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    2020版新设计一轮复习数学(文)通用版讲义:第二章第二节函数的单调性与最值

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    2020版新设计一轮复习数学(文)通用版讲义:第二章第二节函数的单调性与最值

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    第二节函数的单调性与最值

    一、基础知识批注——理解深一点

    1增函数、减函数

    定义:设函数f(x)的定义域为I

    (1)增函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.

    (2)减函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

    ()函数定义中的x1x2的三个特征

    一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.

    2单调性、单调区间

    若函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数yf(x)单调区间.

    有关单调区间的两个防范

    (1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.

    (2)有多个单调区间应分别写,不能用符号连接,也不能用连接,只能用逗号连接.

     

    3函数的最值

    设函数yf(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:

    (1)对于任意的xI,都有f(x)Mf(x)M.

    (2)存在x0I,使得f(x0)M.

    那么,我们称M是函数yf(x)最大值或最小值.

    函数最值存在的两条结论

    (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.

    (2)开区间上的单峰函数一定存在最大()值.

    二、常用结论汇总——规律多一点

    在公共定义域内:

    (1)函数f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)g(x)是增函数;

    (2)函数f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)g(x)是减函数;

    (3)函数f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)g(x)是增函数;

    (4)函数f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)g(x)是减函数;

    (5)k>0,则kf(x)f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)f(x)单调性相反;

    (6)函数yf(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x)y的单调性相反;

    (7)复合函数yf[g(x)]的单调性与yf(u)ug(x)的单调性有关.简记:同增异减”.

     

    三、基础小题强化——功底牢一点

     

    (1)函数y的单调递减区间是(0)(0,+)(  )

    (2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性.(  )

    (3)若定义在R上的函数f(x)f(1)<f(3),则函数f(x)R上为增函数.(  )

    (4)函数yf(x)[1,+)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+)(  )

    (5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.(  )

    (6)所有的单调函数都有最值.(  )

    答案(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×

     

    ()选一选

    1.若函数y(2m1)xbR上是减函数,则(  )

    Am>         Bm<

    Cm>   Dm<

    解析:B 若函数y(2m1)xbR上是减函数,则2m1<0,即m<.

    2.下列函数中,图象是轴对称图形且在区间(0,+)上单调递减的是(  )

    Ay  By=-x21  Cy2x  Dylog2|x|

    解析:B 因为函数的图象是轴对称图形,所以排除AC,又y=-x21        (0,+)上单调递减,ylog2|x|(0,+)上单调递增,所以排除D.故选B.

    3.函数f(x)|x2|x的单调减区间是(  )

    A[1,2]   B[1,0]  C[0,2]   D[2,+)

    解析:A 由于f(x)|x2|x结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2]

    ()填一填

    4.设定义在[1,7]上的函数yf(x)的图象如图所示,则函数yf(x)的增区间为________

    解析:由图可知函数的增区间为[1,1][5,7]

    答案[1,1][5,7]

    5.函数f(x)[2,0]上的最大值与最小值之差为________

    解析:易知f(x)[2,0]上是减函数,

    f(x)maxf(x)minf(2)f(0)=-(2).

    答案:

     

     

    [典例] (1)求函数f(x)=-x22|x|1的单调区间.

    (2)试讨论函数f(x)(a0)(1,1)上的单调性.

    [] (1)易知f(x)

    画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(,-1][0,1],单调递减区间为[1,0][1,+)

    (2)法一:定义法

    设-1<x1<x2<1

    f(x)aa

    f(x1)f(x2)aa

    .

    由于-1<x1<x2<1

    所以x2x1>0x11<0x21<0

    故当a>0时,f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)

    函数f(x)(1,1)上单调递减;

    a<0时,f(x1)f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)

    函数f(x)(1,1)上单调递增.

    法二:导数法

    f(x)

    =-.

    a>0时,f(x)<0,函数f(x)(1,1)上单调递减;

    a<0时,f(x)>0,函数f(x)(1,1)上单调递增.

     

    [解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法

    (1)定义法:一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论.

    (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.

    (3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性及区间.

    (4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断;复合函数单调性,可用同增异减来确定.

