2020版高考新创新一轮复习数学新课改省份专用讲义：第五章第一节　平面向量的概念及线性运算

第五章  平面向量、复数

第一节　平面向量的概念及线性运算

突破点一　平面向量的有关概念

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．(　　)

(2)若a与b不相等，则a与b一定不可能都是零向量．(　　)

答案：(1)×　(2)√

二、填空题

1．如果对于任意的向量a，均有a∥b，则b为________．

答案：零向量

2．若e是a的单位向量，则a与e的方向________．

解析：∵e＝，∴e与a的方向相同．

答案：相同

3．△ABC中，点D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段所表示的向量中，与共线的向量有________个．

答案：7个

1．(2018·海淀期末)下列说法正确的是(　　)

A．方向相同的向量叫做相等向量

B．共线向量是在同一条直线上的向量

C．零向量的长度等于0

D．∥就是所在的直线平行于所在的直线

解析：选C　长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B不正确；显然C正确；当∥时，所在的直线与所在的直线可能重合，故D不正确．

2．(2019·辽宁实验中学月考)有下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若||＝||，则四边形ABCD是平行四边形；

③若m＝n，n＝k，则m＝k；

④若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中，假命题的个数是(　　)

A．1　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

解析：选C　对于①，|a|＝|b|，a，b的方向不确定，则a，b不一定相等，所以①错误；对于②，若||＝||，则，的方向不一定相同，所以四边形ABCD不一定是平行四边形，②错误；对于③，若m＝n，n＝k，则m＝k，③正确；对于④，若a∥b，b∥c，则b＝0时，a∥c不一定成立，所以④错误．综上，假命题的是①②④，共3个，故选C.

3．(2019·赣州崇义中学模拟)向量与共线是A，B，C，D四点共线的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　由A，B，C，D四点共线，得向量与共线，反之不成立，可能AB∥CD，所以向量与共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件，故选B.

关于平面向量的3个易错提醒

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；

(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；

(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

突破点二　平面向量的线性运算

1．向量的线性运算

2.平面向量共线定理

向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

3．向量的中线公式及三角形的重心

(1)向量的中线公式：

若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝(＋)．

(2)三角形的重心：

已知平面内不共线的三点A，B，C，＝(＋＋)⇔G是△ABC的重心．特别地，＋＋＝0⇔P为△ABC的重心．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要条件．(　　)

(2)△ABC中，D是BC的中点，则＝(＋)．(　　)

答案：(1)×　(2)√

二、填空题

1．在如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝________.

答案：

2．化简：(－)－(－)＝________.

解析：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.

答案：0

3．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为________．

答案：－

考法一　平面向量的线性运算　

应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．

(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；

(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；

(3)数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．

[例1]　(1)(2019·湖北咸宁联考)如图，在△ABC中，点M为AC的中点，点N在AB上，＝3，点P在MN上，＝2，那么＝(　　)

A.－　　　　 B.－

C.－   D.＋

(2)如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

[解析]　(1)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.故选D.

(2)根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋＝＋.

因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.

[答案]　(1)D　(2)C

[方法技巧]

1．平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路

(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．

(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．

(3)比较、观察可知所求．　　

考法二　平面向量共线定理的应用　

求解向量共线问题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔＝(1－t)·＋t (O为平面内任一点，t∈R)．

[例2]　(1)(2019·南昌莲塘一中质检)已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则λ，μ的关系一定成立的是(　　)

A．λμ＝1  B．λμ＝－1

C．λ－μ＝－1  D．λ＋μ＝2

(2)(2019·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为________．

[解析]　(1)∵与有公共点A，∴若A，B，C三点共线，则存在一个实数t使＝t，即λa＋b＝ta＋μtb，则消去参数t得λμ＝1；反之，当λμ＝1时，＝a＋b，此时存在实数使＝，故和共线．∵与有公共点A，∴A，B，C三点共线．故选A.

(2)由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.

又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，

所以＝－＝3e1－2ke2－(ke1＋e2)

＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，

所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，

又e1与e2不共线，

所以解得k＝－.

[答案]　(1)A　(2)－

[方法技巧]　　平面向量共线定理的3个应用

1.在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　)

A.＋   B.＋

C.＋   D.＋

解析：选B　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋，故选B.

2.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　)

A．1  B.

C.  D.

解析：选D　由题意易得＝＋＝＋，

则2＝＋，即＝＋.

故λ＋μ＝＋＝.

3.设两个非零向量a与b不共线．

(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

解：(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，

∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，

∴，共线，又它们有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

(2)∵ka＋b与a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.

又a，b是两个不共线的非零向量，

∴∴k2－1＝0.∴k＝±1.