·全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)A.   B.C.   D.[解析]　如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．连接DF，由题意，得DF＝＝，FB1＝＝2，DB1＝＝.在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FB＋DB－2FB1·DB1·cos∠DB1F，即5＝4＋5－2×2××cos∠DB1F，∴cos∠DB1F＝.[答案]　C[方法技巧]　平移法求异面直线所成角的步骤平移平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移证明证明所作的角是异面直线所成的角或其补角寻找在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之取舍因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角 1.若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1与l4既不垂直也不平行D．l1与l4的位置关系不确定解析：选D　构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.2.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)A．相交   B．异面C．平行   D．垂直解析：选A　由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交．3.如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于(　　)A．30°   B．45°C．60°   D．90° 解析：选C　如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角．因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°，故选C.4.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)A.   B.C.   D.解析：选C　如图所示，将直三棱柱ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以cos∠B1AD1＝＝.