    [题组训练]

    1.下列函数中,满足x1x2(0,+)x1x2(x1x2[f(x1)f(x2)]<0的是(  )

    Af(x)2x        Bf(x)|x1|

    Cf(x)x   Df(x)ln(x1)

    解析:C 由(x1x2[f(x1)f(x2)]<0可知,f(x)(0,+)上是减函数,AD选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)|x1|(0,+)上不单调;对于f(x)x,因为yy=-x(0,+)上单调递减,因此f(x)(0,+)上是减函数.

    2.函数f(x)log(x24)的单调递增区间是(  )

    A(0,+)   B(0)

    C(2,+)   D(,-2)

    解析:D 令tx24,则ylogt.因为ylogt在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数tx24的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(,-2)

    3.判断函数f(x)x(a>0)(0,+)上的单调性.

    解:x1x2是任意两个正数,且x1<x2

    f(x1)f(x2)(x1x2a)

    0<x1<x2时,0<x1x2<ax1x2<0

    所以f(x1)f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)

    所以函数f(x)(0 ]上是减函数;

    x1<x2时,x1x2>ax1x2<0

    所以f(x1)f(x2)<0,即f(x1)<f(x2)

    所以函数f(x)[,+)上是增函数.

    综上可知,函数f(x)x(a>0)(0 ]上是减函数,在[,+)上是增函数.

     

    [典例] (1)(2019深圳调研)函数y|x1||x2|的值域为________

    (2)若函数f(x)=-b(a>0)上的值域为,则a________b________.

    (3)函数f(x)的最大值为________

    [解析] (1)图象法

    函数y

    作出函数的图象如图所示.

    根据图象可知,函数y|x1||x2|的值域为[3,+)

    (2)单调性法

    f(x)=-b(a>0)上是增函数,

    f(x)minff(x)maxf(2)2.

    解得a1b.

    (3)x0时,f(x)=-x24x=-(x2)24,而-2(0],此时f(x)x=-2处取得最大值,且f(2)4;当x>0时,f(x)sin x,此时f(x)在区间(0,+)上的最大值为1.综上所述,函数f(x)的最大值为4.

    [答案] (1)[3,+) (2)1  (3)4

     

    [解题技法] 求函数最值的5常用方法

     

    单调性法

    先确定函数的单调性,再由单调性结合端点值求最值

    图象法

    先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值

    基本不

    等式法

    先对解析式变形,使之具备一正二定三相等的条件后用基本不等式求出最值

    导数法

    先求出导函数,然后求出给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值

    换元法

    对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值

     

    [口诀归纳]

    单调性,左边看,上坡递增下坡减;

    函数值,若有界,上界下界值域外.

     

    [提醒] (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.

    (2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.

     

    [题组训练]

    1.函数f(x)的值域为________

    解析:x>0时,f(x)x4

    当且仅当x2时取等号;

    x<0时,-x4

    f(x)x4

    当且仅当x=-2取等号,

    所以函数f(x)的值域为(,-4][4,+)

    答案:(,-4][4,+)

    2.若x,则函数y4sin2x12sin x1的最大值为________,最小值为________

    解析:tsin x,因为x

    所以tyf(t)4t212t1

    因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t,所以当t时,函数f(t)单调递减,

    所以当t=-时,ymax6

    t1时,ymin=-9.

    答案6 -9

     

    3.已知f(x)x[1,+),且a1.若对任意x[1,+)f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是________

    解析:对任意x[1,+)f(x)>0恒成立等价于x22xa>0x[1,+)上恒成立,即a>x22xx[1,+)上恒成立.

    又函数y=-x22x[1,+)上单调递减,

    (x22x)max=-3,故a>3

    a13<a1.

    答案(3,1]

     

    考法() 比较函数值的大小

    [典例] 设偶函数f(x)的定义域为R,当x[0,+)时,f(x)是增函数,则f(2)f(π)f(3)的大小关系是(  )

    Af(π)>f(3)>f(2) 

    Bf(π)>f(2)>f(3)

    Cf(π)<f(3)<f(2) 

    Df(π)<f(2)<f(3)

    [解析] 因为f(x)是偶函数,所以f(3)f(3)f(2)f(2)

    又因为函数f(x)[0,+)上是增函数.

