2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第二章第八节函数与方程

第八节函数与方程1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)，x∈D，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)，x∈D的零点❶.2．函数的零点与方程根的联系函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的横坐标，所以方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数f(x)有零点．3．零点存在性定理4．二次函数图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无零点个数❹210(1)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．(2)零点一定在定义域内.由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0，如下图所示．所以f(a)·f(b)＜0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶次零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号． 零点存在性定理只能判断零点存在，不能确定零点的个数．若函数在某区间上是单调函数，则该函数在该区间上至多有一个零点．判断二次函数f(x)的零点个数就是判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实根个数，一般由判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0完成．[熟记常用结论]1．若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)＜0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．3．周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　　)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√二、选填题1．已知函数y＝f(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y＝f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)A．2个　　　　　　　　 B．3个C．4个  D．5个解析：选B　由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y＝f(x)在[1,6]上至少有3个零点．故选B.2．函数f(x)＝ln x－的零点所在的大致范围是(　　)A．(1,2)  B．(2,3)C.和(3,4)  D．(4，＋∞)解析：选B　易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，得f(2)·f(3)＜0.故选B.3．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数为(　　)A．0  B．1C．2  D．3解析：选B　函数f(x)＝ex＋3x在R上是增函数，∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0，∴函数f(x)有唯一零点，且在(－1,0)内，故选B.4．函数f(x)＝(x2－2)(x2－3x＋2)的零点为________．答案：－， ，1,2考点一函数零点所在区间的判断[基础自学过关][题组练透]1．(2019·郑州名校联考)已知实数a，b满足2a＝3,3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)A．(－2，－1)　　　　　　 B．(－1,0)C．(0,1)  D．(1,2)解析：选B　∵2a＝3,3b＝2，∴a＞1,0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b是单调递增函数，∴f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，∴f(x)在区间(－1,0)上存在零点．故选B.2．若x0是方程x＝x的解，则x0属于区间(　　)A.  B.C.  D.解析：选C　令g(x)＝x，f(x)＝x，则g(0)＝1＞f(0)＝0，g＝＜f＝，g＝＞f＝，结合图象可得＜x0＜.3．(2019·河北武邑中学调研)函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.解析：因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－1＋ln 2＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.答案：2[名师微点]确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．考点二判断函数零点个数[师生共研过关][典例精析]已知函数f(x)＝函数g(x)＝3－f(2－x)，则函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　)A．2  B．3C．4  D．5[解析]　由已知条件可得g(x)＝3－f(2－x)＝函数y＝f(x)－g(x)的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示．由图可知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象有2个交点，所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2，选A.[答案]　A[解题技法]函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．[过关训练]1．(2019·郑州质检)已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为________．解析：如图，作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象，可知其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3.答案：32．函数f(x)＝的零点个数是________．解析：当x＜0时，令f(x)＝0，即x2＋2x＝0，解得x＝－2或x＝0(舍去)，所以当x＜0时，只有一个零点；当x≥0时，f(x)＝ex－x－2，而f′(x)＝ex－1，显然f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又f(0)＝e0－0－2＝－1＜0，f(2)＝e2－4＞0，所以当x≥0时，函数f(x)有且只有一个零点．综上，函数f(x)只有2个零点．答案：23．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为________．解析：由题意可知，当3x＋＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)＝0.