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2020版新设计一轮复习数学(文)通用版讲义:第二章第二节函数的单调性与最值
展开第二节函数的单调性与最值
一、基础知识批注——理解深一点
1.增函数、减函数
定义:设函数f(x)的定义域为I:
(1)增函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
(2)减函数:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征
一是任意性;二是有大小,即x1<x2(x1>x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.
2.单调性、单调区间
若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间.
有关单调区间的两个防范
(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.
(2)有多个单调区间应分别写,不能用符号“∪”连接,也不能用“或”连接,只能用“逗号”或“和”连接.
3.函数的最值
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M或f(x)≥M.
(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.
那么,我们称M是函数y=f(x)的最大值或最小值.
函数最值存在的两条结论
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值.当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
二、常用结论汇总——规律多一点
在公共定义域内:
(1)函数f(x)单调递增,g(x)单调递增,则f(x)+g(x)是增函数;
(2)函数f(x)单调递减,g(x)单调递减,则f(x)+g(x)是减函数;
(3)函数f(x)单调递增,g(x)单调递减,则f(x)-g(x)是增函数;
(4)函数f(x)单调递减,g(x)单调递增,则f(x)-g(x)是减函数;
(5)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反;
(6)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反;
(7)复合函数y=f[g(x)]的单调性与y=f(u)和u=g(x)的单调性有关.简记:“同增异减”.
三、基础小题强化——功底牢一点
(1)函数y=的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )
(2)具有相同单调性的函数的和、差、积、商函数还具有相同的单调性.( )
(3)若定义在R上的函数f(x)有f(-1)<f(3),则函数f(x)在R上为增函数.( )
(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( )
(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数,则这个函数在定义域上是增函数.( )
(6)所有的单调函数都有最值.( )
答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
(二)选一选
1.若函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则( )
A.m> B.m<
C.m>- D.m<-
解析:选B 若函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数,则2m-1<0,即m<.
2.下列函数中,图象是轴对称图形且在区间(0,+∞)上单调递减的是( )
A.y= B.y=-x2+1 C.y=2x D.y=log2|x|
解析:选B 因为函数的图象是轴对称图形,所以排除A、C,又y=-x2+1在 (0,+∞)上单调递减,y=log2|x|在(0,+∞)上单调递增,所以排除D.故选B.
3.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是( )
A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞)
解析:选A 由于f(x)=|x-2|x=结合图象(图略)可知函数的单调减区间是[1,2].
(三)填一填
4.设定义在[-1,7]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的增区间为________.
解析:由图可知函数的增区间为[-1,1]和[5,7].
答案:[-1,1]和[5,7]
5.函数f(x)=在[-2,0]上的最大值与最小值之差为________.
解析:易知f(x)在[-2,0]上是减函数,
∴f(x)max-f(x)min=f(-2)-f(0)=--(-2)=.
答案:
[典例] (1)求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.
(2)试讨论函数f(x)=(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
[解] (1)易知f(x)=
=
画出函数图象如图所示,可知单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).
(2)法一:定义法
设-1<x1<x2<1,
f(x)=a=a,
则f(x1)-f(x2)=a-a
=.
由于-1<x1<x2<1,
所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,
故当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
法二:导数法
f′(x)=
==-.
当a>0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.
[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法
(1)定义法:一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论.
(2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性.
(3)导数法:先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调性及区间.
(4)性质法:对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断;复合函数单调性,可用同增异减来确定.
[题组训练]
1.下列函数中,满足“∀x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0”的是( )
A.f(x)=2x B.f(x)=|x-1|
C.f(x)=-x D.f(x)=ln(x+1)
解析:选C 由(x1-x2)·[f(x1)-f(x2)]<0可知,f(x)在(0,+∞)上是减函数,A、D选项中,f(x)为增函数;B中,f(x)=|x-1|在(0,+∞)上不单调;对于f(x)=-x,因为y=与y=-x在(0,+∞)上单调递减,因此f(x)在(0,+∞)上是减函数.
2.函数f(x)=log(x2-4)的单调递增区间是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,0)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)
解析:选D 令t=x2-4,则y=logt.因为y=logt在定义域上是减函数,所以求原函数的单调递增区间,即求函数t=x2-4的单调递减区间,结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).
3.判断函数f(x)=x+(a>0)在(0,+∞)上的单调性.
解:设x1,x2是任意两个正数,且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-=(x1x2-a).
当0<x1<x2≤时,0<x1x2<a,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在(0, ]上是减函数;
当≤x1<x2时,x1x2>a,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在[,+∞)上是增函数.
综上可知,函数f(x)=x+(a>0)在(0, ]上是减函数,在[,+∞)上是增函数.
[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y=|x+1|+|x-2|的值域为________.
(2)若函数f(x)=-+b(a>0)在上的值域为,则a=________,b=________.
(3)函数f(x)=的最大值为________.
