2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第8章第1节　空间几何体的结构特征、三视图和直观图

全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般为2道小题和1道解答题，分值约占22分.2.考查内容高考基础小题主要考查几何体的三视图的识别，几何体表面积、体积的求解及线面角问题，与球有关的切接问题，解答题主要考查平行与垂直的关系和表面积、体积及点到平面距离的求法.3.备考策略(1)熟练掌握解决以下问题的方法和规律①应用线面、面面平行、垂直的判定定理、性质定理问题；②求几何体表面积、体积的计算问题；③线面角、点到平面距离的求法问题；④球与几何体的切接问题.(2)重视分类讨论、转化化归思想的应用.第一节　空间几何体的结构特征、三视图和直观图[最新考纲]　1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．(对应学生用书第121页)1．旋转体的形成几何体旋转图形旋转轴圆柱矩形任一边所在的直线圆锥直角三角形任一直角边所在的直线圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线球半圆直径所在的直线2.多面体的结构特征3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①在已知图形中建立直角坐标系xOy，画直观图时，它们分别对应x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°，它们确定的平面表示水平平面；②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴和y′轴的线段；   ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的.4．三视图(1)三视图的画法规则：主、俯视图长对正，主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等，前后对应．(2)画简单组合体的三视图应注意的两个问题：①首先，确定主视、俯视、左视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同．②其次，简单组合体是由哪几个基本几何体组成的，并注意它们的组成方式，特别是它们的交线位置．1．特殊的四棱柱2．球的截面的性质(1)球的任何截面是圆面；(2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；(3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝.3．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形面积的关系如下：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱． (　　)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． (　　)(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．  (　　)(4)菱形的直观图仍是菱形．  (　　)[答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、教材改编1．下列说法正确的是(　　)A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行D　[根据斜二测画法的规则知，A，B，C均不正确，故选D.]2．用一个平行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是(　　)A　　　　B　　　　C　　　　DB　[俯视图中显然应有一个被遮挡的图，所以内部为虚线，故选B.]3．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为(　　)A．2,2　　 B．2，2C．4,2 D．2,4D　[由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为2，故底面边长为4，故选D.]4．如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，则剩余的部分是(　　)A．三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．组合体B　[如图所示，在三棱台A′B′C′­ABC中，沿A′BC截去三棱锥A′­ABC，剩余部分是四棱锥A′­BCC′B′.](对应学生用书第122页)⊙考点1　空间几何体的结构特征　空间几何体概念辨析题的常用方法定义法紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，根据定义进行判定反例法通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可　1.下列结论正确的是(　　)A．侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥B．六条棱长均相等的四面体是正四面体C．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台B　[底面是等边三角形，且各侧面三角形全等，这样的三棱锥才是正三棱锥，所以A错；斜四棱柱也有可能两个侧面是矩形，所以C错；截面平行于底面时，底面与截面之间的部分才叫圆台，所以D错．]2．下列命题正确的是(　　)A．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台B．存在每个面都是直角三角形的四面体C．直角梯形以一条腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形B　[如图1所示，可排除A，如图2所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中的三棱锥C1­ABC.四个面都是直角三角形，故B正确．　　图1　　　　　　　　图2选项C中，应以直角腰所在直线为旋转轴，故C错．选项D中，只有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分．故选B.]3．下列结论正确的是   (　　)A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线D　[A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．图1　　　　　　　　　　图2B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]　把一摞书摆成长方体形状，沿一个方向轻轻一推，成为一个平行六面体，此时平行六面体有两个平行的面是矩形．⊙考点2　空间几何体的三视图　已知几何体识别三视图　识别三视图的步骤(1)弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；(2)根据三视图的有关定义和规则先确定主视图，再确定俯视图，最后确定左视图；(3)被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．　