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    2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义:第三章第二节 第1课时 必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值

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    2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义:第三章第二节 第1课时 必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值

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    第二节 导数在研究函数中的应用1课时 必备知识——导数与函数的单调性、极值与最值利用导数研究函数的单调性1.函数f(x)在某个区间(ab)内的单调性与f(x)的关系(1)f(x)>0,则f(x)在这个区间上是单调递增.(2)f(x)<0,则f(x)在这个区间上是单调递减.(3)f(x)0,则f(x)在这个区间内是常数.2利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)f(x)(2)在定义域内解不等式f(x)>0f(x)<0.(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间.[提醒] (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持定义域优先原则(2)有相同单调性的单调区间不止一个时,用隔开或用连接,不能用“∪”连接(3)若函数yf(x)在区间(ab)上单调递增f(x)0且在(ab)的任意子区间等号不恒成立;若函数yf(x)在区间(ab)上单调递减f(x)0且在(ab)的任意子区间,等号不恒成立1.如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象,则下面判断正确的是(  )A.在区间(2,1)f(x)是增函数B.在区间(1,3)f(x)是减函数C.在区间(4,5)f(x)是增函数D.当x2时,f(x)取到极小值答案:C2.f(x)是函数f(x)的导函数,yf(x)的图象如图所示,则yf(x)的图象最有可能的是(  )答案:C3.函数yx42x25的单调递减区间为(  )A(,-1)(0,1)      B[1,0][1,+)C[1,1]         D(,-1][1,+)答案:A4.若函数yx3x2mx1R上的单调函数,则实数m的取值范围是(  )A.        B.C.        D.解析:C y3x22xm,由条件知y0R上恒成立,Δ412m0m.5.若函数f(x)kxln x在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是(  )A(,-2]          B(,-1] C[2,+)          D[1,+)解析:D 因为f(x)kxln x,所以f(x)k.因为f(x)在区间(1,+)上单调递增,所以当x>1时,f(x)k0恒成立,即k在区间(1,+)上恒成立.因为x>1,所以0<<1,所以k1.故选D.6.若函数y=-x3ax有三个单调区间,则a的取值范围是________解析:y=-4x2a,且y有三个单调区间,方程y=-4x2a0有两个不等的实根,Δ024×(4)×a>0a>0.答案:(0,+) 利用导数研究函数的极值1.函数的极大值在包含x0的一个区间(ab)内,函数yf(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值,称点x0为函数yf(x)的极大值点,其函数值f(x0)为函数的极大值.2函数的极小值在包含x0的一个区间(ab)内,函数yf(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值,称点x0为函数yf(x)的极小值点,其函数值f(x0)为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.[提醒] (1)极值点不是点,若函数f(x)x1处取得极大值,则x1为极大值点,极大值为f(x1);在x2处取得极小值,则x2为极小值点,极小值为f(x2).极大值与极小值之间无确定的大小关系.(2)极值一定在区间内部取得,有极值的函数一定不是单调函数.(3)f′(x0)0x0f(x)的极值点的必要而非充分条件.例如,f(x)x3f′(0)0,但x0不是极值点1.设函数f(x)ln x,则(  )Axf(x)的极大值点Bxf(x)的极小值点Cx2f(x)的极大值点Dx2f(x)的极小值点答案:D 2.如图是f(x)的导函数f(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(  )A1  B2C3  D4解析:A 由图象及极值点的定义知,f(x)只有一个极小值点.3.若函数f(x)x3ax23x9x=-3时取得极值,则a的值为(  )A2  B3C4  D5解析:D f(x)3x22ax3,由题意知f(3)0,即3×(3)22a×(3)30,解得a5.4.已知f(x)x33ax2bxa2,当x=-1时有极值0,则ab的值为________解析:f(x)3x26axb,由题意得解之,得a1b3时,f(x)3x26x33(x1)20恒成立,所以f(x)x=-1处无极值,舍去.所以a2b9.所以ab11.答案:115.设x1x2是函数f(x)x32ax2a2x的两个极值点,若x1<2<x2,则实数a的取值范围是________解析:由题意得f(x)3x24axa2的两个零点x1x2满足x1<2<x2.所以f(2)128aa2<0,解得2<a<6.答案:(2,6)6.若x=-2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点,则f(x)的极小值为________解析:因为f(x)(x2ax1)ex1,所以f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1[x2(a2)xa1]ex1.因为x=-2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点,所以-2x2(a2)xa10的根,所以a=-1f(x)(x2x2)ex1(x2)(x1)ex1.f(x)>0,解得x<2x>1,令f(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)(,-2)上单调递增,在      (2,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以当x1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值f(1)=-1.答案:1  函数的最值(1)在闭区间[ab]上连续的函数f(x)[ab]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)[ab]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)[ab]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.[提醒] 求函数最值时,易误认为极值点就是最值点,不通过比较就下结论1.函数f(x)ln xx在区间(0e]上的最大值为(  )A1e  B.-1C.-e  D0解析:B 因为f(x)1,当x(0,1)时,f(x)0;当x(1e]时,f(x)0,所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1e],所以当x1时,f(x)取得最大值ln 11=-1.2.函数f(x)x44x(|x|<1)(  )A.有最大值,无最小值  B.有最大值,也有最小值C.无最大值,有最小值  D.既无最大值,也无最小值解析:D f(x)4x344(x1)(x2x1).令f(x)0,得x1.x(1,1)1(1,1)该方程无解,故函数f(x)(1,1)上既无极值也无最值.故选D.3.函数yx2cos x在区间上的最大值是________答案:4.已知f(x)=-x2mx1在区间[2,-1]上的最大值就是函数f(x)的极大值,则m的取值范围是________答案:(4,-2)5.函数f(x)xexx[0,4]的最小值为________解析:f(x)exxexex(1x).令f(x)0,得x1(ex>0)f(1)>0f(0)0f(4)>0,所以f(x)的最小值为0.答案:06.已知函数f(x)2sin xsin 2x,则f(x)的最小值是________解析:f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1)2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1)cos x10cos x<时,f(x)<0f(x)单调递减;当cos x>时,f(x)>0f(x)单调递增.cos xf(x)有最小值.f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)sin x=-时,f(x)有最小值,f(x)min2××=-.答案:   

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