[解析] (1)图象法
函数y=
作出函数的图象如图所示.
根据图象可知,函数y=|x+1|+|x-2|的值域为[3,+∞).
(2)单调性法
∵f(x)=-+b(a>0)在上是增函数,
∴f(x)min=f=,f(x)max=f(2)=2.
即解得a=1,b=.
(3)当x≤0时,f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4,而-2∈(-∞,0],此时f(x)在x=-2处取得最大值,且f(-2)=4;当x>0时,f(x)=sin x,此时f(x)在区间(0,+∞)上的最大值为1.综上所述,函数f(x)的最大值为4.
[答案] (1)[3,+∞) (2)1 (3)4
[解题技法] 求函数最值的5种常用方法
单调性法 | 先确定函数的单调性,再由单调性结合端点值求最值 |
图象法 | 先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值 |
基本不 等式法 | 先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值 |
导数法 | 先求出导函数,然后求出给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值 |
换元法 | 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值 |
[口诀归纳]
单调性,左边看,上坡递增下坡减;
函数值,若有界,上界下界值域外.
[提醒] (1)求函数的最值时,应先确定函数的定义域.
(2)求分段函数的最值时,应先求出每一段上的最值,再选取其中最大的作为分段函数的最大值,最小的作为分段函数的最小值.
[题组训练]
1.函数f(x)=的值域为________.
解析:当x>0时,f(x)=x+≥4,
当且仅当x=2时取等号;
当x<0时,-x+≥4,
即f(x)=x+≤-4,
当且仅当x=-2取等号,
所以函数f(x)的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).
答案:(-∞,-4]∪[4,+∞)
2.若x∈,则函数y=4sin2x-12sin x-1的最大值为________,最小值为________.
解析:令t=sin x,因为x∈,
所以t∈,y=f(t)=4t2-12t-1,
因为该二次函数的图象开口向上,且对称轴为t=,所以当t∈时,函数f(t)单调递减,
所以当t=-时,ymax=6;
当t=1时,ymin=-9.
答案:6 -9
3.已知f(x)=,x∈[1,+∞),且a≤1.若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,则实数a的取值范围是________.
解析:对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立等价于x2+2x+a>0在x∈[1,+∞)上恒成立,即a>-x2-2x在x∈[1,+∞)上恒成立.
又函数y=-x2-2x在[1,+∞)上单调递减,
∴(-x2-2x)max=-3,故a>-3,
又∵a≤1,∴-3<a≤1.
答案:(-3,1]
考法(一) 比较函数值的大小
[典例] 设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)<f(-3)<f(-2)
D.f(π)<f(-2)<f(-3)
[解析] 因为f(x)是偶函数,所以f(-3)=f(3),f(-2)=f(2).
又因为函数f(x)在[0,+∞)上是增函数.
所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).
[答案] A
[解题技法] 比较函数值大小的解题思路
比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.
考法(二) 解函数不等式
[典例] 设函数f(x)=若f(a+1)≥f(2a-1),则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,1] B.(-∞,2]
C.[2,6] D.[2,+∞)
[解析] 易知函数f(x)在定义域(-∞,+∞)上是增函数,∵f(a+1)≥f(2a-1),
∴a+1≥2a-1,解得a≤2.故实数a的取值范围是(-∞,2].
[答案] B
[解题技法] 求解含“f”的函数不等式的解题思路
先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,得到一般的不等式g(x)>h(x)(或g(x)<h(x)).
考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)
[典例] (2019•南京调研)已知函数f(x)=x-+在(1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
[解析] 设1<x1<x2,∴x1x2>1.
∵函数f(x)在(1,+∞)上是增函数,
∴f(x1)-f(x2)=x1-+-
=(x1-x2)<0.
∵x1-x2<0,∴1+>0,即a>-x1x2.
∵1<x1<x2,x1x2>1,∴-x1x2<-1,∴a≥-1.
∴a的取值范围是[-1,+∞).
[答案] [-1,+∞)
[解题技法]
利用单调性求参数的范围(或值)的方法
(1)视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;
(2)需注意若函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.
[题组训练]
1.已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称,当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)<0恒成立,设a=f,b=f(2),c=f(3),则a,b,c的大小关系为( )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>c>b D.b>a>c
解析:选D 由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称,故函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=f=f.当x2>x1>1时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0恒成立,等价于函数f(x)在(1,+∞)上单调递减,所以b>a>c.
2.已知函数f(x)=是R上的单调函数,则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:选B 由对数函数的定义可得a>0,且a≠1.
又函数f(x)在R上单调,而二次函数y=ax2-x-的图象开口向上,
所以函数f(x)在R上单调递减,
故有即
所以a∈.
