课时作业(四十四) 直线、平面垂直的判定和性质 练习

课时作业(四十四)　直线、平面垂直的判定和性质一、选择题1．(2016·浙江，2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)A．m∥l　　　B．m∥nC．n⊥l       D．m⊥n解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.答案：C2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为(　　)A．a⊥b，且a与b相交  B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b                D．a与b不一定垂直解析：∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′，∵a⊥α，且b′⊂α，∴a⊥b′，∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面．答案：C3．(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.其中为真命题的是(　　)A．①②  B．②③C．②④  D．①④解析：①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AC.④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC.答案：D4．(2017·福建宁德二模，6)设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥nB．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β解析：对于A，条件为m∥α，n∥β且α∥β，其对m、n之间的位置关系没有限制，即该位置关系可以是平行、相交或异面，故A错；对于B，由m⊥α，n⊥β且α⊥β，知m与n一定不平行(否则有α∥β，与α⊥β矛盾)，不妨令m与n相交(若其不相交，可通过平移使得相交)，且设m与n确定的平面为γ，则γ与α和β的交线所成的角即为α与β所成的角的平面角，因为α⊥β，所以m与n所成的角为90°，故命题B正确；对于C，α与β可以平行，故C不正确；对于D，少了条件m与n相交，所以D不成立．故选B.答案：B5．(2017·贵阳二模)在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下列四个结论中不成立的是(　　)A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC解析：如图，∵D、F分别为AB、CA的中点，∴DF∥BC.∴BC∥平面PDF，故A正确．∵四面体P－ABC为正四面体，∴P在底面ABC内的射影O在AE上．∴PO⊥平面ABC，∴PO⊥DF.又E为BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE⊥DF.又PO∩AE＝O，∴DF⊥平面PAE，故B正确．∵PO⊂平面PAE，PO⊥平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故D正确．∴四个结论中不成立的是C.答案：C6．在直角梯形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC，∠BCD＝45°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，则下列命题正确的是(　　)A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：∵AB＝AD，∠BCD＝45°，∴BD⊥CD；∵平面ABD⊥平面BCD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ADC.答案：D二、填空题7．(2017·青岛一模)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：如图，连接AC，∵四边形ABCD的各边都相等，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又AC∩PA＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)(不唯一)8.(2017·山东菏泽一模，13)如图，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：①AB与DE所在角的正切值是；②AB∥CE；③VB－ACE＝a3；④平面ABC⊥平面ADC.其中正确的有________．(填写你认为正确的序号)解析：作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB＝BC＝a，BE＝a，∴AE＝a.∴AD＝＝a.∴AC＝＝a.在△ABC中，cos∠ABC＝＝＝.∴sin∠ABC＝＝.∴tan∠ABC＝＝.∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，故①正确．连接BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD＝D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴CE⊥AB.故②错误．VB－ACE＝VA－BCE＝S△BCE·AD＝××a2×a＝，故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，CD∩AD＝D，CD，AD⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD，故④正确．答案：①③④9．(2017·河北五个一名校联考，15)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P的轨迹的周长等于________．解析：分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE、EF、FD，则BN⊥平面AEFD，设M在平面ABB1A1中的射影为O，过MO且与平面AEFD平行的平面为α，所以能使MP与BN垂直的点P的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2＋，所以所求轨迹的周长为2＋.答案：2＋三、解答题10.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.11．如图所示的几何体由一个直三棱柱ADE－BCF和一个正四棱锥P－ABCD组合而成，AD⊥AF，AE＝AD＝2.(1)证明：平面PAD⊥平面ABFE；(2)求正四棱锥P－ABCD的高h，使得该四棱锥的体积是三棱锥P－ABF体积的4倍．解析：(1)证明：直三棱柱ADE－BCF中，AB⊥平面ADE，因为AD⊂平面ADE，所以AB⊥AD，又AD⊥AF，AF∩AB＝A，所以AD⊥平面ABFE，又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABFE.(2)由题意得P到平面ABF的距离d＝1，所以VP－ABF＝S△ABFd＝××2×2×1＝，所以VP－ABCD＝S正方形ABCDh＝×2×2h＝4VP－ABF＝，所以h＝2.12．如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1.(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；(2)求直线AB与平面CBF所成角的大小；(3)当AD的长为何值时，二面角D－FE－B的大小为60°.解析：(1)证明：因为平面ABCD⊥平在ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，所以CB⊥平面ABEF.因为AF⊂平面ABEF，所以AF⊥CB，又因为AB为圆O的直径，所以AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF.因为AF⊂平面ADF，所以平面DAF⊥平面CBF.(2)根据(1)的证明，有AF⊥平面CBF，所以FB为AB在平面CBF上的射影，所以∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角，因为AB∥EF，所以四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FH⊥AB，交AB于H.已知AB＝2，EF＝1，则AH＝＝.在Rt△AFB中，根据射影定理AF2＝AH·AB，得AF＝1.sin∠ABF＝＝，所以∠ABF＝30°.所以直线AB与平面CBF所成角的大小为30°.(3)过A作AG⊥EF于G，连线DG，则∠AGD是二面角D－FE－B的平面角．所以∠AGD＝60°.由AG⊥EF和AB∥EF知，AG⊥AB.所以∠FAG＝∠ABF＝30°.在Rt△AFG中，AF＝1，则AG＝AFcos30°＝.在Rt△AGD中，AG＝，则AD＝AGtan60°＝·＝.因此，当AD的长为时，二面角D－FE－B的大小为60°.