2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第6章第2节　等差数列及其前n项和

第二节　等差数列及其前n项和[最新考纲]　1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．(对应学生用书第96页)1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d＞0时，数列为递增数列；当d＜0时，数列为递减数列．数列{an}是等差数列⇔an＝pn＋q(p，q为常数)．(2)Sn＝na1＋d＝n2＋n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数(缺少常数项)，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)已知{an}是等差数列，若k＋l＝m＋n，则ak＋al＝am＋an；若2k＝p＋q，则ap＋aq＝2ak，其中k，l，m，n，p，q∈N*.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}和{a2n＋1}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．1．等差数列前n项和的最值在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则Sn有最大值，即所有正项之和最大，若a1＜0，d＞0，则Sn有最小值，即所有负项之和最小．2．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则有＝.3．等差数列{an}的前n项和为Sn，则数列也是等差数列．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．  (　　)(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的． (　　)(3)已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为－2. (　　)(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数． (　　)[答案](1)×　(2)√　(3)√　(4)×二、教材改编1．等差数列11,8,5，…中，－49是它的(　　)A．第19项　　　　 B．第20项C．第21项 D．第22项C　[由题意知an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14，令－3n＋14＝－49得n＝21，故选C.]2．在等差数列{an}中a1＝14.5，d＝0.7，an＝32，则Sn＝(　　)A．600 B．603.5C．604.5 D．602.5C　[由an＝a1＋(n－1)d得32＝14.5＋0.7(n－1)，解得n＝26，所以S26＝＝13(14.5＋32)＝604.5.]3．小于20的所有正奇数的和为________．100　[小于20的正奇数组成首项为1，末项为19的等差数列，共有10项，因此它们的和S10＝＝100.]4．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________.180　[由a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450得a5＝90.所以a2＋a8＝2a5＝180.](对应学生用书第96页)⊙考点1　等差数列的基本运算(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)A．an＝2n－5　　　 B．an＝3n－10C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n(2)(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.(1)A　(2)4　[(1)设数列{an}的公差为d，由题意得解得所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n，故选A.(2)由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1.所以S5＝5a1＋d＝25a1，S10＝10a1＋d＝100a1，所以＝4.](3)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.①若a3＝4，求{an}的通项公式；②若a1＞0，求使得Sn≥an的n的取值范围．[解]　①设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝10－2n.②由①得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1＞0知d＜0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．　a1和d是等差数列的两个基本量，求出a1和d进而解决问题，是常用的方法之一．　1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)A．－12　　　B．－10  C．10　　　D．12B　[法一：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.法二：设等差数列{an}的公差为d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d.……∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝4，S4＝22，an＝28，则n＝(　　)A．3　　　　B．7     C．9　　　　D．10D　[因为S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4a2＋2d＝22，d＝＝3，a1＝a2－d＝4－3＝1，an＝a1＋(n－1)d＝1＋3(n－1)＝3n－2，由3n－2＝28，解得n＝10.]⊙考点2　等差数列的判定与证明　等差数列的判定与证明的方法方法解读适合题型定义法对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列解答题中证明问题等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．[解](1)证明：因为an＝2－(n≥2，n∈N*)，bn＝(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝－＝－＝－＝1.又b1＝＝－.所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知bn＝n－，则an＝1＋＝1＋.设f(x)＝1＋，则f(x)在区间和上为减函数．所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.[母题探究]本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式．[解]　由已知可得＝＋1，即－＝1，又a1＝，∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴an＝n2－n.　求数列的最大项和最小项，实际就是求函数的最值问题，可借助函数的图像及函数的单调性求解．[教师备选例题]已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.(1)求数列{an}的通项公式和前n项和Sn；(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由．[解](1)设数列{an}的公差为d，则∴∴an＝4－6(n－1)＝10－6n，Sn＝na1＋d＝7n－3n2.(2)由(1)知Sn＋Sn＋3＝7n－3n2＋7(n＋3)－3(n＋3)2＝－6n2－4n－6，2(Sn＋2＋2n)＝2(－3n2－5n＋2＋2n)＝－6n2－6n＋4，若存在正整数n使得Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，则－6n2－4n－6＝－6n2－6n＋4，解得n＝5，∴存在n＝5，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列．　