(1)(2019·武汉模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是棱的中点，则三棱锥A­BCD的主视图、俯视图是(注：选项中的上图为主视图，下图为俯视图)(　　)A　　　B　　　　C　　　　D(2)(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(　　)(1)A　(2)A　[(1)主视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.(2)由题意可知，咬合时带卯眼的木构件如图所示，其俯视图为选项A中的图形．]　画三视图时，可先找出各个顶点在投影面上的投影，然后再确定连线在投影面上的实虚．　已知三视图判断几何体特征　由三视图确定几何体的步骤(1)(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)A．1 B．2　　　　C．3　　　　 D．4(2)(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)A．2 B．2  C．3 D．2(1)C　(2)B　[(1)在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P­ABCD，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，故选C.(2)先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图1所示．图1　　　　　　　　　　图2圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图2所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．ON＝×16＝4，OM＝2，∴MN＝＝＝2.故选B.]　有三条侧棱互相垂直的三棱锥、四棱锥，都可把它们放置在长方体或正方体中来解决问题．[教师备选例题]　已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中最小的面积为________．　[由三视图知，该几何体是在长、宽、高分别为2,1,1的长方体中，截去一个三棱柱AA1D1­BB1C1和一个三棱锥C­BC1D后剩下的几何体，即如图所示的四棱锥D­ABC1D1，其中侧面ADD1的面积最小，其值为.]　由三视图中的部分视图确定剩余视图　由几何体的部分视图确定剩余视图的方法解决此类问题，可先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入检验．　如图是一个空间几何体的主视图和俯视图，则它的左视图为  (　　)A　　　　B　　　　　C　　　　DA　[由主视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合主视图的宽及俯视图的直径可知左视图应为A，故选A.]　根据主视图和俯视图的长、宽，可知道左视图的长、宽．[教师备选例题]如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可以是 (　　)C　[由该几何体的主视图和左视图可知该几何体是柱体，且其高为1，由其体积是，可知该几何体的底面积是，由选项图知A的面积是1，B的面积是，C的面积是，D的面积是，故选C.]　1.如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体，其中DD1＝1，AB＝BC＝AA1＝2，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其主视图的是 (　　)A　　　B　　　　C　　　　DC　[根据该几何体的直观图和俯视图知，其主视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B、D；而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A.故选C.]2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(　　)A．10 B．12  C．14 D．16B　[观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2××(2＋4)×2＝12.故选B.]⊙考点3　空间几何体的直观图1．用斜二测画法画直观图的技巧在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线．2．原图形与直观图面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝S原图形；(2)S原图形＝2S直观图．　(1)[一题多解]已知等腰梯形ABCD，CD＝1，AD＝CB＝，AB＝3，以AB所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为(　　)A. B.  C. D．2(2)如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(　　)A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四边形(1)C　(2)C　[(1)法一(作图求解)：如图，取AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，y轴交DC于点E，O，E在斜二测画法中的对应点为O′，E′，过E′作E′F′⊥x′轴，垂足为F′，因为OE＝＝1，所以O′E′＝，E′F′＝.所以直观图A′B′C′D′的面积为S′＝×(1＋3)×＝，故选C.法二(公式法)：由题中数据得等腰梯形ABCD的面积S＝×(1＋3)×1＝2.由S直观图＝S原图形，得S直观图＝×2＝，故选C.(2)如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×2＝4(cm)，CD＝C′D′＝2 cm.所以OC＝＝＝6(cm)，所以OA＝OC，由题意得OA BC，故四边形OABC是菱形，故选C.]　在画直观图或原图时，应先确定坐标轴上的点，非坐标轴上的点，应通过与x轴或y轴平行的线段来确定．　1．如图所示，直观图四边形A′B′C′D′是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________．2＋　[把直观图还原，原平面图形如图所示：在直角梯形ABCD中，AB＝2，BC＝＋1，AD＝1，所以面积为(2＋)×2＝2＋.]2．如图正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm.8　[由题意知正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ cm，对应原图形平行四边形OABC的高为2 cm，所以原图形中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝＝3 cm，故原图形的周长为2×(1＋3)＝8 cm.]