2021高三数学北师大版（文）一轮教师用书：第12章第2节　参数方程

第二节　参数方程[最新考纲]　1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．(对应学生用书第208页)1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tan α(x－x0)(t为参数)圆x2＋y2＝r2(θ为参数)椭圆＋＝1(a＞b＞0)(φ为参数)直线参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则①|M1M2|＝|t1－t2|.②若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.③若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.④|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数． (　　)(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．                            (　　)(3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．  (　　)(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.              (　　)[答案](1)√　(2)√　(3)√　(4)×二、教材改编1．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)A．在直线y＝2x上　 B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上B　[由得所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]2．直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的斜率为________．－3　[将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.]3．曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C的普通方程为________．y＝2－2x2(－1≤x≤1)　[由(θ为参数)消去参数θ，得y＝2－2x2(－1≤x≤1)．]4．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则a＝________.3　[直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.](对应学生用书第209页)⊙考点1　参数方程与普通方程的互化　将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2θ＋cos2θ＝1等)．　将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)．(2)(θ为参数)．(3)(t为参数)(4)(t为参数)．[解](1)由得∴4x2－4y2＝(et＋e－t)2－(et－e－t)2＝4，∴x2－y2＝1.(2)由得∴(2y)2＋x＝(sin θ＋cos θ)2＋(－1－sin 2θ)＝0，∴y2＝－，又－2≤－1－sin 2θ≤0，即－2≤x≤0，∴y2＝－(－2≤x≤0)．(3)∵x＝，y＝＝＝4－3×＝4－3x，又x＝＝＝2－∈[0,2)，∴x∈[0,2)，∴所求的普通方程为3x＋y－4＝0(0≤x＜2)．(4)∵－1＜≤1，即－1＜x≤1，且x2＋＝＋＝1.∴普通方程为x2＋＝1(x≠－1)．　将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．⊙考点2　参数方程的应用1．应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值(即系数平方和等于1)，否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．　(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcos θ＋ρsin θ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解](1)因为－1＜≤1，且x2＋＝＋＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋＝1(x≠－1)．l的直角坐标方程为2x＋y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为＝.当α＝－时，4cos＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.　求椭圆上的点到直线的距离的最值问题，常用三角代换法求解．[教师备选例题]　在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C：(θ为参数)相交于不同的两点A，B.(1)若α＝，求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．[解](1)由曲线C：(θ为参数)，可得曲线C的普通方程是x2－y2＝1.当α＝时，直线l的参数方程为(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2－6t－16＝0，得t1＋t2＝6，所以线段AB的中点对应的t＝＝3，故线段AB的中点的直角坐标为.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α－sin2α)t2＋6cos αt＋8＝0，则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝，由已知得tan α＝2，故|PA|·|PB|＝.　在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．[解](1)由消去θ，得圆C的普通方程为x2＋y2＝16.又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，所以l的参数方程为即(t为参数)．(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，所以t1t2＝－11，由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11.⊙考点3　极坐标、参数方程的综合应用　处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．　已知直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若l与C交于A，B两点，设M(1,2)，求＋的值．[解](1)由得消去参数t得3(x－1)＝y－2，即3x－y－1＝0，所以直线l的普通方程为3x－y－1＝0.由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，化为直角坐标方程得x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.(2)把x＝1＋t，y＝2＋3t代入x2＋y2－4x＝0，得(1＋t)2＋(2＋3t)2－4(1＋t)＝0，整理得10t2＋10t＋1＝0，Δ＝102－4×10＞0，设方程10t2＋10t＋1＝0的两个根分别为t1，t2，则t1＋t2＝－1，t1t2＝，显然t1＜0，t2＜0，因为直线l的参数方程为即所以＋＝＋＝－＝－＝－＝.　解答本例第(2)问时，易误认为|MA|＝|t1|，|MB|＝|t2|，导致解题错误．应把直线的参数方程化为标准的参数方程，然后再求解．[教师备选例题]　在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．[解](1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.(2)法一：由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数t得y＝x·tan α.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.　又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得＝，即＝，整理得k2＝，解得k＝±，即l的斜率为±.法二：在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.所以l的斜率为或－.　1.(2019·衡水模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝3.(1)求曲线C的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；(2)设点P的坐标为(3,3)，直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|＋|PB|的最大值．[解](1)将代入ρ2－2ρcos θ＝3中得x2＋y2－2x＝3，即(x－1)2＋y2＝4，曲线C是一个以(1,0)为圆心，2为半径的圆．(2)由直线l的参数方程，知其过定点P(3,3)，由于直线l与曲线C相交，由图像知其倾斜角α为锐角．联立与(x－1)2＋y2＝4，整理得到关于t的二次方程t2＋(4cos α＋6sin α)t＋9＝0.由Δ＞0知(4cos α＋6sin α)2－36＞0，则4cos α＋6sin α＞6或4cos α＋6sin α＜－6(舍)．又由于点A，B均在点P的下方，由参数t的几何意义，知|PA|＋|PB|＝－(t1＋t2)＝4cos α＋6sin α＝2sin(α＋φ)∈(6,2].所以|PA|＋|PB|的最大值为2.2．(2019·汕头模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，a＞0)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρcos＝2.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设P是曲线C上的一个动点，若点P到直线l的距离的最大值为3，求a的值．[解](1)依题意得曲线C的普通方程为＋＝1，因为ρcos＝2，所以ρcos θ＋ρsin θ＝4，因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以直线l的直角坐标方程为x＋y＝4，即x＋y－4＝0，(2)设点P(acos α，asin α)，则点P到直线l的距离d＝＝，因为a＞0，所以当sin＝－1时，dmax＝＝3，所以a＝1.