    所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(3)>f(2)

    [答案] A

    [解题技法] 比较函数值大小的解题思路

    比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.

    考法() 解函数不等式

    [典例] 设函数f(x)f(a1)f(2a1),则实数a的取值范围是(  )

    A(1]         B(2]

    C[2,6]   D[2,+)

    [解析] 易知函数f(x)在定义域(,+)上是增函数,f(a1)f(2a1)

    a12a1,解得a2.故实数a的取值范围是(2]

    [答案] B

     

    [解题技法] 求解含f的函数不等式的解题思路

    先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,再根据函数的单调性去掉f,得到一般的不等式g(x)>h(x)(g(x)<h(x))

     

    考法() 利用单调性求参数的范围(或值)

    [典例]  (2019南京调研)已知函数f(x)x(1,+)上是增函数,则实数a的取值范围是________

    [解析] 设1<x1<x2x1x2>1.

    函数f(x)(1,+)上是增函数,

    f(x1)f(x2)x1

    (x1x2)<0.

    x1x2<01>0,即a>x1x2.

    1<x1<x2x1x2>1x1x2<1a1.

    a的取值范围是[1,+)

    [答案] [1,+)

     

    [解题技法]

    利用单调性求参数的范围(或值)的方法

    (1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;

    (2)需注意若函数在区间[ab]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.

    [题组训练]

    1.已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)f(x1)]·(x2x1)<0恒成立,设afbf(2)cf(3),则abc的大小关系为(  )

    Ac>a>b   Bc>b>a

    Ca>c>b   Db>a>c

    解析:D 由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称,故函数yf(x)的图象关于直线x1对称,所以aff.x2>x1>1时,[f(x2)f(x1)](x2x1)<0恒成立,等价于函数f(x)(1,+)上单调递减,所以b>a>c.

    2.已知函数f(x)R上的单调函数,则实数a的取值范围是(  )

     

    A.   B.

    C.   D.

    解析:B 由对数函数的定义可得a>0,且a1.

    又函数f(x)R上单调,而二次函数yax2x的图象开口向上,

    所以函数f(x)R上单调递减,

    故有

    所以a.

    A——保大分专练

    1.下列四个函数中,在x(0,+)上为增函数的是(  )

    Af(x)3x       Bf(x)x23x

    Cf(x)=-   Df(x)=-|x|

    解析:C 当x>0时,f(x)3x为减函数;当x时,f(x)x23x为减函数,当x时,f(x)x23x为增函数;当x(0,+)时,f(x)=-为增函数;当x(0,+)时,f(x)=-|x|为减函数.

    2.若函数f(x)ax1R上单调递减,则函数g(x)a(x24x3)的单调递增区间是(  )

    A(2,+)   B(2)

    C(4,+)   D(4)

    解析:B 因为f(x)ax1R上单调递减,所以a<0.

    g(x)a(x24x3)a(x2)2a.

    因为a<0,所以g(x)(2)上单调递增.

    3.已知函数f(x)是定义在区间[0,+)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x1)fx的取值范围是(  )

    A.   B.

    C.   D.

    解析:D 因为函数f(x)是定义在区间[0,+)上的增函数,满足f(2x1)f.

    所以02x1,解得x.

    4(2019·菏泽模拟)定义新运算:当ab时,aba;当a<b时,abb2,则函数f(x)(1x)x(2x)x[22]的最大值等于(  )

    A.-1   B1

    C6   D12

    解析:C 由题意知当-2x1时,f(x)x2,当1<x2时,f(x)x32,又f(x)x2f(x)x32在相应的定义域内都为增函数,且f(1)=-1f(2)6f(x)的最大值为6.

    5.已知函数f(x)R上的增函数,A(0,-3)B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3f(x1)1的解集的补集是(全集为R)(  )

    A(1,2)   B(1,4)

    C(,-1)[4,+)   D(,-1][2,+)

    解析:D 由函数f(x)R上的增函数,A(0,-3)B(3,1)是其图象上的两点,知不等式-3f(x1)1即为f(0)f(x1)f(3),所以0x13,所以-1x2,故不等式-3f(x1)1的解集的补集是(,-1][2,+)

    6.已知函数f(x)R上的增函数,则实数a的取值范围是(  )

    A[3,0)   B(,-2]

    C[3,-2]   D(0)

    解析:C 若f(x)R上的增函数,则应满足解得-3a2.

