2020版新设计一轮复习数学（理）通用版讲义：第五讲解题的必备积淀——把根留住

第五讲解题的必备积淀——把根留住许多考生虽然做了大量的习题，但遇到类似的题目仍不知所措，“这道题我好像做过，但还是做不出来”是学生普遍反映的现象；“这道题，我上课讲过的，学生怎么还是不会”，这是一线教师的口头禅；学生平时解题也知道要进行化归，但总找不到归根何处．这就是平时只顾埋头做题，不注重归纳领悟而造成的高耗低能现象．为什么会有这样的偏差？什么是数学的“根”？如何把“根”留住？　　高考数学题既考查学生对基础知识、基本技能的掌握程度，又考查对数学思想方法、数学本质的理解水平．如果学习中仅就题论题，对问题的理解只停留在知识、方法表象层次上，而没有体会到问题背后的“根”，那么做再多的习题，也只是事倍功半.它应该是数学最本质的东西，是数学知识的内在联系、数学规律的形成过程、数学思想方法的提炼、数学核心价值的理解、数学理性精神(依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，以形成概念、判断或推理)的体验等.可通过研究问题的变式，留住知识之“根”；通过优化问题的解法，留住方法之“根”．只有这样，高考数学的复习才能强“根”固本，枝繁叶茂.一、研究问题的变式，留住知识之“根”一题多变，总结规律．可培养思维的探索性和深刻性，通过对变式问题的研究，可以解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓解题思路．在分析解决问题的过程中，既构建知识横向联系，又养成多角度思考问题的习惯．[例1]　在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若点P为线段BC的中点，则·＝________.[解析]　因为点P为线段BC的中点，所以＝(＋)，又因为＝－，所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(52－32)＝8.[答案]　8[变式1]　在△ABC中，AB＝3，AC＝5，若点P为△ABC的外心，则·＝________.[解析]　取BC的中点D，连接AD，PD，则＝＋，所以·＝(＋)·＝·＋·.因为点P为△ABC的外心，点D为线段BC的中点，所以⊥，则·＝0.于是·＝·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝8.[答案]　8[变式2]　在△ABC中，AB＝m，AC＝n，D为BC的中点．若点P为线段BC垂直平分线上的任意一点，求证：·＝(n2－m2)．[证明]　由题意，可得⊥，所以·＝0，从而·＝(＋)·＝·＋·＝·.又因为＝(＋)，＝－，所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝(n2－m2)．[反思领悟]　以平面几何图形作为命题背景的向量数量积问题是高考命题的常见题型．平面向量的数量积运算，有两种体系，一是数量积的几何运算，二是向量数量积的坐标运算．对于三角形中相关线段构成的向量数量积计算问题，其中三角形中线的向量表示、向量加减法的三角形法则是求解这类问题的突破口．二、优化问题的解法，留住方法之“根”一题多解，触类旁通．培养发散思维能力，培养思维的灵活性．一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系．从各种途径，用多种方法思考问题，可开拓解题思路，掌握知识的内在联系，并从多种解法的对比中选出最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力提高．[例2]　已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则(　　)A．c≤3　　　　　　　　 B．3＜c≤6C．6＜c≤9  D．c>9[解析]　法一：由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得⇒⇒则f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c，而0＜f(－1)≤3，故0＜－6＋c≤3，所以6＜c≤9，故选C.法二：设f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝k，则0＜k≤3.设f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋k，则c＝k＋6，所以6＜c≤9，故选C.法三：由题意，f(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＋c－6，得0＜c－6≤3，所以6＜c≤9，故选C.法四：取f(－1)＝f(－2)＝f(－3)＝3，则c＝9，故选C.[答案]　C[反思领悟]　法一直接利用已知条件求出系数a，b，代入后求解不等式，为常规解法，运算量较大；法四为特殊值法，有一定的偶然性，较之法一简洁，是一种行之有效的解决选择题的方法，此处也可取f(－1)＝1等值；法二、三则蕴含了函数的零点与解析式之间的关系结构，是问题解决的基本方法，并可将问题结构转化为类似的更高次数的函数问题．数学是一门工具性学科，它研究的是空间形式与数量的关系，数学的本性是“智慧”，是“人的思维”．数学教学的本质是思维过程的引导、启发．因此，做数学题要从根本处抓起，通过研究问题的变式，优化解题的方法等方式，跳出无边无际的“书山题海”，通过对解题过程的“反刍”，留住知识之“根”、方法之“根”．只有从“根”处浇灌知识之营养，数学之“花”才能灿烂绽放．