∵x∈[0，π]，∴3x＋∈，∴当3x＋取值为，，时，f(x)＝0，即函数f(x)＝cos在[0，π]的零点个数为3.答案：3考点三函数零点的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一)　根据函数零点个数或存在情况求参数范围[例1]　(1)(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(0,1]　　　　　　 B．[1，＋∞)C．(0,1)  D．(－∞，1](2)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)A．[－1,0)  B．[0，＋∞)C．[－1，＋∞)  D．[1，＋∞)[解析]　(1)画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需0＜a≤1；当x＞0时，f(x)有一个零点，需－a＜0，即a＞0.综上，0＜a≤1，故选A.(2)令h(x)＝－x－a，则g(x)＝f(x)－h(x)．在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)的示意图，如图所示．若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点，平移y＝h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．故选C.[答案]　(1)A　(2)C考法(二)　根据函数零点的范围求参数范围[例2]　若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．[解析]　依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得＜m＜.[答案]　考法(三)　求函数多个零点(方程根)的和[例3]　(2019·石家庄质量检测)已知M是函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx(x∈R)的所有零点之和，则M的值为________．[解析]　将函数f(x)＝|2x－3|－8sin πx的零点转化为函数h(x)＝|2x－3|与g(x)＝8sin πx图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数h(x)与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g(x)的图象都关于直线x＝对称，两个函数的图象共有8个交点，所以函数f(x)的所有零点之和M＝8×＝12.[答案]　12[规律探求]看个性考法(一)是根据函数零点的个数及零点存在情况求参数范围，解决此类问题通常先对解析式变形，然后在同一坐标系内画出函数的图象，数形结合求解．考法(二)是根据函数零点所在区间求参数，解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．考法(三)是求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线y＝m与函数图象的多个交点横坐标)的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征(这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等)找共性根据函数零点求参数范围的一般步骤为：(1)转化：把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况．(2)列式：根据零点存在性定理或结合函数图象列式．(3)结论：求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围. [过关训练]1．函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)　　　　　　 B．[2，＋∞)C.  D.解析：选D　由题意知方程ax＝x2＋1在上有解，即a＝x＋在上有解，设t＝x＋，x∈，则t的取值范围是，∴实数a的取值范围是.2．设函数f(x)＝g(x)＝f(x)－4mx－m，其中m≠0.若函数g(x)在区间(－1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)A．{－1}∪  B.C．{－1}∪  D.解析：选C　作出函数y＝f(x)的大致图象，如图所示．函数g(x)的零点个数⇔函数y＝f(x)的图象与直线y＝4mx＋m的交点个数．直线y＝4mx＋m过点，当直线y＝4mx＋m过点(1,1)时，m＝；当直线y＝4mx＋m与曲线y＝－1(－1＜x＜0)相切时，设切点为，由y′＝－得切线的斜率为－，则－＝，解得x0＝－，所以4m＝－＝－4，得m＝－1.结合图象可知当m≥或m＝－1时，函数g(x)在区间(－1,1)上有且仅有一个零点．                                                               一、题点全面练1．设f(x)是区间[－1,1]上的增函数，且f ·f ＜0，则方程f(x)＝0在区间[－1,1]内(　　)A．可能有3个实数根　　　 B．可能有2个实数根C．有唯一的实数根  D．没有实数根解析：选C　∵f(x)在区间[－1,1]上是增函数，且f ·f ＜0，∴f(x)在区间上有唯一的零点．∴方程f(x)＝0在区间[－1,1]内有唯一的实数根．2．(2018·濮阳一模)函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间(　　)A．(2,3)  B．(3,4)C．(0,1)  D．(1,2)解析：选D　∵f(x)＝ln(2x)－1是增函数，且是连续函数，f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 4－1＞0，∴根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于区间(1,2)上．3．(2019·南宁模拟)设函数f(x)＝ln x－2x＋6，则f(x)零点的个数为(　　)A．3  B．2C．1  D．0解析：选B　令f(x)＝0，则ln x＝2x－6，令g(x)＝ln x(x＞0)，h(x)＝2x－6(x＞0)，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数f(x)零点的个数，容易看出函数f(x)零点的个数为2，故选B.4．已知函数f(x)＝x－log3x，若x0是函数y＝f(x)的零点，且0＜x1＜x0，则f(x1)的值(　　)A．恒为正值  B．等于0C．恒为负值  D．不大于0解析：选A　因为函数f(x)＝x－log3x在(0，＋∞)上是减函数，所以当0＜x1＜x0时，有f(x1)＞f(x0)．又x0是函数f(x)的零点，因此f(x0)＝0，所以f(x1)＞0，即f(x1)的值恒为正值，故选A.5．(2018·黄山一模)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(　　)A．(0,1)  B．(1，＋∞)C．(－1,0)  D．(－∞，－1)解析：选B　方程f(x)＝k化为方程e|x|＝k－|x|.令y＝e|x|，y＝k－|x|，y＝k－|x|表示过点(0，k)，斜率为1或－1的平行折线系，折线与曲线y＝e|x|恰好有一个公共点时，有k＝1，如图．若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是(1，＋∞)．6．