1.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝，则数列的通项公式an＝________.　[由an＋1＝得＝，即－＝2.又＝1，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝.]2．在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．求证：数列是等差数列，并求{an}的通项公式．[证明]　由题意知2an＝1＋anan＋1，∴－＝＝＝＝1.又a1＝2，＝1，∴数列是首项为1，公差为1的等差数列．⊙考点3　等差数列性质的应用　利用等差数列的性质解题的两个关注点(1)两项和的转换是最常用的性质，利用2am＝am－n＋am＋n可实现项的合并与拆分，在Sn＝中，Sn与a1＋an可相互转化．(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可求S2m或S3m.　等差数列项的性质(1)已知在等差数列{an}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝(　　)A．10　　　　B．20　　　　C．40　　　　D．2＋log25(2)已知数列{an}是等差数列，若a9＝4，a5＋a6＋a7＝6，则S14＝(　　)A．84 B．70  C．49 D．42(1)B　(2)D　[(1)log2(2a1·2a2·…·2a10)＝log22a1＋log22a2＋…＋log22a10＝a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20.故选B.(2)因为a5＋a6＋a7＝3a6＝6，所以a6＝2，又a9＝4，所以S14＝＝7(a6＋a9)＝42.故选D.]　一般地am＋an≠am＋n，等号左右两边必须是两项相加，当然也可以是am－n＋am＋n＝2am.　等差数列前n项和的性质(1)(2019·莆田模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于(　　)A．35 B．42  C．49 D．63(2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.(1)B　(2)2 020　[(1)由题意知，S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，即7,14，S15－21成等差数列，∴S15－21＋7＝28，∴S15＝42，故选B.(2)由等差数列的性质可得也为等差数列，设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1，∴＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，∴S2 020＝2 020.]　本例T(2)，也可以根据条件先求出a1，d，再求结果，但运算量大，易出错．　1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于(　　)A．63 B．45  C．36 D．27B　[由题意知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,27，S9－S6成等差数列．∴S9－S6＝45，即a7＋a8＋a9＝45.]2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若am＝10，S2m－1＝110，则m＝________.6　[S2m－1＝＝＝110，解得m＝6.]3．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________.　[＝＝＝＝＝＝.]⊙考点4　等差数列的前n项和及其最值　求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)二次函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.(1)[一题多解]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　)A．5 B．6  C．7 D．8C　[法一(通项变号法)：由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时，Sn最大．法二(二次函数法)：由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大．法三(图像法)：根据a1＝13，S3＝S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n＝＝7时，Sn取得最大值．](2)已知等差数列{an}的前三项和为－3，前三项的积为8.①求等差数列{an}的通项公式；②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和Tn.[解]　①设等差数列{an}的公差为d，则a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d.由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.故an＝－3n＋5或an＝3n－7.②当an＝－3n＋5时，a2，a3，a1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当an＝3n－7时，a2，a3，a1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|an|＝|3n－7|＝记数列{3n－7}的前n项和为Sn，则Sn＝＝n2－n.当n≤2时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋n，当n≥3时，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝n2－n＋10，综上知：Tn＝n∈N*.　当公差d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn是关于n的二次函数，故在对称轴处Sn有最值，当对称轴不是正整数时，离对称轴最近的n值使Sn取得最值．[教师备选例题]在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使Sn达到最大值的n是(　　)A．21　　　B．20　　　C．19　　　D．18B　[因为a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤，所以当n＝20时Sn达到最大值，故选B.]　1.设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.130　[由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，所以n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4＋a5)＋(a6＋…＋a15)＝S15－2S5＝130.]2．(2019·北京高考)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．(1)求{an}的通项公式；(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．[解](1)设{an}的公差为d.因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)．解得d＝2.所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.(2)由(1)知，an＝2n－12.则当n≥7时，an＞0；当n≤6时，an≤0.所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.