A级——保大分专练
1.下列四个函数中,在x∈(0,+∞)上为增函数的是( )
A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3x
C.f(x)=- D.f(x)=-|x|
解析:选C 当x>0时,f(x)=3-x为减函数;当x∈时,f(x)=x2-3x为减函数,当x∈时,f(x)=x2-3x为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-为增函数;当x∈(0,+∞)时,f(x)=-|x|为减函数.
2.若函数f(x)=ax+1在R上单调递减,则函数g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间是( )
A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(4,+∞) D.(-∞,4)
解析:选B 因为f(x)=ax+1在R上单调递减,所以a<0.
而g(x)=a(x2-4x+3)=a(x-2)2-a.
因为a<0,所以g(x)在(-∞,2)上单调递增.
3.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的函数,且在该区间上单调递增,则满足f(2x-1)<f的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析:选D 因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,满足f(2x-1)<f.
所以0≤2x-1<,解得≤x<.
4.(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b=a;当a<b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2]的最大值等于( )
A.-1 B.1
C.6 D.12
解析:选C 由题意知当-2≤x≤1时,f(x)=x-2,当1<x≤2时,f(x)=x3-2,又f(x)=x-2,f(x)=x3-2在相应的定义域内都为增函数,且f(1)=-1,f(2)=6,∴f(x)的最大值为6.
5.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-3),B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式-3<f(x+1)<1的解集的补集是(全集为R)( )
A.(-1,2) B.(1,4)
C.(-∞,-1)∪[4,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)
解析:选D 由函数f(x)是R上的增函数,A(0,-3),B(3,1)是其图象上的两点,知不等式-3<f(x+1)<1即为f(0)<f(x+1)<f(3),所以0<x+1<3,所以-1<x<2,故不等式-3<f(x+1)<1的解集的补集是(-∞,-1]∪[2,+∞).
6.已知函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[-3,0) B.(-∞,-2]
C.[-3,-2] D.(-∞,0)
解析:选C 若f(x)是R上的增函数,则应满足解得-3≤a≤-2.
7.已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为________.
解析:设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞).因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为x=1,所以函数t=x2-2x-3在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞).
答案:[3,+∞)
8.函数f(x)=的最大值为________.
解析:当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.
答案:2
9.若函数f(x)=在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为,则a=________.
解析:由f(x)=的图象知,f(x)=在(0,+∞)上是减函数,∵[2,a]⊆(0,+∞),
∴f(x)=在[2,a]上也是减函数,
∴f(x)max=f(2)=,f(x)min=f(a)=,
∴+=,∴a=4.
答案:4
10.(2019·甘肃会宁联考)若f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是________.
解析:f(x)===1+,要使函数在区间(-2,+∞)上是增函数,需使a-3<0,解得a<3.
答案:(-∞,3)
11.已知函数f(x)=-(a>0,x>0).
(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;
(2)若f(x)在上的值域是,求a的值.
解:(1)证明:任取x1>x2>0,
则f(x1)-f(x2)=--+=,
∵x1>x2>0,
∴x1-x2>0,x1x2>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(2)由(1)可知,f(x)在上是增函数,
∴f=-2=,f(2)=-=2,
解得a=.
12.已知f(x)=(x≠a).
(1)若a=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.
解:(1)证明:当a=-2时,f(x)=.
任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
所以f(x)在(-∞,-2)内单调递增.
(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-=.
因为a>0,x2-x1>0,又由题意知f(x1)-f(x2)>0,
所以(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1.
所以0<a≤1.
所以a的取值范围为(0,1].
B级——创高分自选
1.若f(x)=-x2+4mx与g(x)=在区间[2,4]上都是减函数,则m的取值范围是( )
A.(-∞,0)∪(0,1] B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,+∞) D.(0,1]
解析:选D 函数f(x)=-x2+4mx的图象开口向下,且以直线x=2m为对称轴,若在区间[2,4]上是减函数,则2m≤2,解得m≤1;g(x)=的图象由y=的图象向左平移一个单位长度得到,若在区间[2,4]上是减函数,则2m>0,解得m>0.综上可得,m的取值范围是(0,1].
2.已知函数f(x)=ln x+x,若f(a2-a)>f(a+3),则正数a的取值范围是________.
解析:因为f(x)=ln x+x在(0,+∞)上是增函数,
所以解得-3<a<-1或a>3.
又a>0,所以a>3.
答案:(3,+∞)
3.已知定义在R上的函数f(x)满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当x>0时,f(x)> -1.
(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数;
(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)>4.
解:(1)令x=y=0,得f(0)=-1.
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1-x2)>-1.
又f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)+f(x2)+1>f(x2),
所以函数f(x)在R上是单调增函数.
(2)由f(1)=1,得f(2)=3,f(3)=5.
由f(x2+2x)+f(1-x)>4得f(x2+x+1)>f(3),
又函数f(x)在R上是增函数,故x2+x+1>3,
解得x<-2或x>1,
故原不等式的解集为{x|x<-2或x>1}.