若方程ln x＋x－4＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a的值为(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：选B　方程ln x＋x－4＝0的根为函数f(x)＝ln x＋x－4的零点．f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)在定义域上单调递增．因为f(2)＝ln 2－2＜0，f(3)＝ln 3－1＞0，所以f(x)在区间(2,3)有一个零点，则方程ln x＋x－4＝0在区间(2,3)有一根，所以a＝2，b＝3.故选B.7．(2019·哈尔滨检测)若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－1和2，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．解析：函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－1和2，即－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，可得－1＋2＝－a，－1×2＝b，解得a＝－1，b＝－2.f(x)＝x2－x－2，af(－2x)＞0，即4x2＋2x－2＜0，解得－1＜x＜.答案：8．已知函数f(x)＝g(x)＝则函数f(g(x))的所有零点之和是________．解析：由f(x)＝0，得x＝2或x＝－2，由g(x)＝2，得x＝1＋，由g(x)＝－2，得x＝－，所以函数f(g(x))的所有零点之和是－＋1＋＝＋.答案：＋9．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.(1)写出函数y＝f(x)的解析式；(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围．解：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.所以f(x)＝(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．作出y＝f(x)与y＝a的图象如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，只需－1＜a＜1，故实数a的取值范围为(－1,1)．10．(2019·济南月考)已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．解：(1)因为f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，所以f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a＞0.所以f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)因为g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2(x＞0)，所以g′(x)＝1＋－＝.令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下.x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值 当0＜x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4＜0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)上只有1个零点． 二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．(2018·德州期末)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3，则f(x)的零点个数为(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：选C　因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即0是函数f(x)的一个零点，当x＞0时，f(x)＝ex＋x－3为增函数．因为f(1)＝e1＋1－3＝e－2＞0，f＝e＋－3＝e－＜0，所以当x＞0时，f(x)有一个零点．根据对称性知，当x＜0时，函数f(x)也有一个零点．综上所述，f(x)的零点的个数为3.2．(2019·六安模拟)已知函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)A.∪  B.C.  D.解析：选D　当m＝0时，函数f(x)＝－x－1有一个零点x＝－1，满足条件．当m≠0时，函数f(x)＝2mx2－x－1在区间(－2,2)上恰有一个零点，需满足①f(－2)·f(2)＜0或②或③解①得－＜m＜0或0＜m＜；②无解；解③得m＝.综上可知－＜m≤，故选D.3．(2019·沧州质检)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)＋f(2－x)＝0；②f(x－2)＝f(－x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝则函数y＝f(x)－|x|在区间[－3,3]上的零点个数为(　　)A．5  B．6C．7  D．8解析：选A　由①f(x)＋f(2－x)＝0可得f(x)的图象关于点(1,0)对称；由②f(x－2)＝f(－x)可得f(x)的图象关于直线x＝－1对称．如图，作出f(x)在[－1,1]上的图象，再由对称性，作出f(x)在[－3,3]上的图象，作出函数y＝|x|在[－3,3]上的图象，由图象观察可得它们共有5个交点，即函数y＝f(x)－|x|在区间[－3,3]上的零点个数为5.故选A.4．函数f(x)＝|x－1|＋2cos πx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________．解析：可转化为两个函数y＝|x－1|与y＝－2cos πx在[－4,6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x＝1对称，所以两个函数在x＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：10(二)难点专练——适情自主选5．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是(　　)A.  B.C.  D.解析：选D　若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．∴k×1－＞0，解得k＞.当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，则k＝＝，∴m＝.此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，故所求k的取值范围是，故选D.6．(2018·兰州一模)已知定义在R上的函数y＝f(x)对任意的x都满足f(x＋2)＝f(x)，当－1≤x＜1时，f(x)＝sinx，若函数g(x)＝f(x)－loga|x|至少有6个零点，则a的取值范围是(　　)A.∪(5，＋∞)  B.∪[5，＋∞)C.∪(5,7)  D.∪[5,7)解析：选A　当a＞1时，作出函数y＝f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．结合图象可知故a＞5；当0＜a＜1时，作出函数f(x)与函数y＝loga|x|的图象，如图所示．结合图象可知故0＜a≤.故选A.