    7.已知函数f(x),则该函数的单调递增区间为________

    解析:tx22x3,由t0,即x22x30,解得x1x3,所以函数f(x)的定义域为(,-1][3,+).因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1,所以函数tx22x3(,-1]上单调递减,在[3,+)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+)

    答案[3,+)

    8.函数f(x)的最大值为________

    解析:x1时,函数f(x)为减函数,所以f(x)x1处取得最大值,为f(1)1;当x<1时,易知函数f(x)=-x22x0处取得最大值,为f(0)2.故函数f(x)的最大值为2.

    答案2

    9.若函数f(x)在区间[2a]上的最大值与最小值的和为,则a________.

    解析:f(x)的图象知,f(x)(0,+)上是减函数,[2a](0,+)

    f(x)[2a]上也是减函数,

    f(x)maxf(2)f(x)minf(a)

    a4.

    答案:4

    10(2019·甘肃会宁联考)f(x)在区间(2,+)上是增函数,则实数a的取值范围是________

    解析:f(x)1,要使函数在区间(2,+)上是增函数,需使a3<0,解得a<3.

    答案(3)

    11.已知函数f(x)(a0x0)

    (1)求证:f(x)(0,+)上是增函数;

    (2)f(x)上的值域是,求a的值.

    解:(1)证明:任取x1x20

    f(x1)f(x2)

    x1x20

    x1x20x1x20

    f(x1)f(x2)0

    f(x1)f(x2)

    f(x)(0,+)上是增函数.

    (2)(1)可知,f(x)上是增函数,

    f2f(2)2

    解得a.

    12.已知f(x)(xa)

    (1)a=-2,试证f(x)(,-2)内单调递增;

    (2)a0f(x)(1,+)内单调递减,求a的取值范围.

    解:(1)证明:当a=-2时,f(x).

    任取x1x2(,-2),且x1x2

    f(x1)f(x2).

    因为(x12)(x22)0x1x20

    所以f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)

    所以f(x)(,-2)内单调递增.

    (2)任取x1x2(1,+),且x1x2

    f(x1)f(x2).

    因为a0x2x10,又由题意知f(x1)f(x2)0

    所以(x1a)(x2a)0恒成立,所以a1.

    所以0a1.

    所以a的取值范围为(0,1]

    B——创高分自选

    1.若f(x)=-x24mxg(x)在区间[2,4]上都是减函数,则m的取值范围是(  )

    A(0)(0,1]   B(1,0)(0,1]

    C(0,+)   D(0,1]

    解析:D 函数f(x)=-x24mx的图象开口向下,且以直线x2m为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m2,解得m1g(x)的图象由y的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m>0,解得m>0.综上可得,m的取值范围是(0,1]

    2.已知函数f(x)ln xx,若f(a2a)>f(a3),则正数a的取值范围是________

    解析:因为f(x)ln xx(0,+)上是增函数,

    所以解得-3<a<1a>3.

    a>0,所以a>3.

    答案(3,+)

    3.已知定义在R上的函数f(x)满足:f(xy)f(x)f(y)1x>0时,f(x)>       1.

    (1)f(0)的值,并证明f(x)R上是单调增函数;

    (2)f(1)1,解关于x的不等式f(x22x)f(1x)>4.

    解:(1)xy0,得f(0)=-1.

    R上任取x1>x2,则x1x2>0f(x1x2)>1.

    f(x1)f[(x1x2)x2]f(x1x2)f(x2)1>f(x2), 

    所以函数f(x)R上是单调增函数.

    (2)f(1)1,得f(2)3f(3)5.

    f(x22x)f(1x)>4f(x2x1)>f(3)

    又函数f(x)R上是增函数,故x2x1>3

    解得x<2x>1

    故原不等式的解集为{x|x<2x